1、华东师范大学统计系茆诗松、程依明、濮晓龙 研制第一章下解：用对立事件进行计算,445()1()10.51776P AP A 记 A=“至少出现一次6点”，则所求概率为 一颗骰子掷4次，求至少出现一次6点的概率.242435()1()10.491436P BP B 解：记 B=“至少出现一次双6点”，则所求概率为 两颗骰子掷 24 次，求至少出现一次 双6点 的概率.从 1,2,9中返回取n次，求取出的n个数的乘积能被10整除的概率.解：因为“乘积能被10整除”意味着：“取到过5”(记为A)且 “取到过偶数”(记为B)。因此所求概率为 P(AB).()P AB1()P AB 利用对立事件公式、德
2、莫根公式和加法公式1()()()P AP BP AB 8541999nnnnnn 甲掷硬币n+1次，乙掷n次.(习题1.3第10题)求甲掷出的正面数比乙掷出的正面数多的概率.解：记甲正=甲掷出的正面数，乙正=乙掷出的正面数.甲反=甲掷出的反面数，乙反=乙掷出的反面数.因为 P(甲正乙正)=P(n+1-甲反 n-乙反)=P(甲反-1乙正)(对称性)所以 2P(甲正乙正)=1,由此得 P(甲正乙正)=1/2N 个产品，其中M个不合格品、NM个合格品.(口袋中有M 个白球，NM 个黑球)MNMmnmNn从中不返回任取n 个,则此 n 个中有 m 个不合格品的概率为：此模型又称 超几何模型.n N,m
3、 M,nmNM.口袋中有5 个白球、7个黑球、4个红球.从中不返回任取3 个.求取出的 3 个球为不同颜色的球的概率.57411114011656043 购买：从01，35 中选7个号码.开奖：7个基本号码，1个特殊号码.1)7个基本号码 2)6个基本号码+1个特殊号码 3)6个基本号码 4)5个基本号码+1个特殊号码 5)5个基本号码 6)4个基本号码+1个特殊号码 7)4个基本号码，或 3个基本号码+1个特殊号码 中所含样本点个数：735C1270061077127127773535,ppC C CC C CCC将35个号分成三类：7个基本号码、1个特殊号码、27个无用号码记 pi 为中i
4、 等奖的概率。利用抽样模型得：中奖概率如下：12317189,672452067245206724520ppp456567737112285,672452067245206724520ppp72047506724520,p 64993500.966515.6724520不中奖的概率为：p0=1p1p2p3p4p5p6 p7 N 个产品，其中M个不合格品、NM个合格品.从中有返回地任取n 个.则此 n 个中有 m 个不合格品的概率为：()mn mmn mnnnMNMMNMmmNNN 条件：m n,即 m=0,1,2,n.n 个不同球放入 N 个不同的盒子中.每个盒子中所放球数不限.求恰有n 个盒
5、子中各有一球的概率(nN)!()!nNnnPNNNNn求n 个人中至少有两人生日相同的概率.看成 n 个球放入 N=365个盒子中.P(至少两人生日相同)=1P(生日全不相同)用盒子模型得：pn=P(至少两人生日相同)=365!1365(365)!nnp20=0.4058,p30=0.6963,p50=0.9651,p60=0.9922 n 个人、n 顶帽子，任意取，至少一个人拿对自己帽子的概率.记 Ai=“第 i 个人拿对自己的帽子”，i=1,n.求 P(A1A2An)，不可用对立事件公式.用加法公式：11()()()nniiijijkiiPAP AP AAP AA A112.(1)(.)n
6、nP A AA P(Ai)=1/n,P(AiAj)=1/n(n1),P(AiAjAk)=1/n(n1)(n2),P(A1A2An)=1/n!P(A1A2An)=1111.(1)2(1)!nnnnn nn 1111111.(1)12!3!4!nen 因为概率是事件(集合)的函数，所以先讨论事件(集合)的“极限”.本节给出可列可加性的充要条件.若事件序列Fn满足：F1 F2 Fn 则称Fn为单调不减事件序列，其极限事件为1limnnnnFF1limnnnnFF若事件序列Fn满足：F1F2 Fn 则称Fn为单调不增事件序列，其极限事件为 设P()是一个集合函数，(1)若任对单调不减集合序列Fn，有
7、则称P()是下连续的.(lim)lim()nnnnPFP F(lim)lim()nnnnPFP F (2)若任对单调不增集合序列Fn，有 则称P()是上连续的.性质1.3.7 若P()是事件域F上的一个概率函数，则P()既是下连续的，又是上连续的.性质1.3.8若P()是事件域F上满足：非负、正则的集合函数，则P()有可列可加性的充要条件是它具有有限可加性和下连续性.问题的提出：1)10个人摸彩，有3张中彩.问：第1个人中彩的概率为多少？第2个人中彩的概率为多少？2)10个人摸彩，有3张中彩.问：已知第l个人没摸中，第2个人中彩的概率为多少？定义1.4.1 对于事件A、B，若 P(B)0，则称
8、 P(A|B)=P(AB)/P(B)为在 B 出现的条件下，A 出现的条件概率.1)缩减样本空间：将 缩减为B=B.2)用定义：P(A|B)=P(AB)/P(B).10个产品中有7个正品、3个次品，从中 不放回地抽取两个，已知第一个取到次 品，求第二个又取到次品的概率.P(B|A)=P(AB)/P(A)=(1/15)/(3/10)=2/9 解：设 A=第一个取到次品，B=第二个取到次品，例1.4.1 条件概率 P(A|B)满足概率的三条公理.由此得：P(AB|C)=P(A|C)+P(B|C)P(AB|C)；若 A 与 B 互不相容，则P(AB|C)=P(A|C)+P(B|C)；P(|B)=1
9、P(A|B).A P(|B)=1;P(B|)1;P(A|)=P(A);P(A|A)=1.(1)设P(B)0，且AB，则下列必然成立的是()P(A)P(A|B)P(A)P(A|B)(2)P(A)=0.6,P(AB)=0.84,P(B|A)=0.4,则 P(B)=().0.6(2)乘法公式;全概率公式；贝叶斯公式.性质1.4.2 (1)若 P(B)0，则 P(AB)=P(B)P(A|B)；若 P(A)0，则 P(AB)=P(A)P(B|A).(2)若 P(A1A2 An1)0，则 P(A1A2 An)=P(A1)P(A2|A1)P(An|A1A2 An1)乘法公式主要用于求几个事件同时发生的概率.
10、一批零件共有100个，其中10个不合格品。从中一个一个不返回取出，求第三次才取出不合格品的概率.解：记 Ai=“第i 次取出的是不合格品”Bi=“第i 次取出的是合格品”,目的求 P(B1B2A3)用乘法公式 P(B1B2A3)=P(B1)P(B2|B1)P(A3|B1B2)=9089101009998性质1.4.3 若事件B1,B2,Bn是样本空间的一组分割，且 P(Bi)0，则11()()(|)()nniiiiiP ABP B P A BP A 全概率公式用于求复杂事件的概率.使用全概率公式关键在于寻找另一组事件 来“分割”样本空间.全概率公式最简单的形式：()()(|)()(|)P AP
11、 B P A BP B P A B 若事件B1,B2,Bn是互不相容的，且 P(Bi)0，1nABii()()()(|)11nnP AP ABP B P A Biiiii 则由 可得 设10 件产品中有 3 件不合格品，从中 不放回地取两次，每次一件，求取出 的第二件为不合格品的概率。解：设 A=“第一次取得不合格品”，B=“第二次取得不合格品”.由全概率公式得：()()(|)()(|)P BP A P B AP A P B A=(3/10)(2/9)+(7/10)(3/9)=3/10例1.4.2 n 张彩票中有一张中奖，从中不返回地摸 取，记 Ai为“第 i 次摸到中奖券”，则 (1)P(A
12、1)=1/n.(2)可用全概率公式计算得 P(A2)=1/n.(3)可用归纳法计算得 P(Ai)=1/n,i=1,2,n.n 张彩票中有 k 张中奖，从中不返回地摸取，记 Ai 为“第 i 次摸到奖券”，则 P(Ai)=k/n,i=1,2,n 结论：不论先后，中彩机会是一样的.口袋中有a只白球、b只黑球。在下列情况下，求第k次取出的是白球的概率：(1)从中一只一只返回取球；(2)从中一只一只不返回取球；(3)从中一只一只返回取球，且 返回的同时再加入一只同色球.罐中有 b 个黑球、r 个红球，每次从中任取一个，取出后将球放回，再加入c 个同色球和 d 个异色球.(1)当 c=1,d=0 时，为
13、不返回抽样.(2)当 c=0,d=0 时，为返回抽样.(3)当 c 0,d=0 时，为传染病模型.(4)当 c=0,d 0 时，为安全模型.记 pk(b,r)为“口袋中有b个黑球、r个红球时，第k 次取出黑球”的概率，k=1,2,(1)当 c=1,d=0 时为不返回抽样，所以由摸彩模型 得：pk(b,r)=b/(b+r)，k=1,2,(2)当 c=0,d=0 时为返回抽样，所以 pk(b,r)=b/(b+r)，k=1,2,(3)当 c 0,d=0 时，为传染病模型。此时pk(b,r)=b/(b+r)，k=1,2,甲口袋有a只白球、b只黑球；乙口袋有n只白球、m只黑球.从甲口袋任取一球放入乙口袋
14、，然后 从乙口袋中任取一球，求从乙口袋中取出的是白 球的概率.概率为：111anbna bn ma bn m 甲口袋有a只白球、b只黑球；乙口袋有n只白 球、m只黑球.从甲口袋任取两球放入乙口袋，然后从乙口袋中任取一球，求从乙口袋中取出的是白球的概率.以上是甲、乙两口袋的球数不同，如果两口袋装的黑、白球个数都相同，则情况又如何？要调查“敏感性”问题中某种比例 p；两个问题：A：生日是否在7月1日前？B：是否考试作弊？抛硬币回答A或B.答题纸上只有：“是”、“否”.可用全概率公式分析“敏感性”问题.乘法公式是求“几个事件同时发生”的概率；全概率公式是求“最后结果”的概率；贝叶斯公式是已知“最后结
15、果”，求“原因”的概率.某人从甲地到乙地，乘飞机、火车、汽车迟到的概率分别为0.1、0.2、0.3，他等可能地选择这三种交通工具。若已知他最后迟到了，求他分别是乘飞机、火车、汽车的概率.（1/6，2/6，3/6）若事件B1,B2,Bn是样本空间的一组分割，且P(A)0,P(Bi)0，则1()()(|)(|)()()()(|)1,2,.,()(|)iiiiiinjjjP ABP B P A BP BAP AP AP B P A BinP BP A B贝叶斯（Bayes）公式 1)B1,B2,.,Bn可以看作是导致A发生的原因;2)P(Bj|A)是在事件A发生的条件下,某个原因Bj 发生的概率,称
16、为“后验概率”;3)Bayes公式又称为“后验概率公式”或“逆概公式”;4)称P(Bj)为“先验概率”.例1.4.3 某商品由三个厂家供应，其供应量为：甲厂家是乙厂家的2倍；乙、丙两厂相等。各厂产品的次品率为2%,2%,4%.若从市场上随机抽取一件此种商品，发现是次品，求它是甲厂生产的概率?解：用1、2、3分别记甲、乙、丙厂，设 Ai=“取到第i 个工厂的产品”，B=“取到次品”，由题意得:P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25；P(B|A1)=P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04.11131()(|)(|)()(|)iiiP A P B AP A BP A P B A=0.4由Bayes公式得:口袋中有一只球，不知它是黑的还是白的。现再往口袋中放入一只白球，然后从口袋中任意取出一只，发现是白球。试问口袋中原来的那只球是白球的可能性多大？2/3 事件的独立性 直观说法：对于两事件，若其中任何一个 事件的发生不影响另一个事件的发生，则这两事件是独立的.P(A|B)=P(A)P(AB)/P(B)=P(A)P(AB)=P(A)P(B)定义1.5.1 若事件 A 与
