1、无穷数列无穷数列 xn :x1,x2,xn,.第第 2 章章 函函 数数 的的 极极 限限则称满足若 ,21nnxxxx.,nnxx记为严格单调增加则称满足若 ,21nnxxxx.,nnxx也记为单调增加单调性有界性严格单调增加(单调增加)严格单调减少(单调减少)单调增加(不减少的)单调减少(不增加的)统称为单调数列数列若 xn M,MR,则称 xn 有上界.若 xn m,mR，则称 xn 有下界.xn:有界 既有上界 又有下界.*|*,*,|,|max*,MxMxMmMMMxmnnn即则取例例1.,131211n，12310 100 10000 nxn0.1 0.010.0001 1 0.5
2、 0.33.213141516101 0第第 2 章章 函函 数数 的的 极极 限限 ,)1(1 ,54 45 32 ,23 0nn，例例2.1 2 3 4 5 10 11 100 101 nxn1.10 1.51.25 0.81.010.9090.0.9900.0.66236745325402761 1第第 2 章章 函函 数数 的的 极极 限限,21,814121n，例例3.例例4.0.3，0.33，0.333，0.333,n个31 0 给定数列 xn,当 n 无限增大时,xn 无限地趋近于某一个常数 a.称 a为 xn的极限,并称xn 收敛,记为.limaxnn,01limnn,1)1(
3、1 limnnn,021limnn一尺之棰,日取其半,万世不竭.(庄子天下篇).31)103103103(lim2nn第第 2 章章 函函 数数 的的 极极 限限例例5.1，3，5，2n1，随 n无限增大数列的项也无限增大,不会趋于任何常数,数列没有极限.例例6.1，1，1，1，(1)n+1，正负交错取1.n无限增大时,数列不趋于任何常数,数列没有极限.并非任何数列都有极限.数列若无极限,则称其发散发散.第第 2 章章 函函 数数 的的 极极 限限当 n 无限增大时,xn 无限趋近于 a当 n 充分大时,xn a可以任意地小当 n 无限增大时,xn a无限变小任意给定一个很小的数，当 n 大到
4、一定程度时,就有xn a小于这个数数数列列极极限限定定义义的的描描述述第第 2 章章 函函 数数 的的 极极 限限任意给定一个很小的数，当 n 大到一定程度时,就有xn a小于这个数.nxnn1)1(1 则 n 10时(从 n=11起)便有n1xn 1=给 0.1，=0.1101给 0.01，给 0.0001，则 n 100时(从 n=101起)便有n1xn 1=0.011001则 n 10000时(从 n=10001起)便有n1xn 1=0.0001100001第第 2 章章 函函 数数 的的 极极 限限nxnn1)1(1则 n 10时(从 n=11起)便有n1xn 1=给 0.1，=0.1
5、101给 0.01，给 0.0001，则 n 100时(从 n=101起)便有n1xn 1=0.011001则 n 10000时(从 n=10001起)便有n1xn 1=0.0001100001 任意给定一个很小的数任意给定一个很小的数 ,总存在一个总存在一个N,当当 nN 时时(即从即从 n=N+1 起起),便有便有xn aN 时时(即从即从 n=N+1 起起),便有便有xn a 0,总 N Z+,使得对于 n N 时的一切 xn都有 xn a 0,总 N Z+,使得对于 n N 时的一切 xn都有 xn a ,则称 a 为 xn 的极限,并称 xn 收敛.记作,limaxnn或 xn a(
6、n ).第第 2 章章 函函 数数 的的 极极 限限xn a xn a 即 a xn 0,N,使当使当 n N 时时,都有都有|xn a|,则则.limaxnn第第 2 章章 函函 数数 的的 极极 限限例例1 证明 .11limnnn例例2 证明 .021limnnqqnn,0lim 0,N,使当使当 n N 时时,都有都有|xn a|0,使对一切 xn 满足|xn|M.定理定理 2 2(有界性有界性)若若 xn 收敛收敛,则则 xn 有界有界.定理2的逆命题不成立,即有界的数列不一定收敛.例如 xn=(1)n+1 有界,但它是发散的.推推 论论 无界的数列一定发散无界的数列一定发散.第第
7、2 章章 函函 数数 的的 极极 限限 lim,lim,0,nnnnxaybabN若且则 ,.nnnNxy当时 有 lim,0,nnxabN若则 ,.nnNxb当时 有 lim,0,.nnnxaNnNxbab设若 则，当时，有则 lim,lim,0,nnnnxaybN若若 ,.nnnNxyab当时 有，则必有 从数列 x1,x2,xn,.中按下标由小到大的顺序任意选取无穷多个项 构成的一个新数列 称为 xn 的一个子数列.,21knnnxxxknx 中的 k 表示它是子列中的第 k 项，表示它是原数列中的第 项,显然 n1n2,且对所有的 k 有 nk k.knxknkn定理定理 4 4 .l
8、im,limaxxaxkknknnn第第 2 章章 函函 数数 的的 极极 限限定理定理5 5(夹逼定理夹逼定理)数列xn、yn、zn，若 （1）NZ+，当nN时，有 yn xn zn，（2），则 .azynnnnlimlimaxnnlim例例1.证明112111lim222nnnnn第第 2 章章 函函 数数 的的 极极 限限 单调递增有上界的数列和单调单调递增有上界的数列和单调递减有下界的数列一定有极限递减有下界的数列一定有极限.定理定理 6 6(单调有界数列收敛单调有界数列收敛)x2x1Mx3xx4有界数列：有界数列：M 0,使对一切 xn 满足|xn|M.有有 上上 界界:K1,使对一
9、切 xn 满足 xn K1.有有 下下 界界:K2,使对一切 xn 满足 xn K2.单调数列单调数列：单调递增单调递增:x1 x2 xn xn+1.单调递减单调递减:x1 x2 xn xn+1 .第第 2 章章 函函 数数 的的 极极 限限例例2.证明数列 收敛.nn11e)11(limnnn记可以证明 e 为一无理数，其值为e=2.718281828459045 1101001000100001000002 2.59374 2.70481 2.716922.71815 2.71827.n(1+1n)n第第 2 章章 函函 数数 的的 极极 限限数列：n:1 2 3 n xn:x1 x2 x
10、3 xn xn=f(n)nZ+(整标函数)1.x时时,f(x)的极限的极限第第 2 章章 函函 数数 的的 极极 限限例例1.01lim 1nnxnn，11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 xOy考虑函数xy101limxx有xy1另外：01limxxny1第第 2 章章 函函 数数 的的 极极 限限 定义1.若 0,总 X 0,使得当 x X 时,相应的函数值 f(x)都满足|f(x)a|0,总 X 0,使得当 x X 时,相应的函数值 f(x)都满足|f(x)a|0,N Z+,使得当 n N 时,对一切 xn都有|xn a|0,总 X 0,使得当|x|X 时,相应的函数值 f(x)都
11、满足|f(x)a|,则称 a 为 f(x)当 x 时的极限,记作.)(limaxfx由定义 1,2,3 可知axfxfaxfxxx)(lim)(lim )(lim第第 2 章章 函函 数数 的的 极极 限限axyOa+a XXy=f(x)一般地,若 ，则函数 y=f(x)的图形有水平渐近线 y=a.axfaxfxx)(lim)(lim或|f(x)a|a f(x)X x X,x X 第第 2 章章 函函 数数 的的 极极 限限再如,y=arctan x 有xyO22y=arctan x,2arctan limxx,2arctan limxx.arctanlim不存在而xxxy1y=exO比如 y
12、=e x 有,0elimxx例例3.证明.2121lim33xxx第第 2 章章 函函 数数 的的 极极 限限2.x x0 时时,f(x)的极限的极限例例4.设 f(x)=x2+1,观察它在 x=0点附近x0的变化.xf(x)0.1 0.01 0.001,1.01 1.0001 1.000001,y=x2+1.1)1(lim20 xx有O1xyxxf(x)0.1 0.01 0.001,1.01 1.0001 1.000001,第第 2 章章 函函 数数 的的 极极 限限 一般地 是指当 x无限趋于x0时,对应的函数值 f(x)无限趋近于a.f(x)a可用|f(x)a|刻画,而x x0则可用|x
13、 x0|刻画.axfxx)(lim0描述?例例5.设 f(x)=x2+1,x0，0,x=0，观察它在点 x=0附近 x0的变化.yy=f(x)O1xx x0改用 0|x x0|0,总 0,使得当 0|xx0|时,相应的函数值 f(x)都满足|f(x)a|,则称 a 为 f(x)当 xx0 时的极限.记作0|xx0|x(x0,x0)U(x0 x0+).|f(x)a|a f(x)0,0,使得当 0 x x0 0,0,使得当 0 x0 x 0,0,x=0,x1,x 0,使得 f(x)在(x0,)内有界.,)(lim存在若xfx定理定理33则 X 0,(X,+)和(,X)内均有界.使得 f(x)在第第
14、 2 章章 函函 数数 的的 极极 限限),0(0,)(lim0aaaxfxx且若定理定理4 4.(保号性保号性)则 0,当 x(x0,)时,有 f(x)0(f(x)0(f(x)0,使得),0(0,limaaaxnn且若定理定理4 4.当 n N 时,有 xn 0(xn 0,使得第第 2 章章 函函 数数 的的 极极 限限1.无穷小量无穷小量3 3 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量在 x 的某个变化过程(x x0 或 x等)中，若lim f(x)=0，则称 f(x)为该变化过程中的无穷小无穷小(量).定义1.设 f(x)在 x0 的某个去心邻域(x0)内有定义.若 0,总 0,使得当 0|
15、xx0|时,相应的函数值 f(x)都满足|f(x)|0，使得 f(x)在(,X)(X,+)内有界，则称 f(x)是 x 时的有界量.比如y=x2在(,+)内无界,但在 x=0的附近是有界的.因此,y=x2是x0时的有界量.y=x20 xyMOyxxy1.01时的有界量不是xxy第第 2 章章 函函 数数 的的 极极 限限定理定理 3.3.有界量与无穷小之积为无穷小.例例 1.01sinlim0 xxx这是因为x,而x1sin1的缘故.xyOxxy1sin同理：.0sinlimxxx第第 2 章章 函函 数数 的的 极极 限限第第 2 章章 函函 数数 的的 极极 限限推论推论1 1：常数与无穷
16、小之积是无穷小；有限个无穷小之积是无穷小.以 xx0 的情形为例.设 C 为一常数,(x)和(x)是无穷小,则C(x)和(x)(x)都是无穷小.第第 2 章章 函函 数数 的的 极极 限限2.无穷大量无穷大量在 x 的变化过程中(xx0 或 x 等),若 f(x)的绝对值无限增大,则称 f(x)为该变化过程中的无穷大无穷大(量).例如：x 时，1xy 为无穷大；yxOxy1例如：n时，n2 为无穷大.第第 2 章章 函函 数数 的的 极极 限限定义定义 2 2：若 0(无论多么大)，总 0,使得当 0|x x0|M，则称 f(x)是 x x0 时的无穷大.定义定义 22若 0(无论多么大)，总 X 0，使得当|x|X 时，有|f(x)|M，则称 f(x)是 x 时的无 穷大.)(limxf无穷大常记作：正无穷大+负无穷大 数列情形？第第 2 章章 函函 数数 的的 极极 限限.11lim1xx证明例例2Oyx11xy1例例3 亦可证明;tanlim ,tanlim ,tanlim )3(222xxxxxx ;0lim ,lim )1(xxxxee .lnlim ,lnlim )2(0
