1、阻尼振动阻尼振动 Damped Harmonic Motion Damping-使振动逐渐衰减的外界作用 A gradually decaying of oscillation caused by an external action Two types of damping-friction damping heat Radiation damping wave propagation xofF,弹xvdtdxkxdtxdm22022xmkdtdxmdtxd阻尼振动微分方程阻尼振动微分方程 令令 2m 为为阻尼因子阻尼因子 mk0通解通解 ttececx)(2)(1202202022022x
2、dtdxdtxd常系数二阶线性微分方程常系数二阶线性微分方程 Motion equation and solution:-damping constant(Ns/m)-damping coefficient(1/s)=1/-damping time constant mean life time n n阶线性微分方程阶线性微分方程 n n阶线性微分方程解的存在唯一性定理阶线性微分方程解的存在唯一性定理 上的连续函数都是区间及其中btatfnitatfxtadtdxtadtxdtadtxdinnnnnn)(),2,1)()()()()(1111)1(0101)1(0000)1(0)1(000)(
3、,)(,)()(,)(),2,1)(nnnnixdttdxdttdxtbtatxxxxbatbtatfnita上，且满足初始条件：，定义于区间，方程存在唯一解及任意的则对于任一上的连续函数，都是区间及如果n n阶齐线性微分方程阶齐线性微分方程 上的连续函数都是区间及其中btatfnitaxtadtdxtadtxdtadtxdinnnnnn)(),2,1)(0)()()(1111齐线性微分方程解的性质与结构齐线性微分方程解的性质与结构 齐线性方程的解满足叠加原理 n阶齐线性方程一定存在n个线性无关的解 n阶齐线性方程的通解可表为这n个线性无关解的线性叠加 n阶齐线性方程的所有解构成一个n维线性空
4、间 n阶齐线性方程的n个线性无关解不是唯一的)()(2211txctxcx阻尼振动运动方程阻尼振动运动方程的解的解 0220 xxx 猜测解 rtex r待定 02202rrr的两个根 20222021rr方程的解：trtrececx2121系数由振动的初始条件确定 二阶常系数线性齐微分方程二阶常系数线性齐微分方程 0)cos(tAextt x o tAe三种阻尼状态：(1)欠阻尼(under damping)振幅按e-t/逐渐衰减 振动能量也逐渐衰减(当=0,即=0,=no damping =0)t=,x A/e 22102220riri 2201cos()2i ti ttee(2)过阻尼过
5、阻尼(over damping)0缓慢到达平衡点，没有振荡。缓慢到达平衡点，没有振荡。otx如单摆放在粘滞的油筒中摆如单摆放在粘滞的油筒中摆到平衡位置须很长时间。到平衡位置须很长时间。通解通解 ttececx)(2)(120220200()()2ttee =221022201200rrrr 2200(3)临界阻尼临界阻尼(critical damping)0通解通解 tetccx)(21比过阻尼衰减更快。比过阻尼衰减更快。临界阻尼达到平衡位置的临界阻尼达到平衡位置的时间最短，但仍不能超过时间最短，但仍不能超过平衡位置。平衡位置。otx三种阻尼振动比较三种阻尼振动比较 欠阻尼欠阻尼 过阻尼过阻尼
6、 临界阻尼临界阻尼=0 12rr 一特解为：一特解为：另另一特解为：一特解为：tette 例 有一单摆在空气（室温为 ）中来回摆动.摆线长 ，摆锤是半径 的铅球.求（1）摆动周期；（2）振幅减小10所需的时间；（3）能量减小10所需的时间；（4）从以上所得结果说明空气的粘性对单摆周期、振幅和能量的影响.（已知铅球密度为 ，时空气的粘度 ）C20m 0.1l-35.0 10 rm33mkg 1065.2sPa 1078.15C20解（1）10s 13.3lgvvCrF6r2412946.04 10 sCmr02200222 sTm,0.1lm,100.53r33mkg 1065.2sPa 107
7、8.15C,20已知 求（1）T（3）etAA10.9etAA11ln()0.9174 s3 mint22()etEAEA220.9et21ln()0.987 s1.5 min2t已知 求（2）?,9.0tAA（3）?,9.0tEE（2）有阻尼时 解 m,0.1lm,100.53r33mkg 1065.2sPa 1078.15C,20tFvkxdtxdmcos22令令,2m,20mkmFC tCxdtdxdtxdcos22022tmFxmkdtdxmdtxdcos22 tFtfcos)(4 forced oscillations and resonance 1 受迫振动受迫振动 物质系统在外界
8、周期性或非周期性的持续作用下所做的振动。存在阻尼时，要维持振动，外界需加一个周存在阻尼时，要维持振动，外界需加一个周期的期的驱动力驱动力 通解（阻尼振动）特解2 2110111012 22202220220 20 2cos()2cos()xxxxxxxxxCtxxxCt 方程的通解可分解为下列两个方程的通解与特解之和 2 20 02cos()2cos()xxxCtxxxCt方程的通解=齐次方程的通解+方程的特解 21xxx受迫振动的微分方程的求解问题就转化为寻找方程的特解 猜测猜测 2020cos()cos()xAtxAt代入方程 222200000000cos()2sin()cos()cos
9、cos()2sin()cos()cosAtAtAtCtAtAtAtCt两边对应项的系数相等 22220000002222000000()cos2sin()cos2sin()sin2cos0()sin2cos0AACAACAAAA 0 0222222 22222 2220 00 02 2,tan,tan()4()4C CA A 0 02 2sinsinA AC C 2 2220222022cos()2cos()xxxCtxxxCt 图108x O t 第一项为阻尼振动项，第一项为阻尼振动项，当时间较长时衰减为当时间较长时衰减为0。第二项为驱动力产生的周期振动。第二项为驱动力产生的周期振动。当第一
10、项衰减为当第一项衰减为 0 后，后，只作受迫振动只作受迫振动 tCxdtdxdtxdcos2202200cos()cos()txA etAt阻尼(1)受迫振动的频率和驱动力的频率相同。(2)受迫振动的振幅和相位是确定的，与初始条件无关。(3)受迫振动的振幅和相位是驱动力的频率的函数。振幅振幅 2222204)(CA初相初相 2202tg受迫振动的频率和相位：受迫振动的频率和相位：)cos(0tAx00cos()cos()txA etAt阻尼2202时时A最大最大 2202rCA 2.共振 由 dA/d=0 求出 为共振频率 大阻尼小阻尼0阻尼pA02r 受迫振动的相位落后于驱动力受迫振动的相位
11、落后于驱动力/2200r02MC愈小峰愈尖锐 当 速度随的变化 根据 0ddV共振速度 0 0maxmax2 2C CV V 共振频率 v(t)与f(t)完全同步，驱动力对系统时时做正功 22 22222 2220 0()4()4C CVAVA 000()()cos()()(),()()2v tVtVA 0()0 2 ,1 ,22 ,5.0 ,42 ,25.0 ,61 ,1.0 ,01.000V VC C从能量的角度分析受迫振动 稳定受迫振动的速度)sin(tAxv策动力的功率)sin(cos)(0tAtFvtFpF阻尼力耗散的功率 22)sin(tAvvxpf速度共振时 fFpp2/,0瞬时
12、功率相等 一个周期中策动力和阻尼力的平均功率 221AmdtpTpTttFF221AmdtpTpTttff平均功率 共振的品质因数共振的品质因数Q(quality factor)振动系统储存的能量和一周内损失的能量E之比的倍 2 22 2/2/222/22/EkAEkAQkQkE EA A Q愈大，共振峰值愈大，峰愈尖锐 22222 2*2/*2/EmAEmAA A 1940年华盛顿的塔科曼大桥建成年华盛顿的塔科曼大桥建成 同年同年7月的一场大风引起桥的共振月的一场大风引起桥的共振 桥被摧毁桥被摧毁 例题分析例题分析 如图所示是一单摆的共振曲线。a.试估算此单摆的摆长 b.若摆长增大，共振曲线
13、的峰值将向哪移？解析解析：由图中可以看出最大振幅对应的驱动力的频率f0.30Hz，由共振条件可知f固f=0.30 Hz,再由单摆的周期公式算出摆长；由单摆周期公式 摆长越长，周期越大，频率越小，所以峰值左移。2LTg 当质点同时受到多个弹性力时当质点同时受到多个弹性力时，可以认为质点的可以认为质点的运动是几个运动的叠加运动是几个运动的叠加位移满足矢量叠加位移满足矢量叠加 振动叠加原理振动叠加原理 主要讨论两种叠加形式：主要讨论两种叠加形式：（1）平行平行简谐振动叠加简谐振动叠加 同频率同频率 不同频率不同频率（2）垂直垂直简谐振动叠加简谐振动叠加 同频率同频率 不同频率不同频率 5 振动的合成
14、振动的合成 两两个同方向同频率简谐运动的合成个同方向同频率简谐运动的合成 ABCo o观测者A观测振子 1111cos()xAt2222cos()xAt观测者B观测盒子 观测者C观测振子 平衡位置：盒子处在平衡位置时，振子的平衡位置 振动的观测 cos()xAt？12xxx 1110cosx tAt 2220cosxtAt 12x tx txt0cosAt222121220102cosAAAAA1102200110220sinsintancoscosAAAA 用矢量相加方法 更为简单 三个或更多同频率振动相加 完全类似 11Axo 多个同方向同频率简谐运动多个同方向同频率简谐运动的的合成合成
15、2A23A3)cos(tAxnxxxx21)cos(111tAx)cos(222tAx)cos(nnntAxA多多个个同同方向方向同同频率简谐运动频率简谐运动合成合成仍为仍为简谐简谐运动运动 用复数相加方法 12x tx txt102010201212()ititiii tAeA eeAeA e 变复杂的三角函数运算为简单的指数函数运算 例例 有两个振动方向相同的简谐振动，其振动方程分别为 ，cm)2cos(41 txcm)2/2cos(32 tx1)求它们的合振动方程；cm)2cos(233 tx问:当3为何值时,x1+x3的振动为最大值？当3为何值时,x1+x3的振动为最小值？解：1)两个
16、振动方向相同,频率相同的简谐振动合成后还是简谐振动,合振动方程为)2cos(0 tAx)cm(5)cos(212212221 AAAAA43coscossinsintan221122110 AAAA2)另有一同方向的简谐振动 所求的振动方程为 0 04 45 5)cm()5/42cos(5 tx2)当 时，相位相同。2,1,0213kk 320,1,2,kk 即即振振幅幅最最大大 2101213，kk 当 时，相位相反。，振幅最小，振幅最小，即即210123 kk 根据已知条件，t=0时，合矢量应在第二象限，故 例、例、同一直线上有同一直线上有n 个频率相同的谐振动，它们个频率相同的谐振动，它们振幅相等且初相依次相差一个恒量，求合振动。振幅相等且初相依次相差一个恒量，求合振动。解：解：设这设这 n 个谐振动的频率为个谐振动的频率为，初相依次相初相依次相差差，设合振动为：)2sin(2nRA)2sin(21RA A2A3Aox1AR得到得到)2sin(/)2sin(1nAA 22n2)1(ncos()xAt同同方向不同频率简谐振动的合成方向不同频率简谐振动的合成 )cos()cos(22
