1、2023学年高考数学模拟测试卷考生请注意：1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知抛物线的焦点为，对称轴与准线的交点为，为上任意一点，若，则（ ）A30B45C60D752已知函数，则（ ）A函数在上单调递增B函数在上单调递减C函数图像关于对称D函数图像关于对称3某
2、空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（ ）ABC16D324已知椭圆的左、右焦点分别为、，过点的直线与椭圆交于、两点.若的内切圆与线段在其中点处相切，与相切于点，则椭圆的离心率为（ ）ABCD5已知函数的图像与一条平行于轴的直线有两个交点，其横坐标分别为，则（ ）ABCD6已知向量与向量平行，且，则（ ）ABCD7某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为（ ）ABCD8设全集，集合，则集合（ ）ABCD9已知双曲线的渐近线方程为，且其右焦点为，则双曲线的方程为（ ）ABCD10在平面直角坐标系中，已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终
3、边落在直线上，则（ ）ABCD11某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）ABCD12已知定义在上的函数在区间上单调递增，且的图象关于对称，若实数满足，则的取值范围是（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）函数的定义域是_14已知半径为4的球面上有两点，球心为O，若球面上的动点C满足二面角的大小为，则四面体的外接球的半径为_.15若为假，则实数的取值范围为_.16设满足约束条件，则的取值范围是_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）己知，.（1）求证：；（2）若，求证：.18（
4、12分）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，离心率为，且过点.（1）求椭圆C的方程；（2）过左焦点的直线l与椭圆C交于不同的A，B两点，若，求直线l的斜率k.19（12分）在中，内角的对边分别是，已知（1）求的值；（2）若，求的面积20（12分）已知，分别是椭圆：的左，右焦点，点在椭圆上，且抛物线的焦点是椭圆的一个焦点（1）求,的值：（2）过点作不与轴重合的直线，设与圆相交于A，B两点，且与椭圆相交于C，D两点，当时，求的面积21（12分）已知函数（1）讨论的单调性；（2）当时，求的取值范围.22（10分）在中,角、所对的边分别为、，角、的度数成等差数列，.（1）若，求的值；（2）求的最大值.
5、2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【答案解析】如图所示：作垂直于准线交准线于，则，故，得到答案.【题目详解】如图所示：作垂直于准线交准线于，则，在中，故，即.故选：.【答案点睛】本题考查了抛物线中角度的计算，意在考查学生的计算能力和转化能力.2、C【答案解析】依题意可得，即函数图像关于对称，再求出函数的导函数，即可判断函数的单调性；【题目详解】解：由，所以函数图像关于对称，又，在上不单调.故正确的只有C，故选：C【答案点睛】本题考查函数的对称性的判定，利用导数判断函数的单调性，
6、属于基础题.3、A【答案解析】几何体为一个三棱锥，高为4，底面为一个等腰直角三角形，直角边长为4，所以体积是，选A.4、D【答案解析】可设的内切圆的圆心为，设，可得，由切线的性质：切线长相等推得，解得、，并设，求得的值，推得为等边三角形，由焦距为三角形的高，结合离心率公式可得所求值【题目详解】可设的内切圆的圆心为，为切点，且为中点，设，则，且有，解得，设，设圆切于点，则，由，解得，所以为等边三角形，所以，解得.因此，该椭圆的离心率为.故选：D.【答案点睛】本题考查椭圆的定义和性质，注意运用三角形的内心性质和等边三角形的性质，切线的性质，考查化简运算能力，属于中档题5、A【答案解析】画出函数的图
7、像，函数对称轴方程为，由图可得与关于对称，即得解.【题目详解】函数的图像如图，对称轴方程为，又，由图可得与关于对称，故选：A【答案点睛】本题考查了正弦型函数的对称性，考查了学生综合分析，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.6、B【答案解析】设，根据题意得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出向量的坐标.【题目详解】设，且，由得，即，由，所以，解得，因此，.故选：B.【答案点睛】本题考查向量坐标的求解，涉及共线向量的坐标表示和向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中等题.7、D【答案解析】先根据三视图还原几何体是一个四棱锥，根据三视图的数据，计算各棱的长度.【题目详解】根据三视图可
8、知，几何体是一个四棱锥，如图所示：由三视图知： ， 所以，所以，所以该几何体的最长棱的长为故选：D【答案点睛】本题主要考查三视图的应用，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.8、C【答案解析】集合， 点睛：本题是道易错题，看清所问问题求并集而不是交集.9、B【答案解析】试题分析：由题意得，所以，所求双曲线方程为考点：双曲线方程.10、C【答案解析】利用诱导公式以及二倍角公式，将化简为关于的形式，结合终边所在的直线可知的值，从而可求的值.【题目详解】因为，且，所以.故选：C.【答案点睛】本题考查三角函数中的诱导公式以及三角恒等变换中的二倍角公式，属于给角求值类型的问题，难度一般.求解值的
9、两种方法：（1）分别求解出的值，再求出结果；（2）将变形为，利用的值求出结果.11、C【答案解析】作出三棱锥的实物图，然后补成直四棱锥，且底面为矩形，可得知三棱锥的外接球和直四棱锥的外接球为同一个球，然后计算出矩形的外接圆直径，利用公式可计算出外接球的直径，再利用球体的表面积公式即可得出该三棱锥的外接球的表面积.【题目详解】三棱锥的实物图如下图所示：将其补成直四棱锥，底面，可知四边形为矩形，且，.矩形的外接圆直径，且.所以，三棱锥外接球的直径为，因此，该三棱锥的外接球的表面积为.故选：C.【答案点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积，解题时要结合三视图作出三棱锥的实物图，并分析三棱锥的结构，选择合
10、适的模型进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.12、C【答案解析】根据题意，由函数的图象变换分析可得函数为偶函数，又由函数在区间上单调递增，分析可得，解可得的取值范围，即可得答案.【题目详解】将函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象，由于函数的图象关于直线对称，则函数的图象关于轴对称，即函数为偶函数，由，得，函数在区间上单调递增，则，得，解得.因此，实数的取值范围是.故选：C.【答案点睛】本题考查利用函数的单调性与奇偶性解不等式，注意分析函数的奇偶性，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【答案解析】要使函数有意义，则，即，解得，故函数的定义域是14、【
11、答案解析】设所在截面圆的圆心为，中点为，连接，易知即为二面角的平面角，可求出及，然后可判断出四面体外接球的球心在直线上，在中，结合，可求出四面体的外接球的半径.【题目详解】设所在截面圆的圆心为，中点为，连接，OAOB，所以，ODAB，同理O1DAB，所以，即为二面角的平面角，因为，所以是等腰直角三角形，在中，由cos60，得，由勾股定理，得：，因为O1到A、B、C三的距离相等，所以，四面体外接球的球心在直线上，设四面体外接球半径为，在中，由勾股定理可得：，即，解得【答案点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，考查了学生的空间想象能力、逻辑推理能力及计算求解能力，属于中档题15、【答案解析】由为假，
12、可知为真，所以对任意实数恒成立，求出的最小值，令即可.【题目详解】因为为假，则其否定为真，即为真，所以对任意实数恒成立，所以.又，当且仅当，即时，等号成立，所以.故答案为：.【答案点睛】本题考查全称命题与特称命题间的关系的应用，利用参变分离是解决本题的关键，属于中档题.16、【答案解析】作出可行域，将目标函数整理为可视为可行解与的斜率，则由图可知或，分别计算出与，再由不等式的简单性质即可求得答案.【题目详解】作出满足约束条件的可行域，显然当时，z=0；当时将目标函数整理为可视为可行解与的斜率，则由图可知或显然，联立，所以则或，故或综上所述，故答案为：【答案点睛】本题考查分式型目标函数的线性规划
13、问题，属于简单题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）证明见解析【答案解析】（1）采用分析法论证，要证，分式化整式为，再利用立方和公式转化为，再作差提取公因式论证.（2）由基本不等式得，再用不等式的基本性质论证.【题目详解】（1）要证，即证，即证，即证，即证，即证，该式显然成立，当且仅当时等号成立，故.（2）由基本不等式得，当且仅当时等号成立.将上面四式相加，可得，即.【答案点睛】本题考查证明不等式的方法、基本不等式，还考查推理论证能力以及化归与转化思想，属于中档题.18、（1）（2）直线l的斜率为或【答案解析】(1)根据已知列出方程组即可解得椭圆方程;(2)设直线方程,与椭圆方程联立, 转化为,借助向量的数量积的坐标表示,及韦达定理即可求得结果.【题目详解】（1）由题意得解得故椭圆C的方程为.（2）直线l的方程为，设，则由方程组消去y得，所以，由，得，所以，又所以，即所以，因此，直线l的斜率为或.【答案点睛】本题考查椭圆的标准方程,考查直线和椭圆的位置关系,考查学生的计算求解能力,难度一般.19、（1）；（2）.【答案解析】（1）由，利用余弦定理可得,结合可得结果；（2）由正弦定理，, 利用三角形内角和定理可得，由三角形面积公式可得结果.【题目详解】（1）由题意，得. , ， .（2），由正弦定理，可得. ab，
