1、1.5不等式与线性规划命题角度1不等式的性质与解不等式高考真题体验对方向1.(2016全国8)若ab1,0c1,则()A.acbcB.abcbacC.alogbcblogacD.logac2,所以A错;因为32=1823=12,所以B错;因为log312=-log32-1=log212,所以D错;因为3log212=-3b0,cdbdB.acbcD.adbc答案D解析cd-d0,01-c1-c0.又ab0,a-db-c,ad0,AB=x|0x3=(0,3.故选D.2.已知ab1bB.-a2bD.a3b3答案A解析ab1b,故A正确;-a-b,故B不正确;函数y=2a是增函数,故2a2b,故C不
2、正确;函数y=x3是增函数,故a3b3,所以D不正确.故选A.3.若a,b,c为实数,且ab0,则下列命题正确的是()A.ac2bc2B.1aabD.a2abb2答案D解析若c=0,A不成立,因为1a-1b=b-aab0,选项B错;由ba-ab=b2-a2ab=(b+a)(b-a)ab0,选项C错,故选D.4.设全集U=R,集合A=xx+13-x0,B=x142x8,则(UA)B为()A.(-1,3)B.-2,-1C.-2,3)D.-2,-1)3答案D解析由题意得A=xx+13-x0=x|-1x3,B=x|2-22x8=x|-2x3,UA=x|x-1或x3,(UA)B=x|-2x-13.故选D
3、.5.已知c3ac3b|a|B.acbcC.a-bc0D.ln ab0答案D解析因为c3ac3b0,当c1b0,即ba0,|b|a|,acbc,a-bc0成立,此时0ab1,lnab0,故选D.6.对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)-40恒成立,则实数a的取值范围是()A.(-,2)B.(-,2C.(-2,2D.(-2,2)答案C解析当a-2=0,即a=2时,原不等式变为-40,显然不等式恒成立,此时符合题意.当a-20,即a2时,因为对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)-40恒成立,所以a-20,=-2(a-2)2-4(a-2)(-4)0,解得a2,-2a2.-
4、2a2.综上可得-20,y0,x+2y=5,则(x+1)(2y+1)xy的最小值为.答案43解析(x+1)(2y+1)xy=2xy+x+2y+1xy=2xy+6xy=2xy+6xy22xy6xy=43.当且仅当xy=3xy,即xy=3时等号成立.2.(2017江苏10)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.答案30解析一年的总运费与总存储费用之和为4x+600x6=4x+900x42900=240,当且仅当x=900x,即x=30时等号成立.典题演练提能刷高分1.已知首项与公比相等的等比数列
5、an中,满足aman2=a42(m,nN*),则2m+1n的最小值为()A.1B.32C.2D.92答案A解析由题意可得a1=q,aman2=a42,a1qm-1(a1qn-1)2=(a1q3)2,即qmq2n=q8,所以m+2n=8.2m+1n=(m+2n)2m+1n18=2+mn+4nm+218(4+24)18=1.故选A.2.函数f(x)=x2+4|x|的最小值为()A.3B.4C.6D.8答案B解析f(x)=x2+4|x|=|x|+4|x|24=4,故选B.3.已知三点A(1,-2),B(a,-1),C(-b,0)共线,则1+2aa+2+bb(a0,b0)的最小值为()A.11B.10
6、C.6D.4答案A解析由A(1,-2),B(a,-1),C(-b,0)共线得-21+b=-1+2a-1,2a+b=1,1+2aa+2+bb=4a+ba+4a+3bb=7+ba+4ab7+2ba4ab=11,当且仅当ba=4ab,2a+b=1a=14,b=12时取等号,故选A.4.已知函数f(x)=log3(x+2),x1,ex-1,x1.若m0,n0,且m+n=ff(2),则1m+2n的最小值为.答案3+22解析函数f(x)=log3(x+2),x1,ex-1,x1,m+n=ff(2)=f(eln2-1)=f(2-1)=log33=1,则1m+2n=(m+n)1m+2n=3+nm+2mn3+2
7、nm2mn=3+22,当且仅当n=2m时,取得最小值3+22.5.要制作一个容积为4 m3,高为1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米200元,侧面造价是每平方米100元,则该容器的最低总造价是元.答案1 600解析设长方体的底面的长为xm,则宽为4xm,总造价为y元,则y=4200+2100x+4x800+400x4x=1600,当且仅当x=4x,即x=2时,等号成立,故答案为1600元.6.已知正实数a,b满足2ab,且ab=12,则4a2+b2+12a-b的最小值为.答案23解析由题意得2a-b0,4a2+b2+12a-b=4a2+b2-4ab+32a-b=(2a-b)
8、2+32a-b=(2a-b)+32a-b23,当且仅当2a-b=32a-b时等号成立.命题角度3简单的线性规划问题高考真题体验对方向1.(2023北京5)若x,y满足|x|1-y,且y-1,则3x+y的最大值为()A.-7B.1C.5D.7答案C解析由题意得-1y1,y-1x1-y,作出可行域如图阴影部分所示.设z=3x+y,y=z-3x,当直线l0:y=z-3x经过点(2,-1)时,z取最大值5.故选C.2.(2023天津2)设变量x,y满足约束条件x+y-20,x-y+20,x-1,y-1,则目标函数z=-4x+y的最大值为()A.2B.3C.5D.6答案C解析画出可行域如图,平移目标函数
9、z=-4x+y可知过点A时取得最大值,由x=-1,x-y+2=0,得A(-1,1).zmax=-4(-1)+1=5.故选C.3.(2023全国13)若x,y满足约束条件x-2y-20,x-y+10,y0,则z=3x+2y的最大值为.答案6解析作出可行域,如图阴影部分所示(包括边界).由z=3x+2y,得y=-32x+12z,作直线y=-32x并向上平移,显然l过点B(2,0)时,z取最大值,zmax=32+0=6.4.(2023全国14)若x,y满足约束条件x+2y-50,x-2y+30,x-50.则z=x+y的最大值为.答案9解析由题意,作出可行域如图.要使z=x+y取得最大值,当且仅当过点
10、(5,4)时,zmax=9.5.(2017全国14)设x,y满足约束条件x+2y1,2x+y-1,x-y0,则z=3x-2y的最小值为.答案-5解析不等式组x+2y1,2x+y-1,x-y0表示的平面区域如图所示.由z=3x-2y,得y=32x-z2.求z的最小值,即求直线y=32x-z2的纵截距的最大值.数形结合知当直线y=32x-z2过图中点A时,纵截距最大.由2x+y=-1,x+2y=1,解得A点坐标为(-1,1),此时z取得最小值为3(-1)-21=-5.6.(2023北京10)若x,y满足x2,y-1,4x-3y+10,则y-x的最小值为,最大值为.答案-31解析作出可行域如图阴影部
11、分所示.设z=y-x,则y=x+z.当直线l0:y=x+z经过点A(2,-1)时,z取最小值-3,经过点B(2,3)时,z取最大值1.典题演练提能刷高分1.(2023四川成都七中高三模拟)设x,y满足约束条件x-y+10,x+y-10,x+2y+10,则z=2y-x的最小值为()A.1B.2C.3D.4答案A解析画出约束条件所表示的可行域,如图(阴影部分)所示.目标函数z=2y-x可化为直线y=12x+z2,结合图象可得当直线y=12x+z2过点A时,此时在y轴上的截距最小,此时目标函数取得最小值,又由x-y+1=0,x+2y+1=0,解得A(-1,0),所以目标函数的最小值为zmin=20-
12、(-1)=1.故选A.2.(2023吉林长春实验中学高三模拟)已知实数x,y满足x+y1,x2+y21,则2x+y的取值范围是()A.1,2B.1,+)C.(0,5)D.1,5答案D解析设2x+y=b,则只需求直线2x+y=b在y轴上的截距范围.画出可行域如图中弓形部分所示,当直线与圆相切时,截距最大,且为5,当直线过点(0,1)时截距最小,且为1,所以2x+y的取值范围是1,5.故选D.3.若实数x,y满足2x-y+10,x+y0,x0,则z=|x-y|的最大值是()A.0B.1C.23D.13答案B解析作可行域如图,则|x-y|=y-x,所以直线z=y-x过点A(0,1)时,z取最大值1,故选B.4.已知向量a=(1,2),b=(x,y),且实数x,y满足y0,yx,x+y-30,则z=ab的最大值为.答案92解析a=(1,2),b=(x,y),z=ab=x+2y.所以y=-12x+12z,作出不等式组y0,yx,x+y-30所表示的平面区域.由y=x,x+y-3=0得x=y=32,结合图形可知,当直线经过点A32,32时纵截距最大,此时(x+2y)max=32+232=92.5.若实数x,y满足不等式组y0,2x-y+30,x+y-10,则z=2y-|x|的最小值是.答案-32
