1、第2讲 空间图形的基本关系与公理 基础题组练1四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数有()A4个 B3个C2个 D1个解析：选A.首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面2已知l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()Al1l2，l2l3l1l3Bl1l2，l2l3l1l3Cl1l2l3l1，l2，l3共面Dl1，l2，l3共点l1，l2，l3共面解析：选B.在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两条平行直线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；
2、共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错3如图，ABCDA1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是()AA，M，O三点共线 BA，M，O，A1不共面CA，M，C，O不共面 DB，B1，O，M共面解析：选A.连接A1C1，AC，则A1C1AC，所以A1，C1，C，A四点共面，所以A1C平面ACC1A1，因为MA1C，所以M平面ACC1A1.又M平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理A，O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上所以A，M，O三点共线4.(2023年广东东莞模拟)如图，在三棱柱AB
3、CA1B1C1中，侧棱AA1底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是()ACC1与B1E是异面直线BAC平面ABB1A1CAE，B1C1为异面直线，且AEB1C1DA1C1平面AB1E解析：选C.因为CC1与B1E都在平面CC1B1B内，且CC1与B1E是相交直线，所以选项A错误假设AC平面ABB1A1，则ACAB，即CAB90，从而可得C1A1B190，这与题设“底面三角形A1B1C1是正三角形”矛盾，故假设错误，即选项B错误因为点B1AE，直线B1C1交平面AEB1于点B1，所以AE，B1C1为异面直线；由题意可知ABC是正三角形，又E是BC的
4、中点，所以AEBC，结合BCB1C1可得AEB1C1，故选项C正确因为直线AC交平面AB1E于点A，又ACA1C1，所以直线A1C1与平面AB1E相交，故选项D错误综上，选C.5在各棱长均相等的直三棱柱ABCA1B1C1中，已知M是棱BB1的中点，N是棱AC的中点，则异面直线A1M与BN所成角的正切值为()A. B1C. D解析：选C.法一：如图，取AA1的中点P，连接PN，PB，则由直三棱柱的性质可知A1MPB，则PBN为异面直线A1M与BN所成的角(或其补角)设三棱柱的棱长为2，则PN，PB，BN，所以PN2BN2PB2，所以PNB90，在RtPBN中，tanPBN，故选C.法二：以N为坐
5、标原点，NB，NC所在的直线分别为x轴，y轴，过点N与平面ABC垂直的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB2，则N(0，0，0)，A1(0，1，2)，B(，0，0)，M(，0，1)，所以(，0，0)，(，1，1)，设直线A1M与BN所成的角为，则cos |cos，|，则sin ，tan .6如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且，则下列说法正确的是_EF与GH平行；EF与GH异面；EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上；EF与GH的交点M一定在直线AC上解析：连接EH，FG(图略)，依题意，可得EH
6、BD，FGBD，故EHFG，所以E，F，G，H四点共面因为EHBD，FGBD，故EHFG，所以EFGH是梯形，EF与GH必相交，设交点为M.因为点M在EF上，故点M在平面ACB上同理，点M在平面ACD上，所以点M是平面ACB与平面ACD的交点，又AC是这两个平面的交线，所以点M一定在直线AC上答案：7一正方体的平面展开图如图所示，在这个正方体中，有下列四个命题：AFGC；BD与GC成异面直线且夹角为60；BDMN；BG与平面ABCD所成的角为45.其中正确的是_(填序号)解析：将平面展开图还原成正方体(如图所示)对于，由图形知AF与GC异面垂直，故正确；对于，BD与GC显然成异面直线如图，连接
7、EB，ED，则BEGC，所以EBD即为异面直线BD与GC所成的角(或其补角)在等边BDE中，EBD60，所以异面直线BD与GC所成的角为60，故正确；对于，BD与MN为异面垂直，故错误；对于，由题意得，GD平面ABCD，所以GBD是BG与平面ABCD所成的角但在RtBDG中，GBD不等于45，故错误综上可得正确答案：8(2023年河南安阳调研四)在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E平面AA1B1B，点F是线段AA1的中点，若D1ECF，则当EBC的面积取得最小值时，_解析：如图所示，连接B1D1，取AB的中点G，连接D1G，B1G.由题意得CF平面B1D1G，所以当点E在直线B1G上时，D
8、1ECF，设BCa，则SEBCEBBCEBa，当EBC的面积取最小值时，线段EB的长度为点B到直线B1G的距离，所以线段EB长度的最小值为，所以.答案：9如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点证明：(1)如图，连接EF，CD1，A1B.因为E，F分别是AB，AA1的中点，所以EFBA1.又A1BD1C，所以EFCD1，所以E，C，D1，F四点共面(2)因为EFCD1，EFCD1，所以CE与D1F必相交，设交点为P，如图所示则由PCE，CE平面ABCD，得P平面ABCD.同理P平面ADD1
9、A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，所以P直线DA，所以CE，D1F，DA三线共点10.如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，D是PC的中点已知BAC，AB2，AC2，PA2.求：(1)三棱锥PABC的体积；(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值解：(1)SABC222，三棱锥PABC的体积为VSABCPA22.(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则EDBC，所以ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角在ADE中，DE2，AE，AD2，cosADE.故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.综合题组练1(2023年广东深圳二模)已知正方体ABCDA1B1C1D1，P为棱CC
10、1上的动点，Q为棱AA1的中点，设直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，则()AmD1QBm平面B1D1QCmB1QDm平面ABB1A1解析：选B.因为正方体ABCDA1B1C1D1中，P为棱CC1上的动点，Q为棱AA1的中点，直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，且BDB1D1，所以mBDB1D1，因为m平面B1D1Q，B1D1平面B1D1Q，所以m平面B1D1Q.故选B.2在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是DD1和AB的中点，平面B1EF交棱AD于点P，则PE()A. B C. D解析：选D.过点C1作C1GB1F，交直线CD于点G，过点E作HQC1G，交C
11、D延长线，C1D1于点H，Q，连接B1Q，HF交AD于点P，HQB1F，所以Q，H，F，B1四点共面，易求得HDD1Q，由PDHPAF可得2，则PD，在RtPED中，PE ，故选D.3.如图，在直二面角ABDC中，ABD，CBD均是以BD为斜边的等腰直角三角形，取AD的中点E，将ABE沿BE翻折到A1BE，在ABE的翻折过程中，下列不可能成立的是()ABC与平面A1BE内某直线平行BCD平面A1BECBC与平面A1BE内某直线垂直DBCA1B解析：选D.连接CE，当平面A1BE与平面BCE重合时，BC平面A1BE，所以平面A1BE内必存在与BC平行和垂直的直线，故A，C可能成立；在平面BCD内
12、过B作CD的平行线BF，使得BFCD，连接EF，则当平面A1BE与平面BEF重合时，BF平面A1BE，故平面A1BE内存在与BF平行的直线，即平面A1BE内存在与CD平行的直线，所以CD平面A1BE，故B可能成立若BCA1B，又A1BA1E，则A1B为直线A1E和BC的公垂线，所以A1BCE，设A1B1，则经计算可得CE，与A1BCE矛盾，故D不可能成立故选D.4如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，点N在正方体的底面ABCD内运动，则MN的中点P的轨迹的面积是_解析：连接DN，则MDN为直角三角形，在RtMDN中，MN2，P为MN的
13、中点，连接DP，则DP1，所以点P在以D为球心，半径R1的球面上，又因为点P只能落在正方体上或其内部，所以点P的轨迹的面积等于该球面面积的，故所求面积S4R2.答案：5.已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，A1在底面ABC内的射影O为底面三角形ABC的中心，如图所示(1)连接BC1，求异面直线AA1与BC1所成角的大小；(2)连接A1C，A1B，求三棱锥C1BCA1的体积解：(1)因为AA1CC1，所以异面直线AA1与BC1所成的角为BC1C或其补角连接AO，并延长与BC交于点D，则D是BC边上的中点因为点O是正三角形ABC的中心，且A1O平面ABC，所以BCAD，BCA1O
14、，因为ADA1OO，所以BC平面ADA1.所以BCAA1，又因为AA1CC1，所以CC1BC，BCCC1B1C1BB12，即四边形BCC1B1为正方形，所以异面直线AA1与BC1所成角的大小为.(2)因为三棱柱的所有棱长都为2，所以可求得AD，AOAD，A1O.所以VABCA1B1C1SABCA1O2，VA1BCC1B1VABCA1B1C1VA1ABC，所以VC1BCA1VA1BCC1VA1BCC1B1.6.(2023年衡阳模拟)如图，四棱锥MABCD中，CDADAB90，AB2DC，MCD与MAD都是等边三角形，且点M在底而ABCD上的射影为O.(1)证明：O为AC的中点；(2)求异面直线MD与BC所成角的大小解：(1)证明：连接AC，取AC的中点N，连接MN，DN，因为MCD与
