1、专题突破练18空间中的垂直与空间角1.(2023北京怀柔模拟,理16)已知在三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,ABAC,PA=AC=12AB=2,N为AB上一点,AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.(1)证明:CMSN;(2)求直线SN与平面CMN所成角的大小;(3)求二面角B-NC-M大小的余弦值.2.(2023河北唐山一模,理18)如图,ABC中,AB=BC=4,ABC=90,E,F分别为AB,AC边的中点,以EF为折痕把AEF折起,使点A到达点P的位置,且PB=BE.(1)证明:BC平面PBE;(2)求平面PBE与平面PCF所成锐二面角的余弦值.3.(2023河北武邑中学调研二
2、,理19)如图,已知多面体ABC-A1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,ABC=120,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2.(1)证明:AB1平面A1B1C1;(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.4.(2023山西太原二模,理18)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,ADBC,ABAD,AD=2AB=2BC=2,PCD是正三角形,PCAC,E是PA的中点.(1)证明:ACBE;(2)求直线BP与平面BDE所成角的正弦值.5.(2023山东实验等四校联考,理18)如图,在直角ABC中,B为直角,AB=2BC,E,F分别为AB,AC的中
3、点,将AEF沿EF折起,使点A到达点D的位置,连接BD,CD,M为CD的中点.(1)证明:MF面BCD;(2)若DEBE,求二面角E-MF-C的余弦值.6.(2023福建漳州质检二,理18)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面ABCD平面PAD,ADBC,AB=BC=AP=12AD,ADP=30,BAD=90,E是PD的中点.(1)证明:PDPB;(2)设AD=2,点M在线段PC上且异面直线BM与CE所成角的余弦值为105,求二面角M-AB-P的余弦值.7.(2023山西晋城二模,理19)在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,BAD=BCD=90,ADC=60且AD=CD,BB1平面ABCD,B
4、B1=2AB=2.(1)证明:ACB1D.(2)求BC1与平面B1C1D所成角的正弦值.8.(2023山东青岛二模,理18)如图,在圆柱W中,点O1,O2分别为上、下底面的圆心,平面MNFE是轴截面,点H在上底面圆周上(异于N、F),点G为下底面圆弧ME的中点,点H与点G在平面MNFE的同侧,圆柱W的底面半径为1,高为2.(1)若平面FNH平面NHG,证明:NGFH;(2)若直线NH与平面NFG所成线面角的正弦值等于155,证明:平面NHG与平面MNFE所成锐二面角的平面角大于3.2023学年参考答案专题突破练18空间中的垂直与空间角1.(1)证明以A为原点,AB,AC,AP分别为x,y,z轴
5、建立空间直角坐标系,则P(0,0,2),C(0,2,0),B(4,0,0),M(2,0,1),N(1,0,0),S(2,1,0),CM=(2,-2,1),SN=(-1,-1,0),CMSN=2(-1)+(-2)(-1)+10=0,CMSN.(2)解CN=(1,-2,0),设a=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量,则x-2y=0,2x-2y+z=0.令y=1,则x=2,z=-2.a=(2,1,-2).|cos|=2(-1)+1(-1)+023=22,直线SN与平面CMN所成角为45.(3)解由(2)知平面CMN的一个法向量a=(2,1,-2).又平面BNC的法向量b=(0,0,1),且二面角
6、B-NC-M为锐角,|cos|=20+19+(-2)113=23.二面角B-NC-M大小的余弦值为23.2.(1)证明因为E,F分别为AB,AC边的中点,所以EFBC.因为ABC=90,所以EFBE,EFPE.又因为BEPE=E,所以EF平面PBE,所以BC平面PBE.(2)解取BE的中点O,连接PO,由(1)知BC平面PBE,BC平面BCFE,所以平面PBE平面BCFE.因为PB=BE=PE,所以POBE.又因为PO平面PBE,平面PBE平面BCFE=BE,所以PO平面BCFE.过O作OMBC交CF于点M,分别以OB,OM,OP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则P(0,0,3),C
7、(1,4,0),F(-1,2,0).PC=(1,4,-3),PF=(-1,2,-3),设平面PCF的法向量为m=(x,y,z),则PCm=0,PFm=0,即x+4y-3z=0,-x+2y-3z=0,则m=(-1,1,3).易知n=(0,1,0)为平面PBE的一个法向量,cos=-10+11+30(-1)2+12+(3)2=15=55,所以平面PBE与平面PCF所成锐二面角的余弦值为55.3.(1)证明A1A平面ABC,B1B平面ABC,AA1BB1.AA1=4,BB1=2,AB=2,A1B1=AB2+(AA1-BB1)2=22.又AB1=AB2+BB12=22,AA12=AB12+A1B12,
8、AB1A1B1.同理可得AB1B1C1.又A1B1B1C1=B1,AB1平面A1B1C1.(2)解取AC中点O,过O作平面ABC的垂线OD,交A1C1于点D.AB=BC,OBOC,AB=BC=2,BAC=120,OB=1,OA=OC=3.以O为原点,以OB,OC,OD所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示.则A(0,-3,0),B(1,0,0),B1(1,0,2),C1(0,3,1),AB=(1,3,0),BB1=(0,0,2),AC1=(0,23,1),设平面ABB1的法向量为n=(x,y,z),则nAB=0,nBB1=0,x+3y=0,2z=0.令y=1可得n=(-3,1,0),cos
9、=nAC1|n|AC1|=23213=3913.设直线AC1与平面ABB1所成的角为,则sin=|cos|=3913.直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值为3913.4.(1)证明设F是PD的中点,连接EF,CF.E是PA的中点,EFAD,EF=12AD,ADBC,AD=2BC,EFBC,EF=BC,BCFE是平行四边形,BECF.ADBC,ABAD,ABC=BAD=90.AB=BC,CAD=45,AC=2,由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2ACADcosCAD=2,AC2+CD2=4=AD2,ACCD.PDAC,AC平面PCD,ACCF,ACBE.(2)由(1)得AC平面PCD,CD
10、=2,平面ABCD平面PCD.过点P作POCD,垂足为O,OP平面ABCD,以O为坐标原点,OC的方向为x轴的正方向,建立如图的空间直角坐标系O-xyz,则P0,0,62,D-22,0,0,B2,-22,0,E24,-22,64,BP=-2,22,62.设m=(x,y,z)是平面BDE的一个法向量,则mBD=0,mBE=0,-322x+22y=0,-324x+64z=0.令x=1,则y=3,z=3,m=(1,3,3).cos=mBP|m|BP|=2613.直线BP与平面BDE所成角的正弦值为2613.5.(1)证明取DB中点N,连接MN,EN,MN12BC,EFЛ
11、712;12BC,四边形EFMN是平行四边形.EFBE,EFDE,BEDE=E,EF平面BED,EFEN,MFMN.在DFC中,DF=FC,又M为CD的中点,MFCD.又MFMN=M,MF,MN平面BCD,MF平面BCD.(2)解DEBE,又DEEF,BEEF=E,DE平面BEF,可建立空间直角坐标系,如图所示.设BC=2,E(0,0,0),F(0,1,0),C(-2,2,0),M(-1,1,1),EF=(0,1,0),FM=(-1,0,1),CF=(2,-1,0).设面EMF的法向量为m=(x,y,z),mEF=0,mFM=0,y=0,-x+z=0.取x=1,m=(1,0,1).同理可得CM
12、F的法向量n=(1,2,1),cos=mn|m|n|=33,故二面角E-MF-C的余弦值为-33.6.(1)证明BAD=90,BAAD,平面ABCD平面PAD,交线为AD,BA平面PAD,BAPD.在PAD中,APsinADP=ADsinAPD,sinAPD=1,APD=90,APPD.BAAP=A,PD平面PAB.PB平面PAB,PDPB.(2)解如图,以P为坐标原点,过点P垂直于平面PAD的射线为z轴,射线PD为x轴,射线PA为y轴,建立空间直角坐标系.AD=2,AB=BC+AP=1,PD=3,P(0,0,0),A(0,1,0),B(0,1,1),C32,12,1,E32,0,0),设PM
13、=PC,则PM=32,12,1.M32,12,BM=32,12-1,-1.又CE=0,-12,-1,点M在线段PC上且异面直线BM与CE所成角的余弦值为105,|cos|=|5-6|2522-3+2=105,整理,得92-36+20=0,解得=23或=103(舍),M33,13,23.设平面MAB的法向量m=(x,y,z),则mBM=33x-23y-13z=0,nBA=-z=0.取x=2,得m=(2,3,0).由(1)知PD平面PAB,平面PAD的一个法向量为n=(1,0,0),cos=|mn|m|n|=277.二面角M-AB-P的余弦值为277.7.(1)证明由BAD=BCD=90,AD=CD,易知ABDCBD,所以AB=CB,易证ACBD.又因为BB1平面ABCD,所以ACBB1,所以AC平面BB1D,因为B1D平面BB1D,所以ACB1D.(2)解以AC,BD的交点O为原点,建立空间直角坐标系O-xyz,如图所示.由(1)中的结论及BB1=2AB=2,知B12,0,0,B112,0,2,C10,32,2,D-32,0,0,所以BC1=-12,32,2,B1C1=-12,32,0,B1D=(-2,0,-2).设平面B1C1D的法向量
