1、能力升级练(十一)空间向量与空间几何体一、选择题1.(2023山东烟台模拟)已知向量a=(-3,2,5),b=(1,x,-1),则ab=2,则x的值为()A.3B.4C.5D.6解析因为a=(-3,2,5),b=(1,x,-1),所以ab=-3+2x-5=2,解得x=5.答案C2.若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120,则直线l与平面所成的角等于()A.120B.60C.30D.60或30解析设直线l与平面所成的角为,直线l与平面的法向量的夹角为.则sin=|cos|=|cos120|=12.又090,=30.答案C3.(2023湖北黄冈模拟)已知向量a=(2m+1,3,m-1),b
2、=(2,m,-m),且ab,则实数m的值等于()A.32B.-2C.0D.32或-2解析ab,2m+12=3m=m-1-m,解得m=-2.答案B4.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E,F分别是BC,AD的中点,则AEAF的值为()A.a2B.12a2C.14a2D.34a2解析如图,设AB=a,AC=b,AD=c,则|a|=|b|=|c|=a,且a,b,c三向量两两夹角为60.AE=12(a+b),AF=12c,AEAF=12(a+b)12c=14(ac+bc)=14(a2cos60+a2cos60)=14a2.答案C5.如图,在空间四边形OABC中,OA=8,AB=6,
3、AC=4,BC=5,OAC=45,OAB=60,则OA与BC所成角的余弦值为()A.3-225B.2-26C.12D.32解析因为BC=AC-AB,所以OABC=OAAC-OAAB=|OA|AC|cos-|OA|AB|cos=84cos135-86cos120=-162+24.所以cos=OABC|OA|BC|=24-16285=3-225.即OA与BC所成角的余弦值为3-225.答案A6.在正方体A1B1C1D1-ABCD中,AC与B1D所成角大小为()A.6B.4C.3D.2解析建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体边长为1,则A(0,0,0),C(1,1,0),B1(1,0,1),D(0
4、,1,0).AC=(1,1,0),B1D=(-1,1,-1),ACB1D=1(-1)+11+0(-1)=0,ACB1D,AC与B1D所成的角为2.答案D7.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA平面ABCD,PA=AD=4,AB=2.以AC的中点O为球心,AC为直径的球面交PD于点M.则CD与平面ACM所成角的正弦值为()A.32B.33C.53D.63解析如图所示,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),P(0,0,4),B(2,0,0),C(2,4,0),D(0,4,0),M(0,2,2).所以AC=(2,4,0),AM=(0,2,2),CD=(-2,0,0).设平面ACM
5、的一个法向量n=(x,y,z),由nAC,nAM,可得2x+4y=0,2y+2z=0,令z=1,得n=(2,-1,1).设所求角为,则sin=CDn|CD|n|=63.答案D8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD夹角的余弦值为()A.12B.23C.33D.22解析以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设棱长为1,则A1(0,0,1),E1,0,12,D(0,1,0),A1D=(0,1,-1),A1E=1,0,-12.设平面A1ED的一个法向量为n1=(1,y,z),则有A1Dn1=0,A
6、1En1=0,即y-z=0,1-12z=0,y=2,z=2,n1=(1,2,2).平面ABCD的一个法向量为n2=(0,0,1),cos=231=23,由图形知平面A1ED与平面ABCD夹角的余弦值为23.答案B9.(2023山东日照模拟)设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则点D1到平面A1BD的距离是()A.32B.22C.223D.233解析如图,以点D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),D1(0,0,2),A1(2,0,2),B(2,2,0),D1A1=(2,0,0),DB=(2,2,0),DA1=(2,0,2
7、),设平面A1BD的一个法向量n=(x,y,z),则nDA1=0,nDB=0,2x+2z=0,2x+2y=0,令z=1,得n=(-1,1,1).D1到平面A1BD的距离d=|D1A1n|n|=23=233.答案D二、填空题10.如图所示,在四面体OABC中,OA=a,OB=b,OC=c,D为BC的中点,E为AD的中点,则OE=(用a,b,c表示).解析OE=OA+AE=a+12AD=a+12(OD-OA)=12a+12OD=12a+1212(OB+OC)=12a+14b+14c.答案12a+14b+14c11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱AA1和BB1的中点,则sin的
8、值为.解析如图,建立空间直角坐标系D-xyz,设正方体棱长为2,则易得CM=(2,-2,1),D1N=(2,2,-1),cos=CMD1N|CM|D1N|=-19,sin=1-192=459.答案45912.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则直线CD与平面BDC1所成角的正弦值等于.解析以D为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图.设AA1=2AB=2,则D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,2),则DC=(0,1,0),DB=(1,1,0),DC1=(0,1,2).设平面BDC1的一个法向量为n=(x,y,z),则nDB,nDC1,所以有x+
9、y=0,y+2z=0,令y=-2,得平面BDC1的一个法向量为n=(2,-2,1).设直线CD与平面BDC1所成的角为,则sin=|cos|=nDC|n|DC|=23.答案2313.(一题多解)已知点E,F分别在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1,CC1上,且B1E=2EB,CF=2FC1,则平面AEF与平面ABC所成的锐二面角的正切值为.解析如图,以点D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系D-xyz,设DA=1,由已知条件得A(1,0,0),E1,1,13,F0,1,23,AE=0,1,13,AF=-1,1,23,设平面AEF的法向量为n=
10、(x,y,z),平面AEF与平面ABC所成的锐二面角为,由nAE=0,nAF=0,得y+13z=0,-x+y+23z=0.令y=1,z=-3,x=-1,则n=(-1,1,-3),取平面ABC的法向量为m=(0,0,-1),则cos=|cos|=31111,tan=23.答案23三、解答题14.已知空间中三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=AB,b=AC.(1)若|c|=3,且cBC,求向量c.(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值.解(1)cBC,BC=(-3,0,4)-(-1,1,2)=(-2,-1,2),c=mBC=m(-2,-1,2)=(-2m,-m,2m
11、),|c|=(-2m)2+(-m)2+(2m)2=3|m|=3,m=1.c=(-2,-1,2)或(2,1,-2).(2)a=(1,1,0),b=(-1,0,2),ab=(1,1,0)(-1,0,2)=-1,又|a|=12+12+02=2,|b|=(-1)2+02+22=5,cos=ab|a|b|=-110=-1010,即向量a与向量b的夹角的余弦值为-1010.15.(2023河北五校联考)如图,在斜三棱柱(侧棱不垂直于底面)ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C底面ABC,底面ABC是边长为2的正三角形,A1A=A1C,A1AA1C.(1)求证:A1C1B1C;(2)求二面角B1-A1C-
12、C1的正弦值.(1)证明如图,取A1C1的中点D,连接B1D,CD,C1C=A1A=A1C,CDA1C1,底面ABC是边长为2的正三角形,AB=BC=2,A1B1=B1C1=2,B1DA1C1,又B1DCD=D,B1D平面B1CD,CD平面B1CD,A1C1平面B1CD,A1C1B1C.(2)解如图,取AC的中点O,以O为坐标原点,射线OB,OC,OA1分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则O(0,0,0),B(3,0,0),A1(0,0,1),B1(3,1,1),C1(0,2,1),C(0,1,0),A1B1=(3,1,0),A1C=(0,1,-1).设m=(x,y,z)为平面A1B1C的法向量,mA1B1=3x+y=0,mA1C=y-z=0,令y=3,得m=(-1,3,3),又OB=(3,0,0)为平面A1CC1的一个法向量,cos=mOB|m|OB|=-77,由图易知所求二面角的夹角为锐角,二面角B1-A1C-C1的正弦值为1-772=427.11
