1、1.4平面向量高考命题规律1.高考必考考题.选择题或填空题,5分,中低档难度,主要考查向量的坐标运算.2.全国高考有4种命题角度,分布如下表.2023年高考必备2015年2016年2017年2023年2023年卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷命题角度1平面向量的线性运算、平面向量基本定理7命题角度2平面向量的坐标运算2413133131313313命题角度3计算平面向量的数量积4命题角度4平面向量数量积的应用48命题角度1平面向量的线性运算、平面向量基本定理高考真题体验对方向1.(2023全国7)在ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则EB=()A.34AB-14ACB.14AB-34
2、ACC.34AB+14ACD.14AB+34AC答案A解析如图,EB=-BE=-12(BA+BD)=12AB-14BC=12AB-14(AC-AB)=34AB-14AC.2.(2014全国6)设D,E,F分别为ABC的三边BC,CA,AB的中点,则EB+FC=()A.ADB.12ADC.BCD.12BC答案A解析由于D,E,F分别是BC,CA,AB的中点,所以EB+FC=-12(BA+BC)-12(CA+CB)=-12(BA+CA)=12(AB+AC)=122AD=AD,故选A.3.(2014福建10)设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点,则OA+OB
3、+OC+OD等于()A.OMB.2OMC.3OMD.4OM答案D解析因为M是AC和BD的中点,由平行四边形法则,得OA+OC=2OM,OB+OD=2OM,所以OA+OB+OC+OD=4OM.故选D.典题演练提能刷高分1.已知两个非零向量a,b互相垂直,若向量m=4a+5b与n=2a+b共线,则实数的值为()A.5B.3C.2.5D.2答案C解析向量m=4a+5b与n=2a+b共线,存在实数t,使得m=tn,即4a+5b=t(2a+b),又向量a,b互相垂直,故a,b不共线.2t=4,t=5,解得t=2,=52.故选C.2.(2023山东实验中学等四校高三联考)如图RtABC中,ABC=2,AC
4、=2AB,BAC平分线交ABC的外接圆于点D,设AB=a,AC=b,则向量AD=()A.a+bB.12a+bC.a+12bD.a+23b答案C解析设圆的半径为r,在RtABC中,ABC=2,AC=2AB,所以BAC=3,ACB=6,BAC平分线交ABC的外接圆于点D,所以ACB=BAD=CAD=6,则根据圆的性质有BD=CD=AB.又因为在RtABC中,AB=12AC=r=OD,所以四边形ABDO为菱形,所以AD=AB+AO=a+12b.故选C.3.(2023宁夏平罗中学高三期中)已知数列an是正项等差数列,在ABC中,BD=tBC(tR),若AD=a3AB+a5AC,则a3a5的最大值为()
5、A.1B.12C.14D.18答案C解析BD=tBC,故B,C,D三点共线.AD=a3AB+a5AC,a3+a5=1,数列an是正项等差数列,故a30,a50,1=a3+a52a3a5,解得a3a514,故选C.4.(2023山东德州高三模拟)设向量a,b不平行,向量a+14b与-a+b平行,则实数=.答案-4解析由a,b不平行,知-a+b0,又a+14b与-a+b平行,故存在实数,使a+14b=(-a+b).根据平面向量基本定理得,-=1,14=,=-4.5.如图,有5个全等的小正方形,BD=xAE+yAF,则x+y的值是.答案1解析由平面向量的运算可知BD=AD-AB,而AD=2AE,AB
6、=AH+HB=2AF-AE,所以BD=AD-AB=2AE-(2AF-AE)=3AE-2AF,注意到AE,AF不共线,且BD=xAE+yAF,即xAE+yAF=3AE-2AF,所以x=3,y=-2,即x+y=1.6.在平面向量中有如下定理:设点O,P,Q,R为同一平面内的点,则P、Q、R三点共线的充要条件是:存在实数t,使OP=(1-t)OQ+tOR.试利用该定理解答下列问题:如图,在ABC中,点E为AB边的中点,点F在AC边上,且CF=2FA,BF交CE于点M,设AM=xAE+yAF,则x+y=.答案75解析B,M,F三点共线,存在实数t,使得AM=(1-t)AB+tAF,又AB=2AE,AF
7、=13AC,AM=2(1-t)AE+13tAC,又E,M,C三点共线,2(1-t)+13t=1,解得t=35.AM=2(1-t)AE+tAF=45AE+35AF,x=45,y=35,x+y=75.命题角度2平面向量的坐标运算高考真题体验对方向1.(2023全国3)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|=()A.2B.2C.52D.50答案A解析由题意,得a-b=(-1,1),则|a-b|=(-1)2+12=2,故选A.2.(2023全国13)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),则cos=.答案-210解析cos=ab|a|b|=2(-8)+2622+22(-8)2+62=-
8、42210=-210.3.(2023北京9)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且ab,则m=.答案8解析a=(-4,3),b=(6,m),ab,ab=0,即-46+3m=0,即m=8.4.(2023全国13)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,).若c(2a+b),则=.答案12解析2a+b=2(1,2)+(2,-2)=(4,2),c=(1,),由c(2a+b),得4-2=0,得=12.5.(2017全国13)已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且ab,则m=.答案2解析ab,ab=(-2,3)(3,m)=-23+3m=0,解得m=2.典题演练提能刷高分1.已知向
9、量a=(1,1),b=(-1,2),若(a-b)(2a+tb),则t=()A.0B.12C.-2D.-3答案C解析因为a-b=(2,-1),2a+tb=(2-t,2+2t),又因为(a-b)(2a+tb),所以2(2+2t)=-(2-t),t=-2,故选C.2.已知向量a=(1,1),b=(2,x),若a+b与3a-b平行,则实数x的值是.答案2解析a=(1,1),b=(2,x),a+b与3a-b平行,a+b=(3,x+1),3a-b=(1,3-x),所以3(3-x)-(x+1)=0,解得x=2.3.已知向量a=(2,-1),b=(6,x),且ab,则|a-b|=.答案25解析由题得2x+6=
10、0,即x=-3.则a-b=(-4,2),|a-b|=42+(-2)2=25.4.已知a=(-1,1),b=(2,-1),c=(1,2),若a=b+c,则=.答案-3解析由a=b+c可知(-1,1)=(2,-1)+(1,2)=(2+,-+2),2+=-1,-+2=1,解得=-35,=15,=-3.5.向量BA=(1,2),CABA,且|CA|=25,则BC的坐标为.答案(3,6)或(-1,-2)解析CABA,CA=tBA=(t,2t).又|CA|=25,t2+4t2=5t2=20,解得t=2.当t=2时,BC=BA+AC=(1,2)+(-2,-4)=(-1,-2);当t=-2时,BC=BA+AC
11、=(1,2)+(2,4)=(3,6).命题角度3计算平面向量的数量积高考真题体验对方向1.(2023全国4)已知向量a,b满足|a|=1,ab=-1,则a(2a-b)=()A.4B.3C.2D.0答案B解析a(2a-b)=2a2-ab=2-(-1)=3.2.(2016天津7)已知ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则AFBC的值为()A.-58B.18C.14D.118答案B解析方法1(基向量法):如图所示,选取AB,AC为基底,则AF=AB+BE+EF=AB+12BC+12DE=AB+12(AC-AB)+1212AC=12A
12、B+34AC,BC=AC-AB.故AFBC=12AB+34AC(AC-AB)=34AC2-14ACAB-12AB2=34-141112-12=18.方法2(坐标法):建立如图所示的平面直角坐标系,则A0,32,B-12,0,C12,0,F18,-38,于是AF=18,-583,BC=(1,0),AFBC=18.3.(2017北京12)已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则AOAP的最大值为.答案6解析方法1:设P(cos,sin),R,则AO=(2,0),AP=(cos+2,sin),AOAP=2cos+4.当=2k,kZ时,2cos+4取得最大值,最大值为6.故
13、AOAP的最大值为6.方法2:设P(x,y),x2+y2=1,-1x1,AO=(2,0),AP=(x+2,y),AOAP=2x+4,故AOAP的最大值为6.4.(2017天津14)在ABC中,A=60,AB=3,AC=2,若BD=2DC,AE=AC-AB(R),且ADAE=-4,则的值为.答案311解析BD=2DC,AD=AB+BD=AB+23BC=AB+23(AC-AB)=23AC+13AB.又AE=AC-AB,A=60,AB=3,AC=2,ADAE=-4.ABAC=3212=3,23AC+13AB(AC-AB)=-4,即23AC2-13AB2+3-23ABAC=-4,234-139+3-233=-4,即113-5=-4,解得=311.典题演练提能刷高分1.点B是以线段AC为直径的圆上的一点,其中|AB|=2,则ACAB=()A.1B.2C.3D.4答案D解析由圆的性质知ABC=90,所以cosBAC=BAAC=|BA|AC|,所以ACAB=|AC|
