1、课时作业24解三角形应用举例 基础达标一、选择题1如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45，CAB105，则A，B两点的距离为()A50 m B50 mC25 m D. m解析：由正弦定理得AB50(m)答案：A22023年武汉三中月考如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C南偏西40方向上，灯塔B在观察站C南偏东60方向上，则灯塔A在灯塔B的()A北偏东10方向上 B北偏西10方向上C南偏东80方向上 D南偏西80方向上解析：由条件及题图可知，AABC40，因为BCD60，所以CBD30，所以DBA10，因此灯塔
2、A在灯塔B南偏西80方向上答案：D3.如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得BCD15，BDC30，CD30 m，并在点C测得塔顶A的仰角为60，则塔高AB等于()A5 m B15 mC5 m D15 m解析：在BCD中，CBD1801530135.由正弦定理得，解得BC15(m)在RtABC中，ABBCtanACB1515(m)答案：D42023年云南曲靖月考一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点
3、间的距离是()A10海里 B10海里C20海里 D20海里解析：画出示意图如图所示，易知，在ABC中，AB20海里，CAB30，ACB45，根据正弦定理得，解得BC10(海里)故选A.答案：A5.如图，在离地面高400 m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15，山脚A处的俯角为45，已知BAC60，则山的高度BC为()A700 m B640 mC600 m D560 m解析：根据题意，可得在RtAMD中，MAD45，MD400，所以AM400.因为MAC中，AMC451560，MAC180456075，所以MCA180AMCMAC45，由正弦定理，得AC400，在RtABC中，BCACsinB
4、AC400600(m)答案：C二、填空题62023年山东省，湖北省部分中学质量检测如图，在某岛附近海底某处有一条海防警戒线，在警戒线上的点A，B，C处各有一个水声监测点，B，C两点到A的距离分别为20千米和50千米，某时刻B点接收到发自水中P处的一个声波信号，8秒后A，C同时接收到该声波信号，假设声波在水中的传播速度是1.5千米/秒，则P到海防警戒线的距离为_千米解析：通解依题意知PAPC，设PAPCx，PBx1.58x12.在PAB中，AB20，则cosPAB，在PAC中，AC50，则cosPAC.因为cosPABcosPAC，所以，解得x31，过点P作PDAC于点D，则AD25，在RtAD
5、P中，PD4.故P到海防警戒线的距离为4千米优解过点P作PDAC于点D，设PBx，由题意知，PAPCx1.58x12，AD25，BD5，在RtPAD中，PD2PA2AD2(x12)2252，在RtPBD中，PD2PB2BD2x252，则(x12)2252x252，可得x19，故PD4，即P到海防警戒线的距离为4千米答案：472023年南昌市模拟已知台风中心位于城市A东偏北(为锐角)度的150公里处，以v公里/时沿正西方向快速移动，2.5小时后到达距城市A西偏北(为锐角)度的200公里处，若cos()，则v_.解析：如图所示，AB150，AC200，根据题意可知B，C，因为cos()，所以sin
6、().在三角形ABC中，由正弦定理，得，得4sin 3sin ，所以4sin 3sin()3sin cos()cos sin()3，整理得4sin 3cos .又sin2cos21，所以sin ，进而sin ，所以有sin2sin21，所以90，所以BAC180()90，所以BC250，故v100.答案：10082023年福建检测在平面四边形ABCD中，AB1，AC，BDBC，BD2BC，则AD的最小值为_解析：设BAC，ABD(0，)，则ABC.在ABC中，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcos 62cos ，由正弦定理，得，即BC.在ABD中，由余弦定理，得AD2AB2DB22A
7、BDBcos 14BC24BCcos 14(62cos )4cos 258cos 4sin 2520sin()，所以当sin()1，即sin ，cos 时，AD2取得最小值5，所以AD的最小值为.答案：三、解答题9要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45，在D点测得塔顶A的仰角是30，并测得水平面上的BCD120，CD40 cm，求电视塔的高度解析：如图，设电视塔AB高为x m，则在RtABC中，由ACB45得BCx.在RtABD中，ADB30，则BDx.在BDC中，由余弦定理得，BD2BC2CD22BCCDcos 120，即(x)2x24022x40cos 120，
8、即得x40，所以电视塔高为40 m.102023年皖中名校联考如图所示，位于A处的雷达观测站，发现其北偏东45，与A相距20海里的B处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船只位于观测站A北偏东45(045)的C处，AC10海里在离观测站A的正南方某处D，tanDAC7.(1)求cos ；(2)求该船的行驶速度v(海里/小时)解析：(1)tanDAC7，sinDAC7cosDAC，sin2DACcos2DAC1，sinDAC，cosDAC，cos cos(135DAC)cosDACsinDAC().(2)由余弦定理得BC2AC2AB22ACABcos ，BC2(10)2(20)22102
9、0360，BC6海里t20分钟小时，v18海里/小时能力挑战112023年湖南三湘名校教育联盟第二次大联考如图，已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，acosACBccosCABbsin B，且CAB.若D是ABC外一点，DC2，DA3，则当四边形ABCD的面积最大时，求sin D的值解析：因为acosACBccosCABbsin B，所以由正弦定理可得sinCABcosACBsinACBcosCABsin(CABACB)sin Bsin2B，因为sin B0，所以sin B1，所以B90.又CAB，所以BCAC，ABAC，由余弦定理可得cos D，即AC21312cos D，四边形ABCD的面积S23sin DACAC3sin D(1312cos D)3sin Dcos Dsin(D)，其中tan .当sin(D)1，即D时，四边形ABCD的面积最大，此时tan Dtan()，可得sin D.7
