1、2023学年高考数学模拟测试卷请考生注意：1请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用05毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2答题前，认真阅读答题纸上的注意事项，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若，则函数在区间内单调递增的概率是（ ）A B C D2已知双曲线的左、右顶点分别为，点是双曲线上与不重合的动点，若， 则双曲线的离心率为()ABC4D23设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若，且，则
2、点的轨迹方程是（ ）ABCD4已知抛物线：的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，其中点在第一象限，若弦的长为，则（ ）A2或B3或C4或D5或5已知，则（ ）ABCD6是虚数单位，则（ ）A1B2CD7有一改形塔几何体由若千个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为8，如果改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是（ ）A8B7C6D48已知函数（，且）在区间上的值域为，则（ ）ABC或D或49运行如图所示的程序框图，若输出的的值为99，则判断框中可以填（ ）ABCD10若复数为虚数单位在复平面内所对应
3、的点在虚轴上，则实数a为（ ）AB2CD11复数满足为虚数单位)，则的虚部为（ ）ABCD12若双曲线的离心率，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ）AB2CD1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知复数，其中为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值是_14已知等比数列的前项和为，且，则_.15在平面直角坐标系中，已知圆，圆直线与圆相切，且与圆相交于，两点，则弦的长为_16已知F为抛物线C：x28y的焦点，P为C上一点，M（4，3），则PMF周长的最小值是_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参
4、数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线的极坐标方程为，射线的极坐标方程为.（）写出曲线的极坐标方程，并指出是何种曲线；（）若射线与曲线交于两点，射线与曲线交于两点，求面积的取值范围.18（12分）已知各项均为正数的数列的前项和为，且是与的等差中项.（1）证明：为等差数列，并求；（2）设，数列的前项和为，求满足的最小正整数的值.19（12分）如图，在三棱柱中，是边长为2的菱形，且，是矩形，且平面平面，点在线段上移动（不与重合），是的中点.（1）当四面体的外接球的表面积为时，证明：.平面（2）当四面体的体积最大时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.20（12分）某公园准备在一圆形
5、水池里设置两个观景喷泉，观景喷泉的示意图如图所示，两点为喷泉，圆心为的中点，其中米，半径米，市民可位于水池边缘任意一点处观赏（1）若当时，求此时的值；（2）设，且（i）试将表示为的函数，并求出的取值范围；（ii）若同时要求市民在水池边缘任意一点处观赏喷泉时，观赏角度的最大值不小于，试求两处喷泉间距离的最小值21（12分）已知椭圆 的左焦点为F，上顶点为A，直线AF与直线 垂直，垂足为B，且点A是线段BF的中点.（I）求椭圆C的方程；（II）若M，N分别为椭圆C的左，右顶点，P是椭圆C上位于第一象限的一点，直线MP与直线 交于点Q，且,求点P的坐标.22（10分）设（1）当时，求不等式的解集；（
6、2）若，求的取值范围.2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【答案解析】函数在区间内单调递增， ，在恒成立， 在恒成立， ， 函数在区间内单调递增的概率是，故选B.2、D【答案解析】设，根据可得，再根据又，由可得，化简可得，即可求出离心率【题目详解】解：设，即，又，由可得，即，故选：D【答案点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查了斜率的计算，离心率的求法，属于基础题和易错题3、A【答案解析】设坐标，根据向量坐标运算表示出，从而可利用表示出；由坐标运算表示出，代入整理可得所求的轨迹方
7、程.【题目详解】设，其中， ，即 关于轴对称 故选：【答案点睛】本题考查动点轨迹方程的求解，涉及到平面向量的坐标运算、数量积运算；关键是利用动点坐标表示出变量，根据平面向量数量积的坐标运算可整理得轨迹方程.4、C【答案解析】先根据弦长求出直线的斜率，再利用抛物线定义可求出.【题目详解】设直线的倾斜角为，则，所以，即，所以直线的方程为.当直线的方程为，联立，解得和，所以；同理，当直线的方程为.，综上，或.选C.【答案点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，弦长问题一般是利用弦长公式来处理.出现了到焦点的距离时，一般考虑抛物线的定义.5、D【答案解析】根据指数函数的单调性，即当底数大于1时单调递
8、增，当底数大于零小于1时单调递减，对选项逐一验证即可得到正确答案.【题目详解】因为，所以，所以是减函数，又因为，所以，所以，所以A,B两项均错；又，所以，所以C错；对于D，所以，故选D.【答案点睛】这个题目考查的是应用不等式的性质和指对函数的单调性比较大小，两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.6、C【答案解析】由复数除法的运算法则求出，再由模长公式，即可求解.【题目详解】由.故选:C.【答案点睛】本题考查复数的除法和模，属于基础题.7、A【答案解析】则从下往上第二层正方体的棱长为：，
9、从下往上第三层正方体的棱长为：，从下往上第四层正方体的棱长为：，以此类推，能求出改形塔的最上层正方体的边长小于1时该塔形中正方体的个数的最小值的求法.【题目详解】最底层正方体的棱长为8，则从下往上第二层正方体的棱长为：，从下往上第三层正方体的棱长为：，从下往上第四层正方体的棱长为：，从下往上第五层正方体的棱长为：，从下往上第六层正方体的棱长为：，从下往上第七层正方体的棱长为：，从下往上第八层正方体的棱长为：，改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是8.故选：A.【答案点睛】本小题主要考查正方体有关计算，属于基础题.8、C【答案解析】对a进行分类讨论，结合指数函数的单调性
10、及值域求解.【题目详解】分析知，.讨论：当时，所以，所以；当时，所以，所以.综上，或，故选C.【答案点睛】本题主要考查指数函数的值域问题，指数函数的值域一般是利用单调性求解，侧重考查数学运算和数学抽象的核心素养.9、C【答案解析】模拟执行程序框图，即可容易求得结果.【题目详解】运行该程序：第一次，；第二次，；第三次，；第九十八次，；第九十九次，此时要输出的值为99.此时.故选：C.【答案点睛】本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及化归转化思想，涉及判断条件的选择，属基础题.10、D【答案解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为求得值【题目详解】解：在复平面内所对应的点在虚轴上，即
11、故选D【答案点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题11、C【答案解析】，分子分母同乘以分母的共轭复数即可.【题目详解】由已知，故的虚部为.故选：C.【答案点睛】本题考查复数的除法运算，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.12、C【答案解析】根据双曲线的解析式及离心率，可求得的值；得渐近线方程后，由点到直线距离公式即可求解.【题目详解】双曲线的离心率，则，解得，所以焦点坐标为，所以，则双曲线渐近线方程为，即，不妨取右焦点，则由点到直线距离公式可得，故选：C.【答案点睛】本题考查了双曲线的几何性质及简单应用，渐近线方程的求法，点到直线距离公式的简单应用，
12、属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2【答案解析】由题，得，然后根据纯虚数的定义，即可得到本题答案.【题目详解】由题，得，又复数为纯虚数，所以，解得.故答案为：2【答案点睛】本题主要考查纯虚数定义的应用，属基础题.14、【答案解析】由题意知，继而利用等比数列的前项和为的公式代入求值即可.【题目详解】解：由题意知，所以.故答案为：.【答案点睛】本题考查了等比数列的通项公式和求和公式，属于中档题.15、【答案解析】利用直线与圆相切求出斜率，得到直线的方程，几何法求出【题目详解】解：直线与圆相切，圆心为由，得或，当时，到直线的距离，不成立，当时，与圆相交于，两点，到直线
13、的距离，故答案为【答案点睛】考查直线与圆的位置关系，相切和相交问题，属于中档题16、5【答案解析】PMF的周长最小，即求最小，过做抛物线准线的垂线，垂足为，转化为求最小，数形结合即可求解.【题目详解】如图，F为抛物线C：x28y的焦点，P为C上一点，M（4，3），抛物线C：x28y的焦点为F（0，2），准线方程为y2.过作准线的垂线，垂足为，则有，当且仅当三点共线时，等号成立，所以PMF的周长最小值为55.故答案为：5.【答案点睛】本题考查抛物线定义的应用，考查数形结合与数学转化思想方法，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（），曲线是以为圆心，为半
14、径的圆；（）.【答案解析】（）由曲线的参数方程能求出曲线的普通方程，由此能求出曲线的极坐标方程（）令，则，利用诱导公式及二倍角公式化简，再由余弦函数的性质求出面积的取值范围；【题目详解】解：（）由（为参数）化为普通方程为，整理得曲线是以为圆心，为半径的圆.（）令，面积的取值范围为【答案点睛】本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形的面积的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题18、（1）见解析，（2）最小正整数的值为35.【答案解析】（1）由等差中项可知，当时，得，整理后可得，从而证明为等差数列，继而可求.（2），则可求出，令，即可求出 的取值范围，进而求出最小值.【题目详解】解析：（1）由题
