1、2023学年高考数学模拟测试卷注意事项:1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2答题时请按要求用笔。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知，若对任意，关于x的不等式（e为自然对数的底数）至少有2个正整数解，则实数a的取值范围是（ ）ABCD2已知中，则
2、（ ）A1BCD3已知复数满足：（为虚数单位），则（ ）ABCD4从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图：根据频率分布直方图，可知这部分男生的身高的中位数的估计值为ABCD5若为过椭圆中心的弦，为椭圆的焦点，则面积的最大值为（ ）A20B30C50D606已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与抛物线的一个交点，若，则（ ）AB3CD27已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）ABCD8函数（）的图象的大致形状是（ ）ABCD9已知，其中是虚数单位，则对应的点的坐标为（ ）ABCD10已知向量，则向量与的夹角为
3、（ ）ABCD11已知集合，则元素个数为( )A1B2C3D412已知数列，是首项为8，公比为得等比数列，则等于（ ）A64B32C2D4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13若函数在和上均单调递增，则实数的取值范围为_14从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选两名代表，甲被选中的概率为_.15已知数列的前项和为，且满足，则_16已知双曲线的一条渐近线为,则焦点到这条渐近线的距离为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）求函数的最大值18（12分）已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）
4、写出曲线的极坐标方程；（2）点是曲线上的一点，试判断点与曲线的位置关系19（12分）如图，正方形是某城市的一个区域的示意图，阴影部分为街道，各相邻的两红绿灯之间的距离相等，处为红绿灯路口，红绿灯统一设置如下：先直行绿灯30秒，再左转绿灯30秒，然后是红灯1分钟，右转不受红绿灯影响，这样独立的循环运行.小明上学需沿街道从处骑行到处（不考虑处的红绿灯），出发时的两条路线（）等可能选择，且总是走最近路线.（1）请问小明上学的路线有多少种不同可能？（2）在保证通过红绿灯路口用时最短的前提下，小明优先直行，求小明骑行途中恰好经过处，且全程不等红绿灯的概率；（3）请你根据每条可能的路线中等红绿灯的次数的均
5、值，为小明设计一条最佳的上学路线，且应尽量避开哪条路线？20（12分）已知动圆恒过点，且与直线相切.（1）求圆心的轨迹的方程；（2）设是轨迹上横坐标为2的点，的平行线交轨迹于，两点，交轨迹在处的切线于点，问：是否存在实常数使，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.21（12分）设函数，其中，为正实数.（1）若的图象总在函数的图象的下方，求实数的取值范围；（2）设，证明：对任意，都有.22（10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.（1）写出的极坐标方程和的直角坐标方程；（2）已知点、的极坐标分别为和，
6、直线与曲线相交于，两点，射线与曲线相交于点，射线与曲线相交于点，求的值.2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【答案解析】构造函数（），求导可得在上单调递增,则 ,问题转化为,即至少有2个正整数解,构造函数,通过导数研究单调性,由可知，要使得至少有2个正整数解,只需即可,代入可求得结果.【题目详解】构造函数（），则（），所以在上单调递增，所以，故问题转化为至少存在两个正整数x，使得成立，设，则，当时，单调递增；当时，单调递增.，整理得.故选:B.【答案点睛】本题考查导数在判断函数单
7、调性中的应用,考查不等式成立问题中求解参数问题,考查学生分析问题的能力和逻辑推理能力,难度较难.2、C【答案解析】以为基底，将用基底表示，根据向量数量积的运算律，即可求解.【题目详解】,.故选:C.【答案点睛】本题考查向量的线性运算以及向量的基本定理，考查向量数量积运算，属于中档题.3、A【答案解析】利用复数的乘法、除法运算求出，再根据共轭复数的概念即可求解.【题目详解】由，则，所以.故选：A【答案点睛】本题考查了复数的四则运算、共轭复数的概念，属于基础题.4、C【答案解析】由题可得，解得，则，所以这部分男生的身高的中位数的估计值为，故选C5、D【答案解析】先设A点的坐标为，根据对称性可得，在
8、表示出面积，由图象遏制，当点A在椭圆的顶点时，此时面积最大，再结合椭圆的标准方程，即可求解.【题目详解】由题意，设A点的坐标为，根据对称性可得，则的面积为，当最大时，的面积最大，由图象可知，当点A在椭圆的上下顶点时，此时的面积最大，又由，可得椭圆的上下顶点坐标为，所以的面积的最大值为.故选：D. 【答案点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及简单的几何性质，以及三角形面积公式的应用，着重考查了数形结合思想，以及化归与转化思想的应用.6、D【答案解析】根据抛物线的定义求得，由此求得的长.【题目详解】过作，垂足为，设与轴的交点为.根据抛物线的定义可知.由于，所以，所以，所以，所以.故选：D【答案点睛】
9、本小题主要考查抛物线的定义，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.7、D【答案解析】因为的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以，解得，所以二项式中奇数项的二项式系数和为考点：二项式系数，二项式系数和8、C【答案解析】对x分类讨论，去掉绝对值，即可作出图象.【题目详解】 故选C【答案点睛】识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题9、C【答案解析】利用复数相等的条件求得，则答案
10、可求【题目详解】由，得，对应的点的坐标为，故选：【答案点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数相等的条件，是基础题10、C【答案解析】求出，进而可求,即能求出向量夹角.【题目详解】解：由题意知，. 则 所以，则向量与的夹角为.故选:C.【答案点睛】本题考查了向量的坐标运算，考查了数量积的坐标表示.求向量夹角时，通常代入公式 进行计算.11、B【答案解析】作出两集合所表示的点的图象，可得选项.【题目详解】由题意得，集合A表示以原点为圆心，以2为半径的圆，集合B表示函数的图象上的点，作出两集合所表示的点的示意图如下图所示，得出两个图象有两个交点:点A和点B，所以两个集合有两个公共元素，
11、所以元素个数为2，故选：B.【答案点睛】本题考查集合的交集运算，关键在于作出集合所表示的点的图象，再运用数形结合的思想，属于基础题.12、A【答案解析】根据题意依次计算得到答案.【题目详解】根据题意知：，故，.故选：.【答案点睛】本题考查了数列值的计算，意在考查学生的计算能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【答案解析】化简函数，求出在上的单调递增区间，然后根据在和上均单调递增，列出不等式求解即可【题目详解】由知，当时，在和上单调递增，在和上均单调递增，的取值范围为：故答案为：【答案点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，关键是根据函数的单调性列出关于m的方程组，属中档
12、题14、【答案解析】甲被选中,只需从乙、丙、丁、戊中,再选一人即有种方法,从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选两名共有种方法,根据公式即可求得概率.【题目详解】甲被选中,只需从乙、丙、丁、戊中,再选一人即有种方法, 从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选两名共有种方法,.故答案为:.【答案点睛】本题考查古典概型的概率的计算,考查学生分析问题的能力,难度容易.15、【答案解析】对题目所给等式进行赋值，由此求得的表达式，判断出数列是等比数列，由此求得的值.【题目详解】解：，可得时，时，又，两式相减可得，即，上式对也成立，可得数列是首项为1，公比为的等比数列，可得【答案点睛】本小题主要考查已知求，考查等比数列前项
13、和公式，属于中档题.16、2.【答案解析】由双曲线的一条渐近线为，解得求出双曲线的右焦点，利用点到直线的距离公式求解即可【题目详解】双曲线的一条渐近线为 解得： 双曲线的右焦点为焦点到这条渐近线的距离为：本题正确结果：【答案点睛】本题考查了双曲线和的标准方程及其性质，涉及到点到直线距离公式的考查，属于基础题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、【答案解析】试题分析：由柯西不等式得试题解析：因为， 所以 等号当且仅当，即时成立所以的最大值为 考点：柯西不等式求最值18、（1）（2）点在曲线外【答案解析】（1）先消参化曲线的参数方程为普通方程,再化为极坐标方程；（2）
14、由点是曲线上的一点,利用的范围判断的范围,即可判断位置关系.【题目详解】（1）由曲线的参数方程为可得曲线的普通方程为,则曲线的极坐标方程为,即（2）由题,点是曲线上的一点,因为,所以,即,所以点在曲线外.【答案点睛】本题考查参数方程与普通方程的转化,考查直角坐标方程与极坐标方程的转化,考查点与圆的位置关系.19、（1）6种；（2）；（3）.【答案解析】（1）从4条街中选择2条横街即可；（2）小明途中恰好经过处，共有4条路线，即，分别对4条路线进行分析计算概率；（3）分别对小明上学的6条路线进行分析求均值，均值越大的应避免.【题目详解】（1）路途中可以看成必须走过2条横街和2条竖街，即从4条街中选择2条横街即可,所以路线总数为条. （2）小明途中恰好经过处，共有4条路线：当走时，全程不等红绿灯的概率；当走时，全程不等红绿灯的概率；当走时，全程不等红绿灯的概率；当走
