1、第1讲 数列的概念与简单表示法基础题组练1已知数列，则5是它的()A第19项B第20项C第21项 D第22项解析：选C.数列，中的各项可变形为，所以通项公式为an，令5，得n21.2已知数列an满足：m，nN+，都有anamanm，且a1，那么a5()A.BC.D解析：选A.因为数列an满足：对任意的m，nN+，都有anamanm，且a1，所以a2a1a1，a3a1a2.那么a5a3a2.故选A.3在数列an中，a1，an1(n2，nN+)，则a2 020的值为()A B5 C. D解析：选A.在数列an中，a1，an1(n2，nN+)，所以a215，a31，a41，所以an是以3为周期的周期
2、数列，所以a2 020a67331a1.4(2023年山西太原模拟(一)已知数列an的前n项和Sn满足Snan2n(nN+)，则a7()A. B C. D解析：选B.当n2时，Sn1an12n2，又Snan2n，所以2anan12，所以2(an2)an12，故an2是首项为a12，公比为的等比数列，又S1a12，故a11，所以an2，故a72，故选B.5(2023年广东广州天河毕业班综合测试(一)数列an满足a11，对任意nN+，都有an11ann，则()A. B2 C. D解析：选C.由an11ann，得an1ann1，则an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1n(n1)1，则，则
3、22.故选C.6已知数列an的前n项和Sn3n1，则an_解析：当n1时，a1S1314；当n2时，anSnSn1(3n1)(3n11)23n1.当n1时，23112a1，所以an答案：7记数列an的前n项和为Sn，若对任意的nN+，2Snan1，则a2 018_解析：因为2Snan1，所以2Sn1an11(n2)，所以2Sn2Sn12ananan1(n2)，即anan1(n2)，所以数列an是以2为周期的周期数列又2S12a1a11，所以a11，所以a2 018a2a11.答案：18(2023年河南焦作第四次模拟)已知数列an的通项公式为an2n，记数列anbn的前n项和为Sn，若1n，则数
4、列bn的通项公式为bn_解析：因为1n，所以Sn(n1)2n12.所以当n2时，Sn1(n2)2n2，两式相减，得anbnn2n，所以bnn；当n1时，a1b12，所以b11.综上所述，bnn，nN+.故答案为n.答案：n9已知数列an中，a11，前n项和Snan.(1)求a2，a3；(2)求an的通项公式解：(1)由S2a2得3(a1a2)4a2，解得a23a13.由S3a3得3(a1a2a3)5a3，解得a3(a1a2)6.(2)由题设知a11.当n2时，有anSnSn1anan1，整理得anan1.于是a11，a2a1，a3a2，an1an2，anan1.将以上n个等式两端分别相乘，整理
5、得an.显然，当n1时也满足上式综上可知，an的通项公式an.10设数列an的前n项和为Sn.已知a1a(a3)，an1Sn3n，nN+.(1)设bnSn3n，求数列bn的通项公式；(2)若an1an，nN+，求a的取值范围解：(1)依题意，Sn1Snan1Sn3n，即Sn12Sn3n，由此得Sn13n12(Sn3n)，即bn12bn，又b1S13a3，所以数列bn的通项公式为bn(a3)2n1，nN+.(2)由(1)知Sn3n(a3)2n1，nN+，于是，当n2时，anSnSn13n(a3)2n13n1(a3)2n223n1(a3)2n2，an1an43n1(a3)2n22n2，当n2时，a
6、n1an12a30a9.又a2a13a1.综上，a的取值范围是9，3)(3，)综合题组练1(2023年安徽江淮十校第三次联考)已知数列an满足2，a120，则的最小值为()A4 B41 C8 D9解析：选C.由an1an2n知a2a121，a3a222，anan12(n1)，n2，以上各式相加得ana1n2n，n2，所以ann2n20，n2，当n1时，a120符合上式，所以n1，nN*，所以n4时递减，n5时递增，因为，所以的最小值为8，故选C.2若数列an满足a1a2a3ann23n2，则数列an的通项公式为_解析：a1a2a3an(n1)(n2)，当n1时，a16；当n2时，故当n2时，a
7、n，所以an答案：an3已知数列an中，a1a，a22a，an2an2，若数列an单调递增，则实数a的取值范围为_解析：由an2an2可知数列an的奇数项、偶数项分别递增，若数列an递增，则必有a2a1(2a)a0且a2a1(2a)aan2an2，可得0a1，故实数a的取值范围为(0，1)答案：(0，1)4(2023年广东湛江二模)一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(公元5世纪)的数学著作孙子算经卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数设这个整数为a，当a2，2 019时，符合条件
8、的a共有_个解析：由题设a3m25n3，m，nN，则3m5n1，m，nN，当m5k，n不存在；当m5k1，n不存在；当m5k2，n3k1，满足题意；当m5k3，n不存在；当m5k4，n不存在其中kN.故2a15k82 019，解k，则k0，1，2，134，共135个，即符合条件的a共有135个故答案为135.答案：1355已知二次函数f(x)x2axa(a0，xR)，有且只有一个零点，数列an的前n项和Snf(n)(nN+)(1)求数列an的通项公式；(2)设cn1(nN+)，定义所有满足cmcm10的正整数m的个数，称为这个数列cn的变号数，求数列的变号数解：(1)依题意，a24a0，所以a0或a4.又由a0得a4，所以f(x)x24x4.所以Snn24n4.当n1时，a1S11441；当n2时，anSnSn12n5.所以an(2)由题意得cn由cn1可知，当n5时，恒有cn0.又c13，c25，c33，c4，c5，c6，即c1c20，c2c30，c4c50.所以数列cn的变号数为3.6
