1、能力升级练(十八)圆锥曲线综合问题(1)1.(2023河南开封三模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的上顶点与左、右焦点的连线构成面积为3的等边三角形.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过C的右焦点F作斜率为k的直线l1与C交于A,B两点,直线l:x=4与x轴交于点E,M为线段EF的中点,过点B作直线BNl于点N.证明:A,M,N三点共线.解(1)记椭圆C的焦距为2c,则a=2c,122cb=3,a2=b2+c2,解得a=2,b=3,椭圆C的方程为x24+y23=1.(2)F(1,0),设直线l1的方程为y=k(x-1),代入椭圆C的方程,得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12
2、=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=8k23+4k2,x1x2=4k2-123+4k2,易知M52,0,N(4,y2),kAM=y1x1-52,kMN=2y23,2y2x1-52-3y1=2k(x2-1)x1-52-3k(x1-1)=k2x1x2-5(x1+x2)+8=k8k2-243+4k2-40k23+4k2+8=0,kAM=kMN,A,M,N三点共线.2.设椭圆C:x22+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;(2)设O为坐标原点,证明:OMA=OMB.解(1)由已知得F(1,0),l
3、的方程为x=1.由已知可得,点A的坐标为1,22或1,-22.所以AM的方程为y=-22x+2或y=22x-2.(2)当l与x轴重合时,OMA=OMB=0,当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,所以OMA=OMB.当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k0),A(x1,y1),B(x2,y2),则x12,x20)上在第一象限内的点H(1,t)到焦点F的距离为2.(1)若M-14,0,过点M,H的直线与该抛物线相交于另一点N,求|NF|的值;(2)设A、B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点,且OAOB=94(其中O为坐标原点).求证:直线AB必过定点,并求出该定点Q的
4、坐标;过点Q作AB的垂线与该抛物线交于D、G两点,求四边形AGBD面积的最小值.解(1)点H(1,t)在抛物线y2=2px(p0)上,1+p2=2,解得p=2,故抛物线E的方程为y2=4x,所以当x=1时t=2,直线MH的方程为y=85x+25,联立y2=4x可得,xN=116,|NF|=xN+p2=116+1=1716.(2)证明:设直线AB:x=my+t,Ay124,y1,By224,y2,联立抛物线方程可得y2-4my-4t=0,y1+y2=4m,y1y2=-4t,由OAOB=94,得(y1y2)216+y1y2=94,解得y1y2=-18或y1y2=2(舍去),即-4t=-18t=92
5、,所以直线AB过定点Q92,0.由得|AB|=1+m2|y2-y1|=1+m216m2+72,设D(x3,y3),G(x4,y4),则同理,得|GD|=1+(-1m)2|y4-y3|=1+1m272+16m2.则四边形AGBD面积S=12|AB|GD|=121+m216m2+721+1m272+16m2=42+(m2+1m2)85+18(m2+1m2).令m2+1m2=(2),则S=4182+121+170是关于的增函数,故当=2时,Smin=88.当且仅当m=1时取到最小值88.4.(2023豫南九校联考)设椭圆x2a2+y23=1(a3)的右焦点为F,右顶点为A.已知|OA|-|OF|=1
6、,其中O为原点,e为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程及离心率e的值;(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BFHF,且MOAMAO,求直线l的斜率的取值范围.解(1)由题意可知|OF|=c=a2-3,又|OA|-|OF|=1,所以a-a2-3=1,解得a=2,所以椭圆的方程为x24+y23=1,离心率e=ca=12.(2)设M(xM,yM),易知A(2,0),在MAO中,MOAMAOMAMO,即(xM-2)2+yM2xM2+yM2,化简得xM1.设直线l的斜率为k(k0),则直线l的方程为y=k(x-2).设B(xB,yB),由x2
7、4+y23=1,y=k(x-2)消去y,整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0,解得x=2或x=8k2-64k2+3.由题意得xB=8k2-64k2+3,从而yB=-12k4k2+3.由(1)知F(1,0),设H(0,yH),则FH=(-1,yH),BF=9-4k24k2+3,12k4k2+3.由BFHF,得BFFH=0,即4k2-94k2+3+12kyH4k2+3=0,解得yH=9-4k212k,所以直线MH的方程为y=-1kx+9-4k212k.由y=k(x-2),y=-1kx+9-k212k消去y,得xM=20k2+912(k2+1).由xM1,得20k2+912(k2+1)1,解得k-64或k64,所以直线l的斜率的取值范围为-,-6464,+.6
