1、2023学年高考数学模拟测试卷注意事项1考生要认真填写考场号和座位序号。2试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），底面直径为cm，高度为cm，现往里面装直径为cm的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装（ ）（附：）A个B个C个D个2已知，分别为内角，的对边，的面积为，则（ ）AB4C5D3已知集合，则( )ABC
2、D4已知函数，若，则下列不等关系正确的是（ ）ABCD5正三棱柱中，是的中点，则异面直线与所成的角为（ ）ABCD6如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框处应填入的是（ ）ABCD7已知函数，则下列结论错误的是( )A函数的最小正周期为B函数的图象关于点对称C函数在上单调递增D函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到8台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动，也叫桌球（中国粤港澳地区的叫法）、撞球（中国台湾地区的叫法）控制撞球点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术，一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如图正方形ABCD，在点E，F处各放一个目标球，表演者先将母球
3、放在点A处，通过击打母球，使其依次撞击点E，F处的目标球，最后停在点C处，若AE=50cmEF=40cmFC=30cm，AEF=CFE=60，则该正方形的边长为（ ）A50cmB40cmC50cmD20cm9若，则的虚部是A3BCD10设a=log73，c=30.7，则a，b，c的大小关系是（）ABCD11小张家订了一份报纸，送报人可能在早上之间把报送到小张家，小张离开家去工作的时间在早上之间.用表示事件：“小张在离开家前能得到报纸”，设送报人到达的时间为，小张离开家的时间为，看成平面中的点，则用几何概型的公式得到事件的概率等于（ ）ABCD12在中所对的边分别是，若，则（ ）A37B13CD
4、二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知数列的前项和为,则满足的正整数的所有取值为_14已知正方形边长为，空间中的动点满足，则三棱锥体积的最大值是_.15在边长为的菱形中，点在菱形所在的平面内若，则_16若，则_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知函数，记不等式的解集为.（1）求；（2）设，证明：.18（12分）已知函数.（1）当时，求函数的图象在处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）当时，若方程有两个不相等的实数根，求证：.19（12分）已知函数，.（1）证明：函数的极小值点为1；（2）若函数在有两个零点，证明：.20（12分
5、）已知数列的前项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）若，为数列的前项和.求证：.21（12分）设椭圆：的右焦点为，右顶点为，已知椭圆离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3.（）求椭圆的方程；（）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线斜率的取值范围.22（10分）如图，焦点在轴上的椭圆与焦点在轴上的椭圆都过点，中心都在坐标原点，且椭圆与的离心率均为（）求椭圆与椭圆的标准方程；（）过点M的互相垂直的两直线分别与，交于点A，B（点A、B不同于点M），当的面积取最大值时，求两直线MA，MB斜率的比值.2023学年模拟测试卷参考答案（含详细
6、解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【答案解析】计算球心连线形成的正四面体相对棱的距离为cm，得到最上层球面上的点距离桶底最远为cm，得到不等式，计算得到答案.【题目详解】由题意，若要装更多的球，需要让球和铁皮桶侧面相切，且相邻四个球两两相切，这样，相邻的四个球的球心连线构成棱长为cm的正面体，易求正四面体相对棱的距离为cm，每装两个球称为“一层”，这样装层球，则最上层球面上的点距离桶底最远为cm，若想要盖上盖子，则需要满足，解得，所以最多可以装层球，即最多可以装个球故选：【答案点睛】本题考查了圆柱和球的综合问题，意
7、在考查学生的空间想象能力和计算能力.2、D【答案解析】由正弦定理可知,从而可求出.通过可求出，结合余弦定理即可求出 的值.【题目详解】解：，即，即. ，则.，解得.， 故选:D.【答案点睛】本题考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面积公式，考查同角三角函数的基本关系.本题的关键是通过正弦定理结合已知条件，得到角 的正弦值余弦值.3、D【答案解析】先求出集合B，再与集合A求交集即可.【题目详解】由已知，故，所以.故选：D.【答案点睛】本题考查集合的交集运算，考查学生的基本运算能力，是一道容易题.4、B【答案解析】利用函数的单调性得到的大小关系，再利用不等式的性质，即可得答案.【题目详解
8、】在R上单调递增，且，.的符号无法判断，故与，与的大小不确定，对A，当时，故A错误；对C，当时，故C错误；对D，当时，故D错误；对B，对，则，故B正确.故选：B.【答案点睛】本题考查分段函数的单调性、不等式性质的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题.5、C【答案解析】取中点，连接，根据正棱柱的结构性质，得出/，则即为异面直线与所成角，求出，即可得出结果.【题目详解】解：如图，取中点，连接，由于正三棱柱，则底面，而底面，所以，由正三棱柱的性质可知，为等边三角形，所以，且,所以平面，而平面，则，则/，即为异面直线与所成角，设，则，则，.故选：C.【答
9、案点睛】本题考查通过几何法求异面直线的夹角，考查计算能力.6、C【答案解析】根据程序框图的运行，循环算出当时，结束运行，总结分析即可得出答案.【题目详解】由题可知，程序框图的运行结果为31，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，.此时输出.故选：C.【答案点睛】本题考查根据程序框图的循环结构，已知输出结果求条件框，属于基础题.7、D【答案解析】由可判断选项A；当时，可判断选项B；利用整体换元法可判断选项C；可判断选项D.【题目详解】由题知，最小正周期，所以A正确；当时，所以B正确；当时，所以C正确；由的图象向左平移个单位，得，所以D错误.故选：D.【答案点睛】本题考查余弦型函数的性质，涉及到周
10、期性、对称性、单调性以及图象变换后的解析式等知识，是一道中档题.8、D【答案解析】过点做正方形边的垂线，如图，设，利用直线三角形中的边角关系，将用表示出来，根据，列方程求出，进而可得正方形的边长.【题目详解】过点做正方形边的垂线，如图，设，则，则，因为，则，整理化简得，又，得 ，.即该正方形的边长为.故选：D.【答案点睛】本题考查直角三角形中的边角关系，关键是要构造直角三角形，是中档题.9、B【答案解析】因为，所以的虚部是.故选B10、D【答案解析】，得解【题目详解】，所以，故选D【答案点睛】比较不同数的大小，找中间量作比较是一种常见的方法11、D【答案解析】这是几何概型，画出图形，利用面积比
11、即可求解.【题目详解】解：事件发生，需满足，即事件应位于五边形内，作图如下：故选：D【答案点睛】考查几何概型，是基础题.12、D【答案解析】直接根据余弦定理求解即可【题目详解】解：，故选：D【答案点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，属于基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、20,21【答案解析】由题意知数列奇数项和偶数项分别为等差数列和等比数列,则根据为奇数和为偶数分别算出求和公式,代入数值检验即可.【题目详解】解: 由题意知数列的奇数项构成公差为的等差数列,偶数项构成公比为的等比数列,则;.当时, ,.当时, ,.由此可知,满足的正整数的所有取值为20,21.故答案为:
12、 20,21【答案点睛】本题考查等差数列与等比数列通项与求和公式,是综合题,分清奇数项和偶数项是解题的关键.14、【答案解析】以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴建立空间直角坐标系，设点，根据题中条件得出，进而可求出的最大值，由此能求出三棱锥体积的最大值.【题目详解】以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴建立空间直角坐标系，则，设点，空间中的动点满足，所以，整理得，当，时，取最大值，所以，三棱锥的体积为.因此，三棱锥体积的最大值为.故答案为：.【答案点睛】本题考查三棱锥体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题15、【答案解析】以菱形
13、的中心为坐标原点建立平面直角坐标系,再设,根据求出的坐标,进而求得即可.【题目详解】解：连接设交于点以点为原点,分别以直线为轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则：设 得,解得,或,显然得出的是定值,取则,故答案为：【答案点睛】本题主要考查了建立平面直角坐标系求解向量数量积的有关问题,属于中档题.16、【答案解析】因为，由二倍角公式得到 ，故得到 故答案为三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）证明见解析【答案解析】（1）利用零点分段法将表示为分段函数的形式，由此解不等式求得不等式的解集.（2）将不等式坐标因式分解，结合（1）的结论证得不等式成立.【题目详解】（1）解：，由，解得，故.（2）证明：因为，所以，所以，所以.【答案点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，属于基础题.18、（1）；（2）当时，在上是减函数；当时，在上是增函数；（3）证明见解析.【答案解析】（1）当时，求得其导函数 ，可求得函数的图象在处的切线方程；（2）由已知得，得出导函数，并得出导函数取得正负的区间，可得出函数的单调性； （3）当时，由（2）得的单调区间，以当方程有两个不相等的实数根，不妨设，且有，构造函数，分析其导函数的正负得出函数的单调性，得出其最值，所证的不等式可得证.【题目详解】（1）当时，所以 ，所以函数的图象在处的切线
