1、2023学年高考数学模拟测试卷考生须知：1全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，指数学.某校国学
2、社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（ ）A12种B24种C36种D48种2双曲线的一条渐近线方程为，那么它的离心率为（ ）ABCD3已知双曲线的左，右焦点分别为，O为坐标原点，P为双曲线在第一象限上的点，直线PO，分别交双曲线C的左，右支于另一点，且，则双曲线的离心率为( )AB3C2D4已知集合，若，则（ ）A或B或C或D或5设复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限6已知函数，方程有四个不同的根，记
3、最大的根的所有取值为集合，则“函数有两个零点”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务，要求是：任务A必须排在前三项执行，且执行任务A之后需立即执行任务E，任务B、任务C不能相邻，则不同的执行方案共有（ ）A36种B44种C48种D54种8已知函数有三个不同的零点 （其中），则 的值为( )ABCD9函数的值域为（ ）ABCD10已知直线过圆的圆心，则的最小值为（ ）A1B2C3D411已知定义在上函数的图象关于原点对称，且，若，则（ ）A0B1C673D67412已知双曲线的焦距为，若的渐近线上存在点，使得经过
4、点所作的圆的两条切线互相垂直，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知非零向量，满足，且，则与的夹角为_.14已知等比数列的前项和为，若，则的值是 15若，则_.16验证码就是将一串随机产生的数字或符号，生成一幅图片，图片里加上一些干扰象素（防止），由用户肉眼识别其中的验证码信息，输入表单提交网站验证，验证成功后才能使用某项功能.很多网站利用验证码技术来防止恶意登录，以提升网络安全.在抗疫期间，某居民小区电子出入证的登录验证码由0，1，2，9中的五个数字随机组成.将中间数字最大，然后向两边对称递减的验证码称为“钟型验证码”（例如：如14
5、532，12543），已知某人收到了一个“钟型验证码”，则该验证码的中间数字是7的概率为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，为等腰直角三角形，平面底面，为的中点.（1）求证：平面；（2）若平面与平面的交线为，求二面角的正弦值.18（12分）已知的内角的对边分别为，且满足.（1）求角的大小；（2）若的面积为，求的周长的最小值.19（12分）已知中心在原点的椭圆的左焦点为，与轴正半轴交点为，且.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作斜率为、的两条直线分别交于异于点的两点、.证明：当时，直线过定点.20（12分）设椭圆：的左
6、、右焦点分别为，下顶点为，椭圆的离心率是，的面积是.（1）求椭圆的标准方程.（2）直线与椭圆交于，两点（异于点），若直线与直线的斜率之和为1，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.21（12分）已知三棱锥P-ABC（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形ABCD为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥P-ABC中：（1）证明：平面平面ABC；（2）若点M在棱PA上运动，当直线BM与平面PAC所成的角最大时，求直线MA与平面MBC所成角的正弦值.22（10分）设数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12
7、小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【答案解析】根据“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻有3类排法，再考虑两者的顺序，有种，剩余的3门全排列，即可求解.【题目详解】由题意，“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻时，可排在第1节和第2节或第4节和第5节或第5节和第6节，有3种，再考虑两者的顺序，有种，剩余的3门全排列，安排在剩下的3个位置，有种，所以“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有种不同的排法.故选：C.【答案点睛】本题主要考查了排列、组合的应用，其中解答中认真审题，根据题设条件，先排列有限制条件的元素是解答的关键，着重考查了
8、分析问题和解答问题的能力，属于基础题.2、D【答案解析】根据双曲线的一条渐近线方程为，列出方程，求出的值即可.【题目详解】双曲线的一条渐近线方程为，可得，双曲线的离心率.故选：D.【答案点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，属于基础题.3、D【答案解析】本道题结合双曲线的性质以及余弦定理，建立关于a与c的等式，计算离心率，即可【题目详解】结合题意，绘图，结合双曲线性质可以得到PO=MO，而，结合四边形对角线平分，可得四边形为平行四边形，结合，故对三角形运用余弦定理，得到，而结合，可得，代入上式子中，得到，结合离心率满足，即可得出，故选D【答案点睛】本道题考查了余弦定理以及双曲线的性质，难度偏
9、难4、B【答案解析】因为,所以,所以或.若，则,满足.若，解得或.若，则，满足.若，显然不成立，综上或，选B.5、A【答案解析】由复数的除法运算可整理得到，由此得到对应的点的坐标，从而确定所处象限.【题目详解】由得：，对应的点的坐标为，位于第一象限.故选：.【答案点睛】本题考查复数对应的点所在象限的求解，涉及到复数的除法运算，属于基础题.6、A【答案解析】作出函数的图象，得到，把函数有零点转化为与在（2，4上有交点，利用导数求出切线斜率，即可求得的取值范围，再根据充分、必要条件的定义即可判断【题目详解】作出函数的图象如图，由图可知，函数有2个零点，即有两个不同的根，也就是与在上有2个交点，则的
10、最小值为；设过原点的直线与的切点为，斜率为，则切线方程为，把代入，可得，即，切线斜率为，k的取值范围是，函数有两个零点”是“”的充分不必要条件，故选A【答案点睛】本题主要考查了函数零点的判定，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，试题有一定的综合性，属于中档题7、B【答案解析】分三种情况，任务A排在第一位时，E排在第二位；任务A排在第二位时，E排在第三位；任务A排在第三位时，E排在第四位，结合任务B和C不能相邻，分别求出三种情况的排列方法，即可得到答案【题目详解】六项不同的任务分别为A、B、C、D、E、F，如果任务A排在第一位时，E排在第二位
11、，剩下四个位置，先排好D、F，再在D、F之间的3个空位中插入B、C，此时共有排列方法：；如果任务A排在第二位时，E排在第三位，则B，C可能分别在A、E的两侧，排列方法有，可能都在A、E的右侧，排列方法有； 如果任务A排在第三位时，E排在第四位，则B，C分别在A、E的两侧；所以不同的执行方案共有种【答案点睛】本题考查了排列组合问题，考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题8、A【答案解析】令，构造，要使函数有三个不同的零点（其中），则方程需要有两个不同的根，则，解得或，结合的图象，并分，两个情况分类讨论，可求出的值.【题目详解】令，构造，求导得，当时，；当时，故在上单调递增，在上单调递减，且时，时，
12、可画出函数的图象（见下图），要使函数有三个不同的零点（其中），则方程需要有两个不同的根（其中），则，解得或，且，若，即，则，则，且，故，若，即，由于，故，故不符合题意，舍去. 故选A. 【答案点睛】解决函数零点问题，常常利用数形结合、等价转化等数学思想.9、A【答案解析】由计算出的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得函数的值域.【题目详解】，因此，函数的值域为.故选：A.【答案点睛】本题考查正弦型函数在区间上的值域的求解，解答的关键就是求出对象角的取值范围，考查计算能力，属于基础题.10、D【答案解析】圆心坐标为，代入直线方程，再由乘1法和基本不等式，展开计算即可得到所求最小值【题目详解】圆
13、的圆心为，由题意可得，即，则，当且仅当且即时取等号，故选：【答案点睛】本题考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，注意满足的条件：一正二定三等，同时考查直线与圆的关系，考查运算能力，属于基础题11、B【答案解析】由题知为奇函数，且可得函数的周期为3，分别求出知函数在一个周期内的和是0，利用函数周期性对所求式子进行化简可得.【题目详解】因为为奇函数，故；因为，故，可知函数的周期为3；在中，令，故，故函数在一个周期内的函数值和为0，故.故选：B.【答案点睛】本题考查函数奇偶性与周期性综合问题. 其解题思路：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数
14、值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解12、B【答案解析】由可得；由过点所作的圆的两条切线互相垂直可得,又焦点到双曲线渐近线的距离为,则,进而求解.【题目详解】,所以离心率,又圆是以为圆心,半径的圆,要使得经过点所作的圆的两条切线互相垂直,必有,而焦点到双曲线渐近线的距离为,所以,即,所以,所以双曲线的离心率的取值范围是.故选:B【答案点睛】本题考查双曲线的离心率的范围,考查双曲线的性质的应用.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、（或写成）【答案解析】设与的夹角为，通过，可得，化简整理可求出，从而得到答案.【题目详解】设与的夹角为可得，故，将代入可得得到，于是与的夹角为.故答案为：.【答案点睛】本题主要考查向量的数量积运算，向量垂直转化为数量积为0是解决本题的关键，意在考查学生的转化能力，分析能力及计算能力.14、-2【答案解析】试题分析：，考点：等比数列性质及求和公式15、【答案解析】直接利用关系式求出函数的被积函数的原函数，进一步求出的值【题目详解】解：若，则，即，所以故答案为：【答案
