1、2018 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题：一、选择题：本题共本题共 12 小题，小题，每小题每小题 5 分，分，共共 60 分。在每小题给出的四个选分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。项中，只有一项是符合题目要求的。1（5 分）=（）Ai B C D 2（5 分）已知集合 A=（x，y）|x2+y23，xZ，yZ，则 A 中元素的个数为（）A9 B8 C5 D4 3（5 分）函数 f（x）=的图象大致为（）A B C D 4（5 分）已知向量，满足|=1，=1，则（2）=（）A4 B3 C2 D0 5（5 分）双曲线
2、=1（a0，b0）的离心率为，则其渐近线方程为（）Ay=x By=x Cy=x Dy=x 6（5 分）在ABC 中，cos=，BC=1，AC=5，则 AB=（）A4 B C D2 7（5 分）为计算 S=1+，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（）Ai=i+1 Bi=i+2 Ci=i+3 Di=i+4 8（5 分）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 30=7+23在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是（）A B C D 9（5 分）在长方体 ABCDA1B1C1D1中
3、，AB=BC=1，AA1=，则异面直线 AD1与 DB1所成角的余弦值为（）A B C D 10（5 分）若 f（x）=cosxsinx 在a，a是减函数，则 a 的最大值是（）A B C D 11（5 分）已知 f（x）是定义域为（，+）的奇函数，满足 f（1x）=f（1+x），若 f（1）=2，则 f（1）+f（2）+f（3）+f（50）=（）A50 B0 C2 D50 12（5 分）已知 F1，F2是椭圆 C：=1（ab0）的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P=120，则 C 的离心率为（）A B C D 二、填空题：二
4、、填空题：本题共本题共 4 小题，小题，每小题每小题 5 分，分，共共 20 分。分。13（5 分）曲线 y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为 14（5 分）若 x，y 满足约束条件，则 z=x+y 的最大值为 15（5 分）已知 sin+cos=1，cos+sin=0，则 sin（+）=16（5 分）已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 所成角的余弦值为，SA 与圆锥底面所成角为 45，若SAB 的面积为 5，则该圆锥的侧面积为 三、三、解答题解答题：共共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第第 1721题为必考题，每
5、个试题考生都必须作答。题为必考题，每个试题考生都必须作答。第第 22、23 题为选考题，考生根要题为选考题，考生根要求作答。（一求作答。（一)必考题：必考题：共共 60 分。分。17（12 分）记 Sn为等差数列an的前 n 项和，已知 a1=7，S3=15（1）求an的通项公式；（2）求 Sn，并求 Sn的最小值 18（12 分）如图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 y（单位：亿元）的折线图 为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了 y 与时间变量 t 的两个线性回归模型根据 2000 年至 2016 年的数据（时间变量 t 的值依次为 1，2，17）
6、建立模型：=30.4+13.5t；根据 2010 年至 2016 年的数据（时间变量 t 的值依次为 1，2，7）建立模型：=99+17.5t（1）分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由 19（12 分）设抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k（k0）的直线 l与 C 交于 A，B 两点，|AB|=8（1）求 l 的方程；（2）求过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程 20（12 分）如图，在三棱锥 PABC 中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O为 AC 的中点（1）证
7、明：PO平面 ABC；（2）若点 M 在棱 BC 上，且二面角 MPAC 为 30，求 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值 21（12 分）已知函数 f（x）=exax2（1）若 a=1，证明：当 x0 时，f（x）1；（2）若 f（x）在（0，+）只有一个零点，求 a （二）选考题：（二）选考题：共共 10 分。分。请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。则按所做的第一题计分。选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为，（为参数），直线 l 的
8、参数方程为，（t 为参数）（1）求 C 和 l 的直角坐标方程；（2）若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为（1，2），求 l 的斜率 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设函数 f（x）=5|x+a|x2|（1）当 a=1 时，求不等式 f（x）0 的解集；（2）若 f（x）1，求 a 的取值范围 2018 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：一、选择题：本题共本题共 12 小题，小题，每小题每小题 5 分，分，共共 60 分。在每小题给出的四个选分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
9、是符合题目要求的。项中，只有一项是符合题目要求的。1（5 分）=（）Ai B C D 【考点】A5：复数的运算菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5N：数系的扩充和复数【分析】利用复数的除法的运算法则化简求解即可【解答】解：=+故选：D【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基本知识的考查 2（5 分）已知集合 A=（x，y）|x2+y23，xZ，yZ，则 A 中元素的个数为（）A9 B8 C5 D4 【考点】1A：集合中元素个数的最值菁优网版权所有【专题】32：分类讨论；4O：定义法；5J：集合【分析】分别令 x=1，0，1，进行求解即可【解答】解：当 x=
10、1 时，y22，得 y=1，0，1，当 x=0 时，y23，得 y=1，0，1，当 x=1 时，y22，得 y=1，0，1，即集合 A 中元素有 9 个，故选：A【点评】本题主要考查集合元素个数的判断，利用分类讨论的思想是解决本题的关键 3（5 分）函数 f（x）=的图象大致为（）A B C D 【考点】3A：函数的图象与图象的变换；6B：利用导数研究函数的单调性菁优网版权所有【专题】33：函数思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用【分析】判断函数的奇偶性，利用函数的定点的符号的特点分别进行判断即可【解答】解：函数 f（x）=f（x），则函数 f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除 A，
11、当 x=1 时，f（1）=e0，排除 D 当 x+时，f（x）+，排除 C，故选：B【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数图象的特点分别进行排除是解决本题的关键 4（5 分）已知向量，满足|=1，=1，则（2）=（）A4 B3 C2 D0 【考点】91：向量的概念与向量的模；9O：平面向量数量积的性质及其运算菁优网版权所有【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用【分析】根据向量的数量积公式计算即可【解答】解：向量，满足|=1，=1，则（2）=2=2+1=3，故选：B【点评】本题考查了向量的数量积公式，属于基础题 5（5 分）双曲线=1（a0，b0）
12、的离心率为，则其渐近线方程为（）Ay=x By=x Cy=x Dy=x 【考点】KC：双曲线的性质菁优网版权所有【专题】35：转化思想；4O：定义法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据双曲线离心率的定义求出 a，c 的关系，结合双曲线 a，b，c 的关系进行求解即可【解答】解：双曲线的离心率为 e=，则=，即双曲线的渐近线方程为 y=x=x，故选：A【点评】本题主要考查双曲线渐近线的求解，结合双曲线离心率的定义以及渐近线的方程是解决本题的关键 6（5 分）在ABC 中，cos=，BC=1，AC=5，则 AB=（）A4 B C D2 【考点】HR：余弦定理菁优网版权所有【专题】11：计
13、算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形【分析】利用二倍角公式求出 C 的余弦函数值，利用余弦定理转化求解即可【解答】解：在ABC 中，cos=，cosC=2=，BC=1，AC=5，则 AB=4 故选：A【点评】本题考查余弦定理的应用，考查三角形的解法以及计算能力 7（5 分）为计算 S=1+，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（）Ai=i+1 Bi=i+2 Ci=i+3 Di=i+4 【考点】E7：循环结构；EH：绘制程序框图解决问题菁优网版权所有【专题】38：对应思想；4B：试验法；5K：算法和程序框图【分析】模拟程序框图的运行过程知该程序运行后输出的 S=NT，由此知空白
14、处应填入的条件【解答】解：模拟程序框图的运行过程知，该程序运行后输出的是 S=NT=（1）+（）+（）；累加步长是 2，则在空白处应填入 i=i+2 故选：B【点评】本题考查了循环程序的应用问题，是基础题 8（5 分）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 30=7+23在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是（）A B C D 【考点】CB：古典概型及其概率计算公式菁优网版权所有【专题】36：整体思想；4O：定义法；5I：概率与统计【分析】利用列举法先求出不超过 30 的所有素
15、数，利用古典概型的概率公式进行计算即可【解答】解：在不超过 30 的素数中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共 10 个，从中选 2 个不同的数有=45 种，和等于 30 的有（7，23），（11，19），（13，17），共 3 种，则对应的概率 P=，故选：C【点评】本题主要考查古典概型的概率的计算，求出不超过 30 的素数是解决本题的关键 9（5 分）在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，则异面直线 AD1与 DB1所成角的余弦值为（）A B C D 【考点】LM：异面直线及其所成的角菁优网版权所有【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向
16、量法；5G：空间角【分析】以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线 AD1与 DB1所成角的余弦值【解答】解：以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，A（1，0，0），D1（0，0，），D（0，0，0），B1（1，1，），=（1，0，），=（1，1，），设异面直线 AD1与 DB1所成角为，则 cos=，异面直线 AD1与 DB1所成角的余弦值为 故选：C 【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题 10（5 分）若 f（x）=cosxsinx 在a，a是减函数，则 a 的最大值是（）A B C D 【考点】GP：两角和与差的三角函数；H5：正弦函数的单调性菁优网版权所有【专题】33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值【分析】利用两角和差的正弦公式化简 f（x），由，kZ，得，kZ，取 k=0
