1、第十八章 平行四边形一、选择题(每题3分,共30分)1.下列命题正确的是()A.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.对角线相等的四边形是矩形D.一组邻边相等的矩形是正方形2.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F分别是AD,AB边的中点,连接EF.若EF=3,OC=2,则菱形ABCD的面积为()A.23 B.43 C.63 D.83 第2题图 第3题图 第4题图3.如图,在矩形ABCD中,AE平分BAD,交边BC于点E,若ED=5,EC=3,则矩形ABCD的周长为()A.11 B.14 C.22 D.284.如图,平行四边形ABC
2、D的对角线AC与BD相交于点O, AEBC,垂足为E,AB=3,AC=2,BD=4,则AE的长为()A.32 B.32 C.217 D.22175.如图,在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形,甲、乙两人的作法如下:甲:连接AC,作AC的垂直平分线MN分别交AD,AC,BC于点M,O,N,连接AN,CM,则四边形ANCM是菱形.乙:分别作A,B的平分线AE,BF,分别交BC,AD于点E,F,连接EF,则四边形ABEF是菱形.根据两人的作法可判断()A.甲正确,乙错误 B.甲、乙均正确 C.乙正确,甲错误 D.甲、乙均错误6.如图,点P是矩形ABCD的对角线AC上一点,过点P作EFBC,分别交A
3、B,CD于点E,F,连接PB,PD.若AE=2,PF=8.则图中阴影部分的面积为()A.10 B.12 C.16 D.18第6题图 第7题图7.如图,在四边形ABCD中,AD=BC,点E,F,G,H分别是AB,BD,CD,AC的中点,则对四边形EFGH的表述最确切的是()A.四边形EFGH是矩形 B.四边形EFGH是菱形C.四边形EFGH是正方形 D.四边形EFGH是平行四边形8.如图,在ABCD中,BAD=120,连接BD,作AEBD交CD的延长线于点E,过点E作EFBC交BC的延长线于点F,且CF=1,则AB的长是()A.1 B.2 C.3 D.2第8题图 第9题图 第10题图9.如图,四
4、边形ABCD是菱形,BD=42,AD=26,点E是CD边上的一动点,过点E作EFOC于点F,EGOD于点G,连接FG,则FG的最小值为()A.52 B.125 C.433 D.610.如图,正方形ABCD的边长为1,EAF=45,AE=AF,给出下列结论:1=2=22.5;点C到EF的距离是2-1;ECF的周长为2;BE+DFEF.其中正确的结论有()A.4个 B.3个 C.2个 D.1个二、填空题(每题3分,共18分)11.工人师傅在做门窗或矩形零件时,不仅要测量两组对边是否相等,还要测量两条对角线是否相等,这样做的依据是.12.如图,E为ABCD外一点,且EBBC于点B,EDCD于点D,若
5、E=50,则A的度数为.第12题图 第13题图 第14题图13.如图,在正方形ABCD中,AC为对角线,点E在AB边上,EFAC于点F,连接EC,AF=3,EFC的周长为12,则EC的长为.14.如图,点P是矩形ABCD的边AD上一动点,矩形的两条边AB,BC的长分别是6和8,则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是.15.如图,一张矩形纸片的长AD=12,宽AB=2,点E在边AD上,点F在边BC上,将四边形ABFE沿直线EF翻折后,点B落在边AD的三等分点G处,点A落在点A处,则EG的长为. 第15题图 第16题图16.如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E为BC上一
6、点,CE=5,F为DE的中点.若CEF的周长为18,则OF的长为.三、解答题(共52分)17.(6分)如图,四边形AECF是平行四边形,点D,B分别在AF,CE的延长线上,连接AB,CD,B=D.求证:(1)ABECDF;(2)四边形ABCD是平行四边形. 18.(8分)如图,在ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点B作BECD于点E,延长CD到点F,使DF=CE,连接AF.(1)求证:四边形ABEF是矩形;(2)连接OF,若AB=6,DE=2,ADF=45,求OF的长. 19.(8分)如图,将矩形ABCD折叠,使点A,C重合,再展开,折痕交BC于点E,交AD于点F.(1)求证:四边形AE
7、CF为菱形;(2)若AB=4,BC=8,求菱形的边长;(3)在(2)的条件下求折痕EF的长. 20.(8分)如图1,在正方形ABCD中,E,F分别是边AD,DC上的点,且AFBE.(1)求证:AF=BE;(2)如图2,在正方形ABCD中,M,N,P,Q分别是边AB,BC,CD,DA上的点,且MPNQ,MP与NQ是否相等?请说明理由. 图1 图221.(10分)如图,在RtABC中,ACB=90,过点C的直线MNAB,D为AB边上一点,过点D作DEBC,交直线MN于点E,垂足为点F,连接CD,BE.(1)求证:CE=AD;(2)当D为AB的中点时,四边形BECD是什么特殊四边形?请说明理由.(3
8、)若D为AB的中点,则当A满足什么条件时,四边形BECD是正方形?请说明理由. 22.(12分)某数学兴趣小组在数学课外活动中,研究三角形和正方形的性质时,做了如下探究:在ABC中,BAC=90,AB=AC,点D为直线BC上一动点(点D不与B,C重合),以AD为边在AD右侧作正方形ADEF,连接CF.(1)观察猜想如图1,当点D在线段BC上时,BC与CF的位置关系为;BC,CD,CF之间的数量关系为;(将结论直接写在横线上)(2)数学思考如图2,当点D在线段CB的延长线上时,结论,是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请你写出正确结论再给予证明.(3)拓展延伸如图3,当点D在线段BC的延
9、长线上时,延长BA交CF于点G,连接GE.若AB=22,CD=14BC,请求出GE的长.图1 图2 图3参考答案1.D【解析】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,故A错误;对角线互相垂直的平行四边形是菱形,故B错误;对角线相等的平行四边形是矩形,故C错误;一组邻边相等的矩形是正方形,故D正确.故选D.2.B【解析】E,F分别是AD,AB边的中点,EF是ABD的中位线,BD=2EF=23.四边形ABCD是菱形,AC=2OC=4,菱形ABCD的面积为12ACBD=12423=43.故选B.3.C【解析】四边形ABCD是矩形,C=90,AD=BC,AB=CD,ADBC,AEB=DAE.AE平分B
10、AD,BAE=DAE,BAE=AEB,BE=AB.ED=5,EC=3,CD=ED2-EC2=52-32=4,BE=AB=CD=4,矩形ABCD的周长为2(4+3+4)=22.故选C.4.D【解析】四边形ABCD是平行四边形,AC=2,BD=4,AO=1,BO=2.AB=3,AO2+AB2=BO2,ABO是直角三角形且BAO=90,BC=AB2+AC2=(3)2+22=7.SABC=12ABAC=12BCAE,1232=127AE,解得AE=2217.故选D.5.B【解析】对于甲的作法,四边形ABCD是平行四边形,ADBC,DAC=ACN.MN是AC的垂直平分线,AOM=CON=90,AO=CO
11、,AOMCON,MO=NO,四边形ANCM是平行四边形,又ACMN,四边形ANCM是菱形,故甲的作法正确.对于乙的作法,四边形ABCD是平行四边形,ADBC,AFB=EBF,FAE=BEA.BF平分ABC,AE平BAD,FBE=FBA,BAE=FAE,AFB=ABF,BAE=AEB,AB=AF,AB=BE,AF=BE.AFBE,四边形ABEF是平行四边形,又AB=AF,四边形ABEF是菱形,故乙的作法正确.故选B.6.C【解析】如图,过点P作MNAD于点M,交BC于点N,则四边形AEPM、四边形DFPM、四边形CFPN、四边形BEPN都是矩形,SADC=SABC,SAMP=SAEP,SPBE=
12、SPBN,SPFD=SPDM,SPFC=SPCN,SPBE=SDFP=1228=8,S阴影=8+8=16.故选C.7.B【解析】点E,H分别是AB,AC的中点,EHBC,EH=12BC.同理,EFAD,EF=12AD,HGAD,HG=12AD,EFHG,EF=HG,四边形EFGH是平行四边形.AD=BC,EF=EH,平行四边形EFGH是菱形.故选B.8.A【解析】四边形ABCD是平行四边形,ABCD,AB=CD,BCD=BAD=120.AEBD,四边形ABDE是平行四边形,AB=DE,CE=2AB,BCD=120,ECF=60,EFBF,CEF=30,CE=2CF=2,AB=1.故选A.9.C
13、【解析】连接OE,四边形ABCD是菱形,AD=DC,OA=OC,OB=OD,ACBD.EFOC,EGOD,四边形OGEF是矩形,OE=GF.当OEDC时,OE的值最小,即GF的值最小.BD=42,OD=22,OC=DC2-OD2=(26)2-(22)2=4.SODC=12ODOC=12DCOE,12224=1226OE,OE=433,FG的最小值为433.故选C.10.B【解析】四边形ABCD为正方形,AB=AD,BAD=B=D=90.在RtABE和RtADF中,AB=AD,AE=AF,RtABERtADF,1=2.EAF=45,1=2=22.5,故正确.如图,连接AC交EF于点H,RtABE
14、RtADF,BE=DF,又BC=DC,CE=CF.AE=AF,AC垂直平分EF,AH平分EAF,又1=2,AE平分BAC,AF平分DAC,EB=EH,FD=FH,BE+DF=EH+HF=EF,故错误.ECF的周长为CE+CF+EF=CE+BE+CF+DF=CB+CD=1+1=2,故正确.设BE=x,则EF=2x,CE=1-x,CEF为等腰直角三角形,EF=2CE,2x=2(1-x),解得x=2-1,BE=2-1.在RtECF中,EH=FH,CH=12EF=EH=BE=2-1.CHEF,点C到EF的距离是2-1,故正确.综上,正确的结论是.故选B.11.对角线相等的平行四边形是矩形12.130【
15、解析】EBBC,EDCD,EBC=90,EDC=90.E=50,C=360-90-90-50=130.四边形ABCD是平行四边形,A=C=130.13.5【解析】四边形ABCD是正方形,BAC=45,EFAC,AEF=BAC=45,EF=AF=3.EFC的周长为12,EF+CF+EC=12,CF=9-EC.在RtEFC中,由勾股定理,得(9-EC)2+32=EC2,解得EC=5.14.245【解析】如图,过点P作PEAC于点E,PFBD于点F,连接PO.因为AB,BC的长分别是6和8,所以AC=BD=10,所以AO=OD=5,因为SPAO+SPOD=SAOD,所以12AOPE+12ODPF=1
16、468,所以PE+PF=245,即点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是245.15.52或174【解析】过点G作GHBC于点H,则四边形ABHG是矩形.G是AD的三等分点,AG=4或8.由折叠的性质,可知FG=FB,EFB=EFG.ADBC,FEG=EFB,FEG=GFE,EG=FG.设EG=x,则FG=FB=x.在RtFGH中,FG2=GH2+FH2,x2=22+(4-x)2或x2=22+(8-x)2,x=52或174,即EG的长为52或174.16.72【解析】四边形ABCD是正方形,BO=DO,BC=CD,BCD=90.在RtDCE中,F为DE的中点,CF=12DE=EF=DF.
17、CEF的周长为18,CE=5,CF+EF=18-5=13,DE=DF+EF=13.在RtDCE中,根据勾股定理,得DC=132-52=12,BC=12,BE=12-5=7.在BDE中,BO=DO,F为DE的中点,OF为BDE的中位线,OF=12BE=72.17.【解析】(1)四边形AECF是平行四边形,AE=CF,AF=CE,AEC=AFC,AEB=CFD.在ABE和CDF中,B=D,AEB=CFD,AE=CF,ABECDF.(2)由(1)知ABECDF,AB=CD,BE=DF,AF=CE,AF+DF=CE+BE,即AD=BC,又ADBC,四边形ABCD是平行四边形.18.【解析】(1)四边形
18、ABCD是平行四边形,ABCD,AB=CD.DF=CE,DF+DE=CE+DE,即FE=CD,FE=AB,又ABFE,四边形ABEF是平行四边形.BECD,BEF=90,四边形ABEF是矩形.(2)由(1)知四边形ABEF是矩形,EF=AB=6,DE=2,DF=CE=4,CF=4+4+2=10.在RtADF中,ADF=45,AF=DF=4,在RtACF中,由勾股定理,得AC=AF2+CF2=42+102=229,四边形ABCD是平行四边形,OA=OC,OF=12AC=29.19.【解析】(1)将矩形ABCD折叠后点A,C重合,折痕为EF,OA=OC,EFAC,EA=EC.ADBC,FAC=EC
19、A,又AOF=COE,AOFCOE,OF=OE.四边形AECF为平行四边形,又EFAC,四边形AECF为菱形.(2)设菱形的边长为x,则BE=BC-CE=8-x,AE=x.在RtABE中,BE2+AB2=AE2,(8-x)2+42=x2,解得x=5,即菱形的边长为5.(3)在RtABC中,AC=AB2+BC2=42+82=45,OA=12AC=25.在RtAOE中,OE=AE2-OA2=52-(25)2=5,EF=2OE=25.20.【解析】(1)四边形ABCD是正方形,AB=AD,BAE=D=90,DAF+BAF=90.AFBE,ABE+BAF=90,ABE=DAF.在ABE和DAF中,AB
20、E=DAF,AB=DA,BAE=D,ABEDAF,AF=BE.(2)MP与NQ相等.理由如下:如图,过点A作AGMP交CD于点G,过点B作BHNQ交AD于点H.MPNQ,AGBH.ABCD,ADBC,四边形AMPG与四边形BNQH都是平行四边形,AG=PM,BH=NQ.四边形ABCD为正方形,AB=AD,BAH=D=90,DAG+BAG=90.AGBH,ABH+BAG=90,ABH=DAG.在ABH和DAG中,ABH=DAG,AB=DA,BAH=D,ABHDAG,AG=BH,MP=NQ.21.【解析】(1)DEBC,DFB=90.ACB=90,ACB=DFB,ACDE.MNAB,即CEAD,四
21、边形ADEC是平行四边形,CE=AD.(2)四边形BECD是菱形.理由如下:D为AB的中点,AD=BD.由(1)知CE=AD,BD=CE,BDCE,四边形BECD是平行四边形,又DEBC,四边形BECD是菱形.(3)当A=45时,四边形BECD是正方形.理由如下:ACB=90,A=45,ABC=A=45,AC=BC. D为AB的中点,CDAB,CDB=90,又四边形BECD是菱形,四边形BECD是正方形.即当A=45时,四边形BECD是正方形.22.【解析】(1)垂直;BC=CD+CF(2)成立,不成立,正确结论是BC=DC-CF.证明如下:四边形ADEF是正方形,AD=AF,DAF=90.B
22、AC=90,DAB=FAC,又AD=AF,AB=AC,DABFAC.DB=CF,DBA=FCA.BAC=90,AB=AC,ABC=ACB=45.FCA=DBA=135,BCF=90,BCCF.BC=DC-DB,DB=CF,BC=DC-CF.(3)如图,过点A作AMBC于点M,过点E作ENBC于点N,EPCF于点P.易得四边形PCNE为矩形,BAC=90,AB=AC=22,BC=4,AM=BM=CM=2.CD=14BC,CD=1,MD=3.ADC+EDN=90,EDN+DEN=90,ADC=DEN,又AMD=DNE=90,AD=DE,AMDDNE,DN=AM=2,EN=MD=3.CG=BC=4,GP=4-3=1.在RtGPE中,由勾股定理,得GE=GP2+PE2=12+32=10.
