1、第十七章 勾股定理一、选择题(每题3分,共30分)1.下列各组线段的长,不能构成直角三角形的是()A.1,2,3 B.5,12,13 C.6,8,10 D.8,15,172.如图所示的各直角三角形中,其中边长x=5的个数是()A.1 B.2 C.3 D.43.如图,以点D为圆心、DB的长为半径画弧与数轴交于点A,若点A表示的数为a,则a的值为()A.-1-5 B.1-5 C.-5 D.-1+54.下列命题的逆命题成立的是()A.全等三角形的对应角相等 B.如果两个数相等,那么它们的绝对值相等C.两直线平行,同位角相等 D.如果两个角都是45,那么这两个角相等5.如图,在ABC中,AB=AC=5
2、,BC=8,D是线段BC上的动点(不含端点B,C),若线段AD的长为正整数,则符合条件的点D共有()A.5个 B.4个 C.3个 D.2个6.如图,梯子AB靠在墙上,底端A到墙根O的距离为2 m,顶端B到地面的距离为7 m,现将梯子的底端A向外移动到A,使梯子的底端A到墙根O的距离等于3 m,同时梯子的顶端B下降至B,那么BB()A.小于1 m B.大于1 m C.等于1 m D.小于或等于1 m 7.如图,直线l上有三个正方形a,b,c,若正方形a,c的面积分别为7和9,则正方形b的面积为()A.15 B.16 C.20 D.32 8.图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个完全
3、相同的直角三角形围成的.在直角三角形ABC中,若直角边AC=6,BC=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍,得到图2所示的“数学风车”,则这个风车的外围周长是()A.12 B.36 C.66 D.769.如图,长方体木箱的长、宽、高分别为5 cm,4 cm,3 cm,在它里面放入一根细木条(木条的粗细、变形忽略不计),要求木条不能露出木箱,则能放入细木条的最大长度是()A.41 cm B.34 cm C.52 cm D.53 cm第9题图 第10题图10.如图,正方形ABCD的边长为2,其面积标为S1,以CD为斜边向外作等腰直角三角形,以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作
4、正方形,其面积记为S2按照此规律继续下去,则S2 020的值为()A.(22)2 017 B.(22)2 018 C.(12)2 017 D.(12)2 018二、填空题(每题3分,共18分)11.如图,已知正方形ABCD的面积为8,则对角线BD的长为.第11题图 第12题图12.如图,在四边形ABCD中,AB=2,BC=2,CD=3,AD=1,且ABC=90,则BAD的度数为.13.已知m,n,d为一个直角三角形的三边长,且m-5=8n-n2-16,则此三角形的面积为.14.如图,在RtABC中,C=90,BC=6 cm,AC=8 cm,按图中所示方法将BCD沿BD折叠,使点C落在AB边的C
5、处,那么ADC的面积是.第14题图 第15题图 第16题图15.如图,已知RtABC的面积为20 cm2,在斜边AB的同侧,分别以AB,BC,AC为直径作三个半圆,则阴影部分的面积为.16.如图,圆柱形容器的高为18 cm,底面周长为24 cm,在容器内壁离下底面4 cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在容器外壁,离容器上底面2 cm的A处,则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为cm.三、解答题(共52分)17.(6分)如图,在55的正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,请在所给网格中按下列要求画出图形.(1)从点A出发作一条线段AB,使它的另一个端点落在格点(即小正方形的顶点)上,且
6、长度为2 2;(2)以(1)中的AB为边作一个等腰三角形ABC,使点C落在格点上,且另两边的长都是无理数.18.(8分)如图,在ABC中,CDAB于点D,AC=4,BC=3,DB=95.(1)求CD,AD的值;(2)判断ABC的形状,并说明理由. 19.(8分)如图,小明所在学校的旗杆BD高为13 m,距离旗杆20 m处刚好有一棵高为3 m的香樟树AE,活动课上,小明有意在旗杆与香樟树之间的连线上来回踱步,发现有一个位置到旗杆顶部与树顶的距离相等,请你求出该位置与旗杆之间的距离. 20.(8分)清朝康熙皇帝是我国历史上对数学很有兴趣的帝王.近日,西安发现了他的数学专著,其中有一文积求勾股法,它
7、对“三边长分别为3,4,5的整数倍的直角三角形,已知面积求边长”这一问题提出了解法:“若所设者为积数(面积),以积率六除之,平方开之得数,再以勾股弦各率乘之,即得勾股弦之数”.用现在的数学语言表述:“若直角三角形的三边长分别为3,4,5的整数倍,设其面积为S,则第一步,S6=m;第二步,m=k;第三步,分别用3,4,5乘k,得三边长”.(1)当面积S等于150时,请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长;(2)你能证明“积求勾股法”的正确性吗?请写出证明过程.21.(10分)在ABC中,AB=25,AC=4,BC=2,以AB为边向ABC外作ABD,使ABD为等腰直角三角形,求线段CD
8、的长.22.(12分)我们新定义一种三角形:若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方,则称这个三角形为勾股高三角形,两边交点为勾股顶点.特例感知等腰直角三角形勾股高三角形;(填“是”或“不是”)如图1,已知ABC为勾股高三角形,其中C为勾股顶点,CD是AB边上的高,若BD=2AD=2,试求线段CD的长度;深入探究如图2,已知ABC为勾股高三角形,其中C为勾股顶点且CACB,CD是AB边上的高,试探究线段AD与CB的数量关系,并给予证明;推广应用如图3,等腰三角形ABC为勾股高三角形,其中AB=ACBC,CD为AB边上的高,过点D作BC边的平行线与AC边交于点E,若CE=a,试求线段D
9、E的长度. 参考答案1.A 【解析】A项,因为12+(2)232,所以不能构成直角三角形;B项,因为52+122=132,所以能构成直角三角形;C项,因为62+82=102,所以能构成直角三角形;D项,因为82+152=172,所以能构成直角三角形.故选A.2.B【解析】A项,x=32+42=5;B项,x=252-242=7;C项,x=172-152=8;D项,x=132-122=5.故选B.3.A 【解析】由题图,可知DB=22+12=5,DA=DB=5,a=-1-5.故选A.4.C【解析】A项,逆命题是三个角对应相等的两个三角形全等,不成立;B项,逆命题是绝对值相等的两个数相等,不成立;C
10、项,逆命题是同位角相等,两直线平行,成立;D项,逆命题是相等的两个角都是45,不成立.故选C.5.C【解析】过点A作AEBC于点E,因为AB=AC,所以BE=CE=4.在RtABE中,由勾股定理得AE=AB2-BE2=2516=3,因为垂线段最短,所以AD的取值范围是3AD5,又线段AD的长为正整数,所以AD=3或4.由对称性可知,使AD=4的点D有2个,所以符合条件的点D共有3个.故选C.6.A【解析】在RtAOB中,OA=2 m,OB=7 m,AB=OA2+OB2=53 m.由题意可知AB=AB=53 m,又OA=3 m,OB=AB2-OA2=211 m,BB=(7-211) m0),则S
11、=123k4k=6k2,所以k2=S6,所以k=S6.21.【解析】AC=4,BC=2,AB=25,AC2+BC2=AB2,ACB为直角三角形,ACB=90.分三种情况讨论:如图1,AB=BD,ABD=90,过点D作DECB,交CB的延长线于点E,则ABC+DBE=90,又ABC+BAC=90,BAC=DBE,ACBBED,BE=AC=4,DE=BC=2,CE=6.在RtCDE中,由勾股定理得CD=CE2+DE2=210.如图2,AB=AD,BAD=90,过点D作DFCA,交CA的延长线于点F,同理可证ACBDFA,同理可得CD=213.如图3,AD=BD,ADB=90,过点D作DGCB,交C
12、B的延长线于点G,过点A作AHGD,交GD的延长线于点H,同理可证AHDDGB,AH=DG,DH=BG.设BG=x,则CG=2+x,AH=DG=4-x,易知CG=AH,2+x=4-x,解得x=1,CG=3,DG=3,在RtCGD中,由勾股定理,得CD=CG2+DG2=32.因此,线段CD的长为210或2 13或32.22.【解析】特例感知是根据勾股定理,得CB2=CD2+4,CA2=CD2+1,ABC为勾股高三角形,C为勾股顶点,CD2=CB2-CA2=(CD2+4)-(CD2+1)=3,CD=3.深入探究AD=CB.证明如下:ABC为勾股高三角形,C为勾股顶点,CACB,CA2-CB2=CD2,CA2-CD2=CB2.CA2-CD2=AD2,AD2=CB2,AD=CB.推广应用如图,过点A作AGDE于点G,等腰三角形ABC为勾股高三角形,且AB=ACBC,AC2-BC2=CD2,由深入探究中的结论,可知AD=BC.EDBC,ADE=B.又AGD=CDB=90,AGDCDB,DG=BD.易知ADE为等腰三角形,ED=2DG=2BD.又AB=AC,AD=AE,BD=EC=a,ED=2a.
