1、专题21.16 一元二次方程根与系数关系（巩固篇）（专项练习）一、单选题类型一、由根与系数关系直接求值1若、是一元二次方程的两个根，则的值是（）A6B9C12D132已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（）.ABCD3已知x1，x2是一元二次方程2x23x5的两个实数根，下列结论错误的是（）A23x15B（x1x2）（2x12x23）0Cx1x2Dx1x2类型二、由根与系数关系求参数的值4若m，n是方程x2x2 0220的两个根，则代数式（m22m2 022）（n22n2 022）的值为（）A2 023B2 022C2 021D2 0205关于x的方程有两个不相等的实数根，则
2、下列结论一定正确的是（）ABC当时，D当时，6已知a，b，4是等腰三角形的三边长，且a，b是关于x的方程的两个实数根，则m的值是（）ABC或D或类型三、根的判断别与根与系数关系综合7关于x的方程的两个实数根分别为和，且，则k的值是（）A3BC2D8已知关于x的一元二次方程有实数根，设此方程得一个实数根为t，令，则（）ABCD9若a、b是关于x的一元二次方程x2kx4k0的两个实数根，且a2b212，则k的值是（）AB3C或3D或1类型四、根与系数关系拓展应用10已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根x1，x2若，则m的值是（）A2B1C2或1D不存在11关于x的方程（m为常数）的根的情况
3、，下列说法正确的是（）A一正根，一负根 B两个正根C两个负根D无实数根12已知关于x的一元二次方程ax2bxc0与cx2bxa0，且ac0，ac下列说法正确的是（）A若方程ax2bxc0有两个相等的实数根，则方程cx2bxa0没有实数根B若方程ax2bxc0的两根符号相同，则方程cx2bxa0的两根符号也相同C若5是方程ax2bxc0的一个根，则5也是方程cx2bxa0的一个根D若方程ax2bxc0和方程cx2bxa0有一个相同的根，则这个根必是x1二、填空题类型一、由根与系数关系直接求值13设a、b是方程的两实数根，则_14若m，n是关于x的方程x2-3x-30的两根，则代数式m2+n2-2
4、mn_15已知x1，x2是一元二次方程x23x20的两根，则为_类型二、由根与系数关系求参数的值16已知实数、满足，若关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，则的值为_17已知关于x的一元二次方程的实数根，满足，则m的取值范围是_18已知是关于的一元二次方程的两实根，且，则的值是_类型三、根的判断别与根与系数关系综合19已知关于的一元二次方程有两个实数根和若之间关系满足，则的值为_20已知一组正整数2，m，3，n，3，2的众数是2，且m，n是一元二次方程x27x+k0的两个根，则这组数据的中位数是 _21已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a0），下列结论：若方程两根为-1和2，则2a+c=
5、0；若ba+c，则方程有两个不相等的实数根；若b=2a+3c，则方程有两个不相等的实数根；若m是方程的一个根，则一定有b2-4ac=（2am+b）2成立其中结论正确的序号是_类型四、根与系数关系拓展应用22关于x的一元二次方程的两实数根，满足，则的值是_23如果关于x的方程有两个相等的正实数根，那么m的值为_24关于x的一元二次方程（m1）x2+（m24）x+m+50的两个实数根互为相反数，则m等于 _三、解答题25（1）不解方程，判别关于x的一元二次方程x2(2m+1)x+m(m+1)=0的根的情况；（2）在RtABC中，斜边AB=，直角边BC、AC的长是（1）中方程的两个不相等的实数根，求
6、m的值26已知关于x、y的方程组有两组不同的实数解：和，求：(1)实数b的取值范围(2)的值27已知关于x的一元二次方程有实数根(1)求m的取值范围；(2)若该方程的两个实数根为，且，求m的值28已知关于的方程(1)求证：取任何实数，方程总有实数根；(2)若直角三角形的一边长为4，另两边m，n的长恰好是这个方程的两个根，求的值参考答案1D【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系得，再根据一元二次方程的解的意义得，即，再把代入计算即可解：、是一元二次方程的两个根，故选D【点拨】本题考查了一元二次方程的解的意义和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键2D【分析】利用一元二
7、次方程的根及根与系数的关系可得出m2+2m=2022，m+n=-2，再将其代入m2+4m+2n=（m2+2m）+2（m+n）中即可求出结论解：m，n是一元二次方程的两个实数根，m2+2m=2022，m+n=-2，m2+4m+2n=（m2+2m）+2（m+n）=2022+2（-2）=2018，故选D【点拨】本题考查了一元二次方程的根以及根与系数的关系，利用一元二次方程的根及根与系数的关系找出“m2+2m=-2022，m+n=-2”是解题的关键3D【分析】根据一元二次方程的根的判别式、一元二次方程根的定义、一元二次方程根与系数的关系逐一进行分析即可解：x1、x2是一元二次方程2x2-3x=5的两个
8、实数根，故A正确，不符合题意；这里a=2，b=-3，c=-5，故B、C正确，不符合题意，D错误，符合题意故选：D【点拨】本题考查了一元二次方程根的意义，根与系数的关系等，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键4B解：m、n是方程x2-x-2022=0的两个根，m2-m-2022=0，n2-n-2022=0，mn=-2022，m2-m=2022，n2-n=2022，（m22m2 022）（n22n2 022）=（m2-m-m-2022）(-(n2-n)+n+2022)=(2022-m-2022)(-2022+n+2022)=-mn=2022，故选：B【点拨】本题考查了一元二次方程的解的定义和一元二
9、次方程根与系数的关系，能根据已知条件得出m2-m-2022=0，n2-n-2022=0，mn=-2022是解此题的关键5C【分析】将原式整理为一元二次方程的一般式，根据关于x的方程(x2)(x3)=m有两个不相等的实数根，运用根的判别式可判断A选项；运用根于系数的关系可判断选项B；运用求根公式可判断选项C、D解：(x2)(x3)=m整理为x25x+6m=0，A、关于x的方程(x2)(x3)=m有两个不相等的实数根，b24ac0，即(5)241(6m)0，解得：m，故此选项正确，不符合题意；B、根据根于系数的关系可得：x1+x2=，故此选项正确，不符合题意；C、当m0时，当m0时，x1231且m
10、0，x1、x2是方程mx2(m+2)x+=0的两个实数根，m=2或1，m1，m=2故选：A【点拨】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：(1)根据二次项系数非零及根的判别式，找出关于m的不等式组；(2)牢记，11A【分析】先把方程化为x2+x2m2=0，再根据判别式，知该方程有两个不相等的实数根，再由两根的积为即可得出结论解：关于x的方程(x1)(x+2)-m2=0(m为常数)，x2+x2m2=0，方程有两个不相等的实数根，两根的积为，此方程的两个根中一个正根，一个负根，故选：A【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系：若x1，x2分别是一元
11、二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个实数根，则，12B【分析】根据一元二次方程的解、根的判别式、根与系数的关系进行判断即可得到答案解：方程ax2bxc0有两个相等的实数根方程cx2bxa0有两个相等的实数根故A选项错误；方程ax2bxc0的两根符号相同方程cx2bxa0的两根符号也相同故B选项正确；5是方程ax2bxc0的一个根若5是方程cx2bxa0的一个根a c故C选项错误；若方程ax2bxc0和方程cx2bxa0有一个相同的根为则作差得，a c故D选项错误故选：B【点拨】本题考查一元二次方程的解、根的判别式、根与系数的关系，正确理解题意是解题的关键132022【分析】先根据一元二次
12、方程的根的定义可得，从而可得，再根据一元二次方程的根与系数的关系可得，从而可得，然后代入计算即可得解：是的两实数根，则，故答案为：2022【点拨】本题考查了一元二次方程的根、一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键1421【分析】先根据根与系数的关系得到m+n3，mn3，再根据完全平方公式变形得到m2+n22mn（m+n）24mn，然后利用整体代入的方法计算解：m，n是关于x的方程x2-3x-30的两根，m+n3，mn3，m2+n22mn（m+n）24mn324（3）21故答案为：21【点拨】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+
13、c0（a0）的两根时，x1+x2，x1x215【分析】由一元二次方程根与系数的关系解题：解：一元二次方程x23x20，a=1，b=3，c=2，故答案为：【点拨】本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握相关知识是解题关键165【分析】根据非负数的性质得出a=2，b=3，根据根与系数的关系可得x1+x2=2，x1x2=3，整体代入即可求得解：实数a、b满足，a=2，b=-3，关于x的一元二次方程x2-ax+b=0的两个实数根分别为x1、x2，x1+x2=a=2，x1x2=b=-3，故答案为：5【点拨】本题考查了非负数的性质以及一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与系数的关系，解决本题的关键
14、是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系17【分析】根据根的判别式0、根与系数的关系列出关于m的不等式组，通过解该不等式组，求得m的取值范围解：由题意得：，所以，依题意得：，解得4m5故答案是：4m5【点拨】本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用，解此题的关键是得出关于m的不等式，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a0）当b2-4ac0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，当b2-4ac0时，一元二次方程没有实数根18【分析】由是关于的一元二次方程的两实根，可得 代入，再解方程求解 再求解的取值范围，从而可得答案解：
15、是关于的一元二次方程的两实根， 整理得： 即 解得： 所以 故答案为：【点拨】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法，易错点是求解后不注意检验方程是否有根19【分析】把x12-x22=0分解因式，确定两个根之间的关系后，根据根的判别式计算即可解：关于x的一元二次方程x2+(2m-1)x+m2=0有两个实数根x1和x2，b2-4ac=(2m-1)24m20，解得：m ，x12-x22=0，（x1+x2）（x1-x2）=0，x1-x2=0 或x1+x2=0，当x1+x2=0时，-（2m-1）=0，解得：m=（舍去），当x1-x2=0时，b2-4ac=(2
16、m-1)24m2=0，解得：m=，综上所述，m的值为：，故答案为：【点拨】本题考查了一元二次方程的根与判别式的关系，根与系数的关系定理，解题的关键是熟记根的判别式和根与系数关系定理20【分析】根据众数的概念以及一元二次方程根与系数关系即可得到m，n的值，进而按照中位数的求法求解即可解：一组正整数2，m，3，n，3，2的众数是2，中至少有一个是2， m，n是一元二次方程x27x+k0的两个根，综上所述，或，这组数据是2，2，3，5，3，2或2，5，3，2，3，2，则将他们按照从小到大顺序排列为：2，2，2，3，3，5，从而可知这组数据的中位数是，故答案为：【点拨】本题考查统计中众数与中位数的求解
17、，涉及到一元二次方程根与系数关系，熟练掌握这些知识点求解问题是解题的关键21【分析】利用根与系数的关系判断；由=b2-4ac判断；由判别式可判断；将x=m代入方程得am2=-（bm+c），再代入=（2am+b）2变形可判断解：若方程两根为-1和2，则=-12=-2，即c=-2a，2a+c=2a-2a=0，故正确；由ba+c不能判断=b2-4ac值的大小情况，故错误；若b=2a+3c，则=b2-4ac=4（a+c）2+5c20，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，故正确若m是方程ax2+bx+c=0的一个根，所以有am2+bm+c=0，即am2=-（bm+c），而（2am+b）
18、2=4a2m2+4abm+b2=4a-（bm+c）+4abm+b2=4abm-4abm-4ac+b2=b2-4ac故正确；故答案为：【点拨】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与系数的关系及根的判别式=b2-4ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根2232【分析】由题意得b2-4ac0，求出m0，再根据根与系数的关系，得m=2，最后把化简为(x1x2)2+2(x1+x2)2-4x1.x2+4，即可得答案解：由题意得b2-4ac=(2m)2-4(m2-m)0，m0，关于x的一元二次方程x2+2mx+m2-m=0的两实数根x1，
19、x2，x1x2=2，x1+x2=-2m，x1x2=m2-m=2，m2-m-2=0，解得：m=2或m=-1(舍去)，x1+x2=-4， =(x1x2)2+2(x1+x2)2-4x1.x2+4，=22+2(-4)2-42+4=32【点拨】本题考查了根据根与系数的关系，解题的关键是掌握x1+x2= ，x1x2=234【分析】根据一元二次方程根的判别式即可求得或，再根据方程有两个相等的正实数根，可知两根之和为正数，据此即可解答解：关于x的方程有两个相等的实数根 解得或 又关于x的方程有两个相等的正实数根两根之和为正数，即，解得 故故答案为：4【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟
20、练掌握和运用一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解决本题的关键解24-2【分析】设方程的两个实数根是a，b，根据根与系数的关系及相反数定义得到a+b0，求出m，再根据一元二次方程的定义以及根的判别式判断即可解：设方程的两个实数根是a，b，一元二次方程（m1）x2+（m24）x+m+50的两个实数根互为相反数，由根与系数的关系得：a+b0，且m10，m2，由题意，（m24）24（m1）（m+5）0，当m2时，0，舍去，当m2时，0，符合题意，即m=2故答案为：2【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，定义以及根的判别式判断，分情况讨论解决本题是关键.25（1）关于x的一元二次方程x2-
21、(2m+1)x+m(m+1)=0有两个不相等的实数根（2）m=4或-5【分析】（1）先根据题意求出的值，再根据一元二次方程根的情况与根的判别式的关系即可得出答案（2）设直角边BCAC的长是（1）中方程的两个不相等的实数根分别为x1x2，根据韦达定理得到两根之积与两根之和，再求出即可解题解：（1）=-(2m+1) 2-41m(m+1)=10，关于x的一元二次方程x2-(2m+1)x+m(m+1)=0有两个不相等的实数根；（2）设直角边BCAC的长是（1）中方程的两个不相等的实数根分别为x1x2，由韦达定理得：x1+x2=2m+1，x1x2= m(m+1)，由题意可知：（x1+x2）2-2 x1x
22、2=（）2即（2m+1）2-2m(m+1)=41，化简解得：m=4或-5【点拨】本题考察了根的判别式，一元二次方程根的情况与根的判别式之间的关系熟练掌握方程有两个不相等的；实数根方程有两个相等的实数根；方程没有实数根是解题的关键26(1)b0，解得：b5；(2)由(1)知，x2+2x+b4=0，则x1+x2=2由2xy+b=0，得y=2x+b则y1+y2=2x1+b+2x2+b=2(x1+x2)+2b=4+2b所以y1+y2+b(x1+x2)=4+2b2b=4【点拨】本题考查了二元一次方程组与一元二次方程的综合应用，熟练掌握代入法、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题关键27(1) (
23、2)【分析】(1)根据判别式 计算即可(2)利用根与系数关系定理计算即可(1)关于x的一元二次方程有实数根，解得：(2)方程的两个实数根为、，即，解得：【点拨】本题考查了根的判别式，根与系数关系定理，熟练掌握判别式和根与系数关系定理是解题的关键28(1)证明见分析 (2)或【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式判断即可；（2）利用一元二次方程根与系数的关系和求根公式计算求值即可；(1)证明：无论取任何实数，方程总有实数根；(2)解：，；当斜边长为4时，即，解得：，或（舍去）；k2时方程的根为：，当直角边长为4，斜边为m时，即，解得：，或（舍去）；当直角边长为4，斜边为n时，同理可得：，或（舍去）；综上，或【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式；求根公式；根与系数的关系， ；勾股定理
