1、专题22.22 抛物线的对称性(基础篇)(专项练习)一、单选题【类型一】已知抛物线上对称两点求对称轴1已知抛物线yx2+bx+4经过(1,n)和(3,n)两点,则b的值为()A2B4C2D42若A(1,7)、B(5,7) 是抛物线yaxbxc上的两点,则该抛物线的对称轴是()A直线x1B直线x2C直线x3D直线x43已知二次函数y与自变量x的部分对应值如表:x3201348y70895040则二次函数的对称轴是()Ax=1Bx=1Cx=4Dx=44二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则该二次函数的顶点坐标为()A(1,3)B(0,1)C(0,3)D(2,1)5二次函数y=-x2+bx+
2、4经过(-2,n)( 4,n)两点,则n 的值是( )A-4B-2C2D46某同学在利用描点法画二次函数的图象时,先取自变量x的一些值计算出相应的函数值y,如下表所示:x01234y30103接着,他在描点时发现,表格中有一组数据计算错误,他计算错误的一组数据是()ABCD【类型二】根据二次函数对称性求函数值7抛物线y2(x1)2上有三点A(1,y1),B(,y2),C(2,y3),则y1,y2,y3从小到大是()Ay1y2y3By2y3y1Cy2y1y3Dy1y3y28二次函数的图象上有两点,则的值是()A负数B零C正数D不能确定9已知点A(,m),B ( l,m),C (2,1)在同一条抛
3、物线上,则下列各点中一定在这条抛物线上的是()ABCD10函数y=x2-x+m(m为常数)的图象如图,如果x=a时,y0;那么x=a-1时,函数值()Ay0B0ymCy=mDym11已知二次函数y=ax2+bx+c(ay2y3By2y1y3Cy3y1y2Dy2y3y112如图,抛物线yax2+bx+c与x轴的一个交点坐标为(2,0),对称轴为直线x2,其部分图象如图所示,则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标为()A(4,0)B(6,0)C(8,0)D(10,0)二、填空题【类型一】已知抛物线上对称两点求对称轴13二次函数yax2+bx+c(a、b、c是常数,a0)的自变量x与函数值y的部分对应值
4、如表:x32101yax2+bx+ctm22n则该二次函数图象的对称轴为直线 _14若抛物线与x轴的两个交点坐标是 和 ,则该抛物线的对称轴是_15已知二次函数yax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示,可知它的图象与x轴有两个交点,其中一个交点是(1,0)那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是_ 16若抛物线的对称轴为直线x1,则b的值为_17如图,对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于(1,0),(3,0)两点,则它的对称轴为_18已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是(-4,0),(2,0),则这条抛物线的对称轴是直线_【类型二】根据二次函数对称性求函数值19
5、已知二次函数中函数y与自变量x之间部分对应值如下表所示,点,在该函数的图象上x0123ymn5n(1)则表格中的_;(2)当时,和的大小关系为_20已知函数yx2+bx+c的部分图象如图所示,若y0,则x的取值范围是_21抛物线的图像与轴交于、两点,若的坐标为,则点的坐标为_22已知二次函数yax2+bx+c中,函数y与自变量x的部分对应值如表:x21012y177111则当x3时,y_23二次函数yax22ax和ybx22bx其自变量和函数值的两组对应值如表所示,根据二次函数图象的相关性质可知:t_,qn_x2t(t2)yax22axnnybx22bxn+6q24抛物线y=ax2+bx+c(
6、a0)的对称轴是直线x=1,其图象如图所示下列结论:abc0;b=2a;若(x1,y1)和(x2,y2)是抛物线上的两点,则当|x1+1|x2+1|时,y1y2;抛物线的顶点坐标为(1,m),则关于x的方程ax2+bx+c=m1无实数根其中,正确的序号是 _三、解答题25已知二次函数的图象经过三点(1,0),(1)求二次函数的解析式;(2)求抛物线的顶点坐标,对称轴以及抛物线与坐标轴的交点;(3)当x为何值时,函数有最大值或最小值?最大值或最小值是多少?26如图,抛物线yx2+bx2过点A(1,m)和B(5,m),与y轴交于点C(1)求b和m的值;(2)连接AB,AB与y轴交于点D请求出:点D
7、的坐标;ABC的面积27如图,已知二次函数yax24x+c的图象经过点A(1,1)和点B(3,9)(1)求该二次函数的表达式;(2)直接写出抛物线的对称轴及顶点坐标;(3)点P(m,m)与点Q均在该函数图象上(其中m0),且这两点关于抛物线的对称轴对称,求m的值及点Q到x轴的距离28已知抛物线y(x1)2+k与y轴相交于点A(0,3),点P为抛物线上的一点(1)求此抛物线的解析式;(2)若点P的横坐标为2,则点P到x轴的距离为 参考答案1A【分析】根据抛物线yx2+bx+4经过(1,n)和(3,n)两点,可得抛物线的对称轴为直线,即可求解解:抛物线yx2+bx+4经过(1,n)和(3,n)两点
8、,抛物线的对称轴为直线,即故选:A【点拨】本题主要考查了二次函数的图象和性质,熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键2B【分析】由A(1,7)、B(5,7) 是抛物线yaxbxc上的两点,而这两点关于抛物线的对称轴对称,从而可得答案.解: A(1,7)、B(5,7) 是抛物线yaxbxc上的两点, 抛物线的对称轴是直线 故选B【点拨】本题考查的是利用抛物线上对称的两点坐标求解对称轴方程,理解对称轴方程的含义是解本题的关键.3B【分析】根据抛物线的性质可知,(2,0)和(4,0)关于对称轴对称,由此可得到对称轴方程解:观察表格知道,(2,0)和(4,0)关于对称轴对称,故对称轴为:x故选:B【
9、点拨】此题考查了抛物线对称轴和与x轴交点坐标的关系,解题关键是明确若抛物线与x轴交点坐标为(x1,0),(x2,0),则抛物线的对称轴为x4D【分析】根据抛物线与轴的两个交点坐标确定对称轴后即可确定顶点坐标解:观察图象发现图象与轴交于点和,对称轴为,顶点坐标为,故选:D【点拨】本题考查了二次函数的性质及二次函数的图象的知识,解题的关键是根据交点坐标确定对称轴,难度不大5A【分析】根据(-2,n)和(4,n)可以确定函数的对称轴x=1,再由对称轴的x=1,即可求解解:抛物线y=-x2+bx+4经过(-2,n)和(4,n)两点,可知函数的对称轴x=1,x=1,b=2;y=-x2+2x+4,将点(-
10、2,n)代入函数解析式,可得n=-4;故选:A【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标;熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解题的关键6B【分析】利用表中数据和二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x2,利用交点式求出抛物线解析式,求出x2时的函数值,则顶点坐标为(2, 1),然后可判断B选项错误解:x1和x3时,y0;x0和x4时y=-3;抛物线的对称轴为直线x,设抛物线解析式为,代入坐标(0,-3)得,解得抛物线当时,顶点坐标为(2, 1),错误故选:B【点拨】本题考查了待定系数法求抛物线解析式,二次函数的图像和性质,掌握二次函数图像的轴对称性,是解题的关键7D【分析】根据二次函数的性质求出
11、抛物线的对称轴,根据二次函数的增减性解答解:抛物线y=-2(x-1)2的对称轴是直线x=1,x=-1时的函数值与x=3时的函数值相等,当x1时,y随x的增大而减小,y1y3y2,故选:D【点拨】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征,掌握二次函数的性质是解题的关键8B直接把各点坐标代入二次函数的解析式,求出y1,y2的值即可.解:二次函数y=(x2)2+a 的图象上有两点(-1,y1),(5, y2),y1 =-(-1-2)2 +a,y2 = (5-2)2+a,y1-y2=-(-1-2)2+a+ (5-2)2-a=-9+9=0,故选B.【点拨】本题考查了二次函数的图像和性质,包括图像上点的坐标
12、特点,比较函数值的大小,熟悉并灵活运用二次函数的图像和性质是解题的关键.9B【分析】根据抛物线的对称性进行分析作答解:由点A(,m),B ( l,m),可得:抛物线的对称轴为y轴,C (2,1),点C关于y轴的对称点为(2,1),故选:B【点拨】本题考查二次函数的图象和性质,找到抛物线的对称轴是本题的关键10D【分析】根据对称轴及函数值判断a的取值范围,从而得出a-10,因为当x时,y随x的增大而减小,所以当x=a-10时,函数值y一定大于m解:函数y=x2-x+m(m为常数)对称轴是x=,0由对称性得:1当x=a时,y0,a的范围是a,a10,当x时y随x的增大而减小,当x=0时函数值是m当
13、x=a10时,函数值y一定大于m故选:D【点拨】本题考查二次函数的性质,解题的关键是根据对称轴及二次函数的性质求解11B【分析】由当x=1时,函数y有最大值,根据抛物线的性质得a0,抛物线的对称轴为直线x=1,则当与当时的函数值相等,且当x1时,y随x的增大而减小,由此即可得到答案解:二次函数,当x=1时,函数y有最大值,抛物线的对称轴为直线x=1当与当时的函数值相等,且当x1时,y随x的增大而减小, 故选B【点拨】本题考查了二次函数图象的性质,熟知二次函数的性质是解题的关键12B【分析】由抛物线的对称性求解即可解:设此抛物线与x轴的另一个交点坐标为(x,0),抛物线与x轴的一个交点坐标为(-
14、2,0),对称轴是直线,解得x=,6,此抛物线与x轴的另一个交点坐标为(6,0),故选B【点拨】此题主要考查了二次函数的图象与性质,熟练掌握二次函数的对称性是解答此题的关键13#【分析】由图表可知,x1和0时的函数值相等,然后根据二次函数的对称性求解即可解:x1、x0时的函数值都是2相等,此函数图象的对称轴为直线故答案为: 【点拨】本题主要考查了求二次函数的对称轴,熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键14x = -1【分析】首先根据据题意可知抛物线与x的两个交点,再根据,求出答案即可解:抛物线的图象与x的交点是(-6,0)或(4,0),故答案为:x=-1【点拨】本题主要考查了考查了求抛物线的对
15、称轴,掌握抛物线对称轴的计算公式是解题的关键15(3,0)【分析】根据表格中的数据可以得到该函数的对称轴,然后根据二次函数具有对称性,可以得到该函数与x轴的另一个交点的坐标解:由表格可知,二次函数yax2+bx+c的对称轴是直线x1,二次函数yax2+bx+c与x轴的一个交点为(1,0),它与x的轴的另一个交点为(3,0),故答案为:(3,0)【点拨】本题考查二次函数对称性质,关键在于理解对称的性质.16试题分析:因为抛物线的对称轴为直线x1,所以,所以b=【点拨】抛物线的对称轴17直线x2【分析】根据抛物线与x轴交于(1,0),(3,0)两点,计算横坐标的和除以2即可得到对称轴解:点(1,0
16、),(3,0)的纵坐标相同,这两点一定关于对称轴对称,对称轴是:x=2,故答案为:直线x=2【点拨】此题考查了抛物线的性质,抛物线上两个点的纵坐标相等时,这两个点关于对称轴对称18x=-1试题分析:因为点(-4,0)和(2,0)的纵坐标都为0,所以可判定是一对对称点,把两点的横坐标代入公式x=求解即可解:抛物线与x轴的交点为(-4,0),(2,0),两交点关于抛物线的对称轴对称,则此抛物线的对称轴是直线x=,即x=-1【点拨】抛物线与x轴的交点19 1 【分析】(1)从表中可知,x=2是二次函数对应抛物线的对称轴,由此可求出b值,将x=2,y=5代入函数可求出c值,可知m;(2)结合二次函数图
17、像性质,可知抛物线开口向下,对称轴为x=2,可知时,解:由题意可知,x=2是二次函数对应抛物线的对称轴,即:b=4,将x=2,y=5代入,得:c=1,即函数解析式为:,将x=0,代入,得:y=1,即:m=1;函数解析式为:,对应抛物线开口向下,对称轴为:x=2,时,故答案为:1;【点拨】本题主要考查的是二次函数及其图像的基本性质,掌握对应图像的基本性质是解题的关键20#【分析】函数的对称轴为x2,抛物线和x轴的一个交点坐标为(2,0),根据函数的对称性,抛物线和x轴的另外一个交点的坐标为(6,0),即可求解解:函数的对称轴为x2,抛物线和x轴的一个交点坐标为(2,0),根据函数的对称性,抛物线
18、和x轴的另外一个交点的坐标为(6,0),如图,由图像可知当6x2 时,抛物线在x轴上方,此时y0,故答案为:6x2【点拨】本题考查的是抛物线与x轴的交点,主要考查函数图象上点的坐标特征,要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法,及这些点代表的意义及函数特征21【分析】用二次函数的图象与x轴的交点关于对称轴对称解答即可解:抛物线的解析式y=a(x-2)2+c,抛物线的对称轴为直线x=2,抛物线y=a(x-2)2+c与x轴交于A、B两点,点A和点B关于直线x=2对称,点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(3,0),故答案为(3,0)【点拨】本题主要考查了抛物线与x轴的交点,解题的关键
19、是求出抛物线的对称轴方程为直线x=2227【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质,可以得到该函数的对称轴,再根据二次函数具有对称性,即可得到和时的函数值相等,从而可以得到时的函数值解:由表格可得,二次函数的对称轴是直线,和时的函数值相等,时, 时,故答案为:7【点拨】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征,解答本题的关键是明确题意,利用二次函数的性质解答23 0 6【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质可知,两个函数对称轴都是直线x1,由此即可得到t+22,二次函数在和时函数值相等,可以求得n和qn的值解:两个二次函数的解析式分别为,两个函数对称轴都是直线x1,二次函数在和时函
20、数值相等,t+22,二次函数在和时函数值相等,n+6q,t0,qn6,故答案为:0,6【点拨】本题主要考查了二次函数的对称性,解题的关键在于能够熟练掌握二次函数上关于对称轴对称的两点的函数值相同24【分析】由图象开口方向,对称轴位置,与y轴交点位置判断a,b,c符号;由对称轴可判断;由抛物线开口向上,距离对称轴距离越远的点y值越大;由抛物线顶点纵坐标为m可得ax2+bx+cm,从而进行判断ax2+bx+c=m-1无实数根解:抛物线图象开口向上,a0,对称轴在直线y轴左侧,a,b同号,b0,抛物线与y轴交点在x轴下方,c0,abc0,故正确;,a0,b=2a,故正确;|x1+1|=|x1-(-1
21、)|,|x2+1|=|x2-(-1)|,|x1+1|x2+1|,点(x1,y1)到对称轴的距离大于点(x2,y2)到对称轴的距离,y1y2,故错误;抛物线的顶点坐标为(-1,m),ym,ax2+bx+cm,ax2+bx+c=m-1无实数根故正确综上所述,正确,故答案为:【点拨】本题考查了二次函数的图象的性质,解题关键是熟练掌握二次函数y=ax2+bx+c(a0)中a,b,c与函数图象的关系25(1);(2)顶点,对称轴,交点:;(3)时函数有最小值为【分析】(1)抛物线的点过(1,0),可以设抛物线的解析式为y=a(x-1)(x+3),把点代入解得a即可;(2)由配方法,得出抛物线解析式的顶点
22、式,可得顶点坐标,对称轴以及抛物线与坐标轴的交点;(3)由抛物线的开口向上,可得函数有最小值,顶点坐标的纵坐标是函数的最小值解:(1)设抛物线解析式为y=a(x-1)(x+3),将代入,解得,所以抛物线解析式为,故答案为:;(2)抛物线解析式为,配方可得,顶点 ,对称轴,由(1)知,交点:,故答案为:顶点,对称轴,交点:;(3)由(2)可知,函数解析式为,开口向上,函数有最小值,当 时函数有最小值为,故答案为:时函数有最小值为【点拨】本题考查了二次函数的解析式求法,二次函数的性质,熟练掌握二次函数的性质是解题的关键26(1)b=-4,m=3;(2)点D的坐标为(0,3);15【分析】(1)根据
23、点A(-1,m)和B(5,m)是抛物线y=x2+bx-2上的两点,可以得到b的值,即可得到函数解析式,把A(-1,m)代入解析式即可求得m的值;(2)由m的值即可求得点D的坐标;求得C的坐标,再根据三角形面积公式即可求得解:(1)点A(-1,m)和B(5,m)是抛物线y=x2+bx-2上的两点,解得,b=-4,抛物线解析式为y=x2-4x-2,把A(-1,m)代入得,m=1+4-2=3;(2)m=3,点D的坐标为(0,3);由y=x2-4x-2可知,抛物线与y轴交点C的坐标为(0,-2),OC=2,A(-1,4)和B(5,4),AB=6,SABC=6(2+3)=15【点拨】本题考查了二次函数图
24、象上点的坐标特征、三角形的面积,解答本题的关键是明确题意,利用二次函数的性质解答27(1)二次函数的表达式为yx24x6;(2)对称轴为x2;顶点坐标为(2,10);(3)点P与点Q关于对称轴x2对称,m6,所以点Q到x轴的距离为6【分析】(1)将点A、B的坐标代入二次函数解析式进行求解即可;(2)把二次函数解析式化为顶点式即可求解;(3)将点P的坐标代入(1)中函数解析式求得m的值,然后根据二次函数的对称性可进行求解解:(1)将A(1,1)和点B(3,9)代入yax24x+c,得,解得,所以二次函数的表达式为yx24x6;(2)由yx24x6(x2)210可知:对称轴为x2;顶点坐标为(2,
25、10);(3)将P(m,m)坐标代入yx24x6,得mm24m6解得,因为m0,所以m1不合题意,舍去所以m6,所以P点坐标为(6,6);因为点P与点Q关于对称轴x2对称,所以点Q到x轴的距离为6【点拨】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式,二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征熟练掌握待定系数法是解题的关键28(1)(2)3【分析】(1)把点A(0,3),代入抛物线解析式,即可求解;(2)根据抛物线的对称轴为直线,可得点P和点A(0,3)关于直线对称,从而得到点的纵坐标为-3,即可求解(1)解:抛物线y(x1)2+k与y轴相交于点A(0,3),解得:,此抛物线的解析式为;(2)解:抛物线的对称轴为直线,点P和点A(0,3)关于直线对称,点的纵坐标为-3,点P到x轴的距离为3【点拨】本题主要考查了求二次函数的解析式,利用抛物线的对称性求函数值,熟练掌握利用待定系数法求函数解析式的步骤是解题的关键