四川省绵阳市2019届高三第二次（1月）诊断性考试数学(文)试题.zip

汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！1绵阳市高中 2019 届高三第二次诊断性考试文科数学绵阳市高中 2019 届高三第二次诊断性考试文科数学一、选择题（60 分）一、选择题（60 分）1.在复平面内，复数对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.己知集合 A=0,1，2,3，4，B=x 1，则 AB()A.1，2，3，4 B.2，3，4 C.3，4 D.43.下图所示的茎叶图记录的是甲、乙两个班各 5 名同学在一次数学小测试中的选择题总成绩（每道题 5 分，共 8 道题）已知两组数据的中位数相同，则 m 的值为()A.0 B.2 C.3 D.54.“ab1”是“直线 axy+10 与直线 xby10 平行”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.直线 l：xy20 与圆 O：x2y24 交于 A，B 两点，O 是坐标原点，则AOB 等于（）A.B.C.D.6.设是互相垂直的单位向量，且（）（2），则实数 的值是（）A.2 B.2 C.1 D.17.执行如图的程序框图，其中输入的，则输出 a 的值为（）汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！2A.1 B.1 C.D.8.若函数的图象上任意一点的切线斜率均大于 0，则实数 b 的取值范围为（）A.（，4）B.（，4 C.（4，）D（0,4）9.已知斜率为 2 的直线 l 过抛物线 C：的焦点 F，且与抛物线交于 A，B 两点，若线段 AB 的中点M 的纵坐标为 1，则 p（）A.1 B.C.2 D.410.已知 F1，F2是焦距为 8 的双曲线 E：的左右焦点，点 F2关于双曲线 E 的一条渐近线的对称点为点 A，若AF14，则此双曲线的离心率为（）A.B.C.2 D.311.博览会安排了分别标有序号为“1 号”“2 号”“3 号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车记方案一与方案二坐到“3 号”车的概率分别为 P1，P2，则（）A.P1P2 B.P1P2 C.P1+P2 D.P1P212.已知椭圆 C：的右焦点为 F，点 A（一 2，2)为椭圆 C 内一点。若椭圆 C 上存在一点 P，使得PAPF8，则 m 的取值范围是（）A.B.9，25 C.D.3，5二、填空题（20 分）二、填空题（20 分）汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！313.数据 x1，x2，x3，x4，x5的方差是 2，则数据 x11，x21，x31，x41，x51 的方差是_14.某景区观光车上午从景区入口发车的时间为：7：30，8：00，8：30，某人上午 7：40 至 8：30 随机到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待时间不多于 10 分钟的概率是_15.若 f（x)，则满足不等式 f(3x 一 1)十 f(2)0 的 x 的取值范围是_16.已知点 P 是椭圆 C：上的一个动点，点 Q 是圆 E：上的一个动点，则PQ的最大值是_三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22.23 题为选考题，考生根据要求作答。三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22.23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。（一）必考题：共 60 分。17.设数列 的前 n 项和为 Sn，已知 3Sn=4 4，（1)求数列 的通项公式；(2）令，求数列的前 n 项和 Tn.18.进入冬天，大气流动性变差，容易形成雾握天气，从而影响空气质量某城市环保部门试图探究车流量与空气质量的相关性，以确定是否对车辆实施限行为此，环保部门采集到该城市过去一周内某时段车流量与空气质量指数的数据如下表：(1)根据表中周一到周五的数据，求 y 关于 x 的线性回归方程。(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2，则认为得到的线性回归方程是可靠的请根据周六和周日数据，判定所得的线性回归方程是否可靠？注：回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为.19.ABC 的内角 A.B.C 的对边分别为 a，b，c，己知b（casinC）。（1)求角 A 的大小；(2）若 bc，求ABC 的面积。汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！420.己知椭圆 C：的左右焦点分别为 F1，F2，直线 l：ykx+m 与椭圆 C 交于 A，B 两点O 为坐标原点（1）若直线 l 过点 F1，且AB，求 k 的值；(2)若以 AB 为直径的圆过原点 O，试探究点 O 到直线 AB 的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由。21.己知函数.（1)试讨论 f（x）的单调性；(2)若函数有且只有三个不同的零点，分别记为 x1，x2，x3，设 x1x2x3，且的最大值是e2，求 x1x3的最大值（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22,23 题中任选一题做答。如果多做则按所做的第一题记分。（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22,23 题中任选一题做答。如果多做则按所做的第一题记分。22.在平面直角坐标系 xoy 中，曲线 C 的参数方程是（为参数）以坐标原点 O 为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为：（1）求曲线 C 的极坐标方程；（2）设直线 与直线 l 交于点 M，与曲线 C 交于 P，Q 两点，已知OMOPOQ）10，求 t 的值。23.已知函数（1）m1 时，求不等式 f（x2）+f（2x）4 的解集；（2）若 t0，求证：汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！5汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！1绵阳市高中 2019 届高三第二次诊断性考试文科数学绵阳市高中 2019 届高三第二次诊断性考试文科数学一、选择题（60 分）一、选择题（60 分）1.在复平面内，复数对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】zi2.己知集合 A=0,1，2,3，4，B=x 1，则 AB()A.1，2，3，4 B.2，3，4 C.3，4 D.4【答案】B【解析】【分析】先求出集合 B，由此能求出 AB【详解】1，所以，x10，即 x1，集合 A 中，大于 1 的有：2，3，4，故 AB2，3，4.故选 B.【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、指数不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题3.下图所示的茎叶图记录的是甲、乙两个班各 5 名同学在一次数学小测试中的选择题总成绩（每道题 5 分，共 8 道题）已知两组数据的中位数相同，则 m 的值为()A.0 B.2 C.3 D.5【答案】D【解析】汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！2【分析】根据茎叶图中的数据，直接写出甲、乙两个班级的中位数，得出 30+m35，求出 m 的值【详解】甲班成绩：25、30、35、40、40，中位数为：35，乙班成绩：30、30、30+m、35、40，因为中位数相同，所以 30+m35，解得：m5故选 D.【点睛】本题考查了利用茎叶图求中位数的应用问题，是基础题4.“ab1”是“直线 axy+10 与直线 xby10 平行”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】ab1 时，两条直线平行成立，但由 axy+10 与直线 xby10 平行，可得 ab1，不一定是 ab1【详解】ab1 时，两条直线 axy+10 与直线 xby10 平行，反之由 axy+10 与直线 xby10 平行，可得：ab1，显然不一定是 ab1，所以，必要性不成立，“ab1”是“直线 axy+10 与直线 xby10 平行”的充分不必要条件故选：A【点睛】本题考查了直线平行的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5.直线 l：xy20 与圆 O：x2y24 交于 A，B 两点，O 是坐标原点，则AOB 等于（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先计算圆心到直线的距离 d，由此能求出弦长 AB,在三角形 AOB 中利用三边可得AOB汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！3【详解】圆心 O（0，0）到直线 xy20 的距离 d，可得 AB2,所以AOB90，故选 D.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查了点到直线的距离公式，属于基础题6.设是互相垂直的单位向量，且（）（2），则实数 的值是（）A.2 B.2 C.1 D.1【答案】B【解析】【分析】利用向量垂直的充要条件：向量垂直数量积等于 0，列出方程求出【详解】依题意，有：ab1，且 ab0，又（ab）（a2b），所以，（ab）（a2b）0，即a22b2（21）ab0，即 20，所以，2故选 B.【点睛】本题考查两向量垂直的充要条件：数量积等于 0；单位向量的定义，属于基础题.7.执行如图的程序框图，其中输入的，则输出 a 的值为（）A.1 B.1 C.D.【答案】A【解析】汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！4【分析】由条件结构的特点，先判断，再执行，计算出 a，即可得到结论【详解】由 a，b，ab，则 a 变为1，则输出的 a1故选 A.【点睛】本题考查算法和程序框图，主要考查条件结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题8.若函数的图象上任意一点的切线斜率均大于 0，则实数 b 的取值范围为（）A.（，4）B.（，4 C.（4，）D（0,4）【答案】A【解析】【分析】由条件得到 kf（x）对 x0 恒成立，所以 b0 恒成立，所以 b（）min，又当 x时，取得最小值 4，所以 b4故选 A.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查了函数的最小值的求法，属于基础题9.已知斜率为 2 的直线 l 过抛物线 C：的焦点 F，且与抛物线交于 A，B 两点，若线段 AB 的中点M 的纵坐标为 1，则 p（）A.1 B.C.2 D.4【答案】C【解析】【分析】设直线 l 的方程为 xy，与抛物线联立利用韦达定理可得 p汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！5【详解】由已知得 F（，0），设直线 l 的方程为 xy，并与 y22px 联立得 y2pyp20，设 A（x1，y1），B（x2，y2），AB 的中点 C（x0，y0），y1+y2p，又线段 AB 的中点 M 的纵坐标为 1，则 y0（y1+y2），所以 p=2,故选：C【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的相交弦问题，利用韦达定理是解题的关键，属中档题10.已知 F1，F2是焦距为 8 的双曲线 E：的左右焦点，点 F2关于双曲线 E 的一条渐近线的对称点为点 A，若AF14，则此双曲线的离心率为（）A.B.C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】由题意知 AF2=4，结合点到直线的距离与双曲线中 a、b、c 间得关系得到，解得结果.【详解】如下图，因为 A 为 F2关于渐近线的对称点，所以，B 为 AF2的中点，又 O 为 F1F2的中点，所以，OB为三角形 AF1F2的中位线，所以，OBAF1，由 AF2OB，可得 AF2AF1，AF2=4，点 F2（4,0），渐近线：x，所以，解得：b2，2，所以离心率为 e2,故选 C.【点睛】本题考查双曲线的几何性质，考查勾股定理的运用及点到直线汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！6的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题11.博览会安排了分别标有序号为“1 号”“2 号”“3 号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车记方案一与方案二坐到“3 号”车的概率分别为 P1，P2，则（）A.P1P2 B.P1P2 C.P1+P2 D.P1P2【答案】C【解析】【分析】将三辆车的出车可能顺序一一列出，找出符合条件的即可.【详解】三辆车的出车顺序可能为：123、132、213、231、312、321方案一坐车可能：132、213、231，所以，P1；方案二坐车可能：312、321，所以，P1；所以 P1+P2故选 C.【点睛】本题考查了古典概型的概率的求法，常用列举法得到各种情况下基本事件的个数，属于基础题.12.已知椭圆 C：的右焦点为 F，点 A（一 2，2)为椭圆 C 内一点。若椭圆 C 上存在一点 P，使得PAPF8，则 m 的取值范围是（）A.B.9，25 C.D.3，5【答案】A【解析】【分析】设椭圆的左焦点为 F（2，0），由椭圆的定义可得 2|PF|+|PF|，即|PF|2|PF|，可得|PA|PF|82，运用三点共线取得最值，解不等式可得 m 的范围，再由点在椭圆内部，可得所求范围【详解】椭圆 C：的右焦点 F（2，0），左焦点为 F（2，0），由椭圆的定义可得 2|PF|+|PF|，汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！7即|PF|2|PF|，可得|PA|PF|82，由|PA|PF|AF|2，可得2822，解得，所以,又 A 在椭圆内，所以,所以 8m-16-2，由此求得 x 的取值范围【详解】根据 f（x）exex在 R 上单调递增，且 f（-x）exex=-f（x），得 f（x）为奇函数，f(3x一 1)-f(2)=f(-2)，3x 一 1-2，解得，故答案为.【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，属于中档题16.已知点 P 是椭圆 C：上的一个动点，点 Q 是圆 E：上的一个动点，则PQ的最大值是_【答案】【解析】【分析】由圆 E：x2+（y4）23 可得圆心为 E（0，4），又点 Q 在圆 E 上，可得|PQ|EP|+设 P（x1，y1）是汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！9椭圆 C 上的任意一点，可得9于是|EP|2由于，利用二次函数的单调性即可得出【详解】由圆 E：x2+（y4）23 可得圆心为 E（0，4），又点 Q 在圆 E 上，|PQ|EP|+|EQ|EP|+（当且仅当直线 PQ 过点 E 时取等号）设 P（x1，y1）是椭圆 C 上的任意一点，则，即9|EP|29，当 y1时，|EP|2取得最大值 27，即|PQ|=|PQ|的最大值为故答案为.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质的应用、二次函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于难题三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22.23 题为选考题，考生根据要求作答。三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22.23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。（一）必考题：共 60 分。17.设数列 的前 n 项和为 Sn，已知 3Sn=4 4，（1)求数列 的通项公式；(2）令，求数列的前 n 项和 Tn.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）由求得，由时，可得的递推式，得其为等比数列，从而易得通项公式；（2）根据（1）的结论，数列的前 项和可用裂项相消法求得详解：（1）当时，当时，由-得：汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！10是以为首项，公比为 的等比数列（2）点睛：设数列是等差数列，是等比数列，则数列，的前 项和求法分别为分组求和法，错位相减法，裂项相消法18.进入冬天，大气流动性变差，容易形成雾握天气，从而影响空气质量某城市环保部门试图探究车流量与空气质量的相关性，以确定是否对车辆实施限行为此，环保部门采集到该城市过去一周内某时段车流量与空气质量指数的数据如下表：(1)根据表中周一到周五的数据，求 y 关于 x 的线性回归方程。(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2，则认为得到的线性回归方程是可靠的请根据周六和周日数据，判定所得的线性回归方程是否可靠？注：回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为.【答案】（1）；（2）可靠.【解析】【分析】（1）根据所给的数据，求出 x，y 的平均数，根据求线性回归方程系数的方法，求出系数，把 和 x，y 的平均数，代入求 的公式，求出 的值，即可得线性回归方程（2）根据所求的线性回归方程，预报当自变量为 8 和 8.5 时的 y 的值，把预报的值同原来表中所给的 8 和8.5 对应的值做差，差的绝对值不超过 2，得到线性回归方程可靠汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！11【详解】（1），=5，y 关于 x 的线性回归方程为.（2）当 x=8 时，满足|74-73|=12，当 x=8.5 时，满足|75-75|=02，所得的线性回归方程是可靠的【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查了线性回归分析的应用，考查解决实际问题的能力，是一个综合题目，属于基础题19.ABC 的内角 A.B.C 的对边分别为 a，b，c，己知b（casinC）。（1)求角 A 的大小；(2）若 bc，求ABC 的面积。【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由条件可得ccosA=c-asinC由正弦定理得 sinA+cosA=化简得 sin(A+)=，解得 A 即可.（2）由余弦定理得 3=b2+c2-bc，即 3=(b+c)2-3bc，又 b+c=，解得 bc=.可求ABC 面积.【详解】（1），cbcosA=b(c-asinC)，即ccosA=c-asinC由正弦定理得sinCcosA=sinC-sinAsinC，sinC0，cosA=-sinA，即 sinA+cosA=所以 sinA+cosA=，即 sin(A+)=汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！12 0A0 时，函数在(0，)上单调递增，函数在(，+)上单调递减；（2）.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，对 m 分类讨论，解得导函数大于 0 及小于 0 的范围，即可得到单调性（2）由条件可将问题转化函数 y=m 的图象与函数的图象有两个交点.分析可得 0 x1e令，则 t由，解得 构造，t，利用导函数转化求解即可汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！14【详解】（1）函数的定义域为(0，+).由已知可得当 m0 时，0，故在区间(0，+)上单调递增；当 m0 时，由0，解得；由 0，解得所以函数在(0，)上单调递增，在(，+)上单调递减.综上所述，当 m0 时，函数在区间(0，+)上单调递增；当 m0 时，函数在(0，)上单调递增，函数在(，+)上单调递减.（2）函数 g(x)=(x-e)(lnx-mx)有且只有三个不同的零点，显然 x=e 是其零点，函数存在两个零点，即有两个不等的实数根可转化为方程在区间(0，+)上有两个不等的实数根，即函数 y=m 的图象与函数的图象有两个交点.，由0，解得，故在上单调递增；由e，故在(e，+)上单调递减；故函数 y=m 的图象与的图象的交点分别在(0，e)，(e，+)上，即 lnx-mx=0 的两个根分别在区间(0，e)，(e，+)上，g(x)的三个不同的零点分别是 x1，e，x3，且 0 x1e 令，则 t由，解得 故，t汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！15令，则令，则所以在区间上单调递增，即 所以，即在区间上单调递增，即=，所以，即 x1x3，所以 x1x3的最大值为【点睛】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的最值以及函数的极值的求法，构造法的应用，考查转化思想以及计算能力（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22,23 题中任选一题做答。如果多做则按所做的第一题记分。（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22,23 题中任选一题做答。如果多做则按所做的第一题记分。22.在平面直角坐标系 xoy 中，曲线 C 的参数方程是（为参数）以坐标原点 O 为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为：（1）求曲线 C 的极坐标方程；（2）设直线 与直线 l 交于点 M，与曲线 C 交于 P，Q 两点，已知OMOPOQ）10，求 t 的值。【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）由曲线 C 的参数方程，可得曲线 C 的普通方程，再将其化为极坐标方程 （2）将代入中，求得|OM|，将代入中，得，得到|OP|OQ|=5再根据|OM|OP|OQ|=10，解得 t 值即可.【详解】（1）由曲线 C 的参数方程，可得曲线 C 的普通方程为，汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！16即 ，故曲线 C 的极坐标方程为 （2）将代入中，得，则|OM|=将代入中，得设点 P 的极径为，点 Q 的极径为，则 所以|OP|OQ|=5又|OM|OP|OQ|=10，则5=10 t=或【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，考查了利用极坐标解决长度问题，考查了学生的运算能力和转化能力，属于基础题型23.已知函数（1）m1 时，求不等式 f（x2）+f（2x）4 的解集；（2）若 t0，求证：【答案】（1）x|x2；（2）见解析.【解析】【分析】（1）将不等式|x-3|+|2x-1|4 去绝对值，按当 x3、及 x 分三类分别解不等式.（2）由绝对值三角不等式直接证明.【详解】（1）由 m=1，则|x-1|，即求不等式|x-3|+|2x-1|4 的解集当 x3 时，|x-3|+|2x-1|=3x-44 恒成立；当 时，x+24，解得 x2，综合得；当 x 时，4-3x4，解得 x0，综合得 x0；所以不等式的解集为x|x2（2）t0，=所以【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法及绝对值三角不等式的应用，考查了不等式的证明，难度中档汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！17