1、2020届天津市部分区高三上学期期末数学试题一、单选题1设全集1，2，3，4，5，6，7，8，集合2，3，4，6，1，4，7，8，则（ ）A4B2，3，6C2，3，7D2，3，4，7【答案】B【解析】先求出再与取交集，即可得到答案.【详解】因为，2，3，4，6，所以.故选：B.【点睛】本题考查集合的交、补运算，考查基本运算求解能力，属于基础题.2抛物线的准线方程为（ ）ABCD【答案】A【解析】利用的准线方程为，能求出抛物线的准线方程.【详解】，抛物线的准线方程为，即，故选A .【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程与简单性质，意在考查对基础知识的掌握与应用，是基础题.3设，则“”是“”的（ ）
2、A充分不必要条件B充要条件C必要不充分条件D既不充分又不必要条件【答案】A【解析】分别解两个不等式得到集合，再利用集合间的关系，即可得到答案.【详解】解不等式得；，解不等式得：，因为是的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查简易逻辑中的充分条件与必要条件，求解时要转化成集合间的关系进行判断，能使求解过程更清晰、明了.4直线与圆相交于、，则弦的长度为（ ）ABC2D4【答案】B【解析】先求圆心到直线的距离，再利用弦长公式，即可求得答案.【详解】圆心到直线的距离，所以.故选：B.【点睛】本题考查直线与圆相交弦的求解，考查基本运算求解能力，属于基础题.5已知数列中，记的前
3、项和为，则（ ）ABCD【答案】D【解析】根据递推关系求得等比数列的通项公式，再求出前项和为，化简可得.【详解】，数列是以为首项，为公比的等比数列，.故选：D.【点睛】本题考查等比数列的通项公式与前项和公式，考查基本量运算，求解时要注意通过化简找到与的关系.6已知偶函数在区间，上单调递增，若，则，的大小关系为（ ）ABCD【答案】A【解析】根据题意得在区间上单调递减，利用对数函数的图象与性质可得，从而利用函数的单调性可得答案.【详解】因为偶函数在区间，上单调递增，所以在区间上单调递减.因为，即，因为，所以，所以.故选：A.【点睛】本题考查对数函数的图象与性质、函数的奇偶性与单调性，考查数形结合
4、思想的应用和逻辑推理能力.7将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）AB的最小正周期是C在区间，上单调递增D在区间，上单调递减【答案】C【解析】根据函数的平移变换求出的解析式，再一一对照选项验证是否成立.【详解】函数的图象向右平移个单位长度得：.对A，故A错误；对B，最小正周期为，故B错误；对C，当，因为是的子区间，故C正确；对D，当，不是的子区间，故D错误；故选：C.【点睛】本题考查三角函数的平移变换及三角函数的图象与性质，考查数形结合思想和运算求解能力.8已知双曲线：，的右焦点为，点在的一条渐近线上，若是原点），且的面积为，则的方程是（ ）ABCD【答案】A
5、【解析】根据三角形的面积及，求出点的坐标，再利用点的坐标求渐近线的斜率，从而得到的值，再观察选项，即可得到答案.【详解】因为，所以点的横坐标等于，因为的面积为，设点在第一象限，所以，所以，只有选项A符合.故选：A.【点睛】本题考查三角形面积公式、双曲线的渐近线、双曲线的标准方程求法，考查基本运算求解能力，求解时只要得到的值，即可通过代入法选出答案，可减少运算量.9已知函数，若关于的方程恰有三个互不相同的实数解，则实数的取值范围是（ ）A，B，CD，【答案】D【解析】画出函数的图象，将问题转化为两个函数图象交点问题，求出直线与抛物线相切时的临界值，再结合图象得到的取值范围.【详解】函数的图象如图
6、所示：将直线代入得：，当直线与抛物线相切时，或，由于方程恰有三个互不相同的实数解，所以两个函数的图象恰有三个不同的交点，所以.故选：D.【点睛】本题以分段函数为载体，考查方程的根与两个函数图象交点的转化关系，考查数形结合思想的应用，求解时要注意借助函数的图象进行分析求解.二、填空题10是虚数单位，若复数满足，则_.【答案】【解析】利用复数的除法运算，求得.【详解】.故答案为：.【点睛】本题考查复数的四则运算，考查基本运算求解能力，属于基础题.11的展开式中含项的系数是_（用数字作答）.【答案】【解析】根据二项展开式得，进而得到时会出现项，再计算其系数.【详解】，当时，即，所以.故答案为：.【点
7、睛】本题考查二项式定理展开式的通项，考查基本运算求解能力，属于基础题.12已知，且，则的最小值是_.【答案】【解析】利用1的代换，将求式子的最小值等价于求的最小值，再利用基本不等式，即可求得最小值.【详解】因为，等号成立当且仅当.故答案为：.【点睛】本题考查1的代换和基本不等式求最值，考查转化与化归思想的运用，求解时注意一正、二定、三等的运用，特别是验证等号成立这一条件.13已知半径为2的球的球面上有、不同的四点，是边长为3的等边三角形，且平面为球心，与在平面的同一侧），则三棱锥的体积为_.【答案】【解析】作出三棱锥内接于球的图形，再求出三棱锥的高，最后代入体积公式即可得到答案.【详解】如图所
8、示，点为的中心，则，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查三棱锥与球的内接问题、体积的求法，考查空间想象能力和运算求解能力，准确画出图形求出三棱锥的高是解题的关键.14设是等差数列，若，则_；若，则数列的前项和_.【答案】 【解析】利用等差数列通项公式求得，进而求得；求出再利用分组求和法及裂项相消法求.【详解】由题意得：.因为，所以，所以.故答案为：；.【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解、分组求和法及及裂项相消法求和，考查方程思想的运用，考查基本运算求解能力，裂项相消求和的关键是对通项进行改写.15设点、为圆上四个互不相同的点，若，且，则_.【答案】【解析】根据得到过圆的圆心，再利用向量
9、的加法法则得，由向量数量积的几何意义得到等式，最后求得的值.【详解】因为，所以，所以过圆的圆心，所以，因为在向量方向上的投影为：，代入上式得：.故答案为：.【点睛】本题考查向量与圆知识的交会、向量的垂直、加法法则、数量积的几何意义等知识，考查方程思想的运用，求解时注意向量几何意义的灵活运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力.三、解答题16在中，内角、所对的边分别为、.已知.求证：、成等差数列；若，求和的值.【答案】（1）证明见解析（2），【解析】（1）根据两角和的正弦公式、诱导公式得到，再利用正弦定理证得，从而证明结论成立；（2）利用余弦定理，再由（1），联立求得的值；由正弦定理求得，再利用倍角
10、公式求得的值.【详解】（1）因为，所以.由于在中，所以，所以.由正弦定理，得.所以成等差数列.（2）在中，由余弦定理，得,即.由（1）知，所以，解得.由正弦定理，得.在中，因为于，所以，所以.所以.【点睛】本题考查三角恒等变换、正弦定理、余弦定理解三角形，考查方程思想的运用和运算求解能力，求的值时，注意角这一条件的应用.17每年的12月4日为我国“法制宣传日”.天津市某高中团委在2019年12月4日开展了以“学法、遵法、守法”为主题的学习活动.已知该学校高一、高二、高三的学生人数分别是480人、360人、360人.为检查该学校组织学生学习的效果，现采用分层抽样的方法从该校全体学生中选取10名学
11、生进行问卷测试.具体要求：每位被选中的学生要从10个有关法律、法规的问题中随机抽出4个问题进行作答，所抽取的4个问题全部答对的学生将在全校给予表彰.求各个年级应选取的学生人数；若从被选取的10名学生中任选3人，求这3名学生分别来自三个年级的概率；若被选取的10人中的某学生能答对10道题中的7道题，另外3道题回答不对，记表示该名学生答对问题的个数，求随机变量的分布列及数学期望.【答案】（1）高一年级应选取人，高二年级应选取人，高三年级应选取人.（2）（3）详见解析【解析】（1）利用分层抽样求得各年级应抽取的人数；（2）利用计算原理求得基本事件的总数为，再求出所求事件的基本事件数，再代入古典概型概
12、率计算公式；（3）随机变量的所有可能取值为，利用超几何分计算（），最后求得期望值.【详解】（1）由题意，知高一、高二、高三年级的人数之比为，由于采用分层抽样方法从中选取人，因此，高一年级应选取人，高二年级应选取人，高三年级应选取人.（2）由（1）知，被选取的名学生高一、高二、高三年级分别有人、人、人，所以，从这名学生任选名，且名学生分别来自三个年级的概率为.（3）由题意知，随机变量的所有可能取值为，且服从超几何分布，（）.所以，随机变量的分布列为1234所以，随机变量的数学期望为.【点睛】本题考查统计中的分层抽样、古典概型、超几何分布，考查统计与概率思想的应用，考查数据处理能力，求解的关键是确
13、定随机变量的概率模型.18如图，在三棱柱中，、分别为、的中点，.求证：平面；求二面角的正弦值；已知为棱上的点，若，求线段的长度.【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】（1）证明，再根据，从而得到线面垂直的证明；（2）以点为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，利用向量法求得二面角的余弦值，再利用同角三角函数的基本关系求得正弦值；（3）结合（2）中，求得点，再求的值，从而求得线段的长度.【详解】（1）在三角形中，且为的中点，所以.在中，,.连接，在中，所以.又，所以，所以.又因为，由，得平面.（2）以点为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以.设为平面的法
14、向量，则有即令，得所以.易得，且为平面的法向量，所以，所以.故所求二面角的正弦值为（3）由（2）知.设点，则.又，所以，从而即点.所以.所以.【点睛】本题考查线面垂直的判定定理、向量法求空间角及空间中线段的长度，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意空间直角坐标系建立的适当性.19设椭圆的左、右焦点分别为，、，点在椭圆上，为原点.若，求椭圆的离心率；若椭圆的右顶点为，短轴长为2，且满足为椭圆的离心率）.求椭圆的方程；设直线：与椭圆相交于、两点，若的面积为1，求实数的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）由题意得，利用勾股定理得，再利用椭圆的定义得到的关系，从而求得离心率；（2）由，得，求出
15、后，即可得到椭圆的方程；设点，将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式求得关于的解析式，再由点到直线的距离公式，得到面积，从而求得的值.【详解】（1）连接.因为，所以是等边三角形，所以.又，所以,所以.于是，有，所以，即所求椭圆的离心率为.（2）由，得，整理，得.又因为，所以，.故所求椭圆的方程为.依题意，设点.联立方程组消去，并整理得.则，（）且，所以.又点到直线的距离为，所以.因为，所以，解得.经验证满足（）式，故所求实数.【点睛】本题考查椭圆的离心率、椭圆方程的求解、直线与椭圆的位置关系、弦长公式等的综合运用，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.20已
16、知函数为自然对数的底数）.当时，求曲线在点，处的切线方程；讨论的单调性；当时，证明.【答案】（1）（2）见解析（3）证明见解析【解析】（1）当时，利用导数的几何意义求得切线方程；（2）对函数进行求导得，对分和两种情况进行分类讨论，研究导数值的正负，从而得到函数的单调区间；（3）证明不等式成立等价于证明成立，再构造函数进行证明.【详解】（1）当时，.所以，所以，又.所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）易得（）.当时，此时在上单调递增；当时，令，得.则当时，此时在上单调递增；当时，此时在上单调递减.综上所述，当时，函数在区间上单调递增；当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.（3）由（2）知，当时，在处取得最大值，即，则等价于，即，即.（）令，则.不妨设（），所以（）.从而，当时，；当时，所以函数在区间上单调递增；在区间上单调递减.故当时.所以当时，总有.即当时，不等式（）总成立，故当时，成立.【点睛】本题考查利用导数的几何意义求切线方程、讨论函数的单调性、证明不等式，考查函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，证明不等式的关键是先将问题进行等价转化，再构造函数利用导数研究新函数的性质.第 18 页 共 18 页
