1、2020届重庆市九校联盟高三上学期12月月考数学（理）试题一、单选题1的实部为（ ）A-2B-1C1D2【答案】B【解析】直接化简得到，计算实部得到答案.【详解】，故实部为故选：【点睛】本题考查了复数的化简，属于简单题.2设集合，则（ ）ABCD【答案】D【解析】分别计算，再计算得到答案.【详解】，所以.故选：【点睛】本题考查了并集的运算，属于简单题.3函数的定义域为（ ）ABCD【答案】A【解析】根据函数的定义域定义得到不等式解得答案.【详解】函数的定义域满足，解得故选：【点睛】本题考查了函数的定义域，意在考查学生的计算能力.4某地有两个国家AAAA级旅游景区甲景区和乙景区.相关部门统计了这
2、两个景区2019年1月至6月的月客流量（单位：百人），得到如图所示的茎叶图.关于2019年1月至6月这两个景区的月客流量，以下结论错误的是（ ）A甲景区月客流量的中位数为12950人B乙景区月客流量的中位数为12450人C甲景区月客流量的极差为3200人D乙景区月客流量的极差为3100人【答案】D【解析】分别计算甲乙景区流量的中位数和极差得到答案.【详解】根据茎叶图的数据：甲景区月客流量的中位数为12950人，乙景区月客流量的中位数为12450人.甲景区月客流量的极差为3200人，乙景区月客流量的极差为3000人.故选：【点睛】本题考查了茎叶图中位数和极差的计算，意在考查学生的应用能力.5若，
3、则（ ）AB6CD【答案】C【解析】根据得到，再利用和差公式展开得到答案.【详解】.故选：【点睛】本题考查了正切的和差公式，意在考查学生的计算能力.6执行下边的程序框图，若输入的的值为5，则输出的的值为（ ）A2B3C4D5【答案】C【解析】根据程序框图依次计算得到答案.【详解】执行程序框图：依次为，输出的的值为4.故选：【点睛】本题考查了程序框图的计算，意在考查学生对于程序框图的理解能力.7函数的零点所在的区间为（ ）ABCD【答案】B【解析】分别计算，根据零点存在定理得到答案.【详解】因为，且为增函数故的零点所在的区间为.故选：【点睛】本题考查了函数零点的范围，灵活使用零点存在定理是解题的
4、关键.8最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，我国的（九章算术也有记载，所以，商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理.现有满足“勾3股4弦5”.其中.D为弦BC上一点（不含端点），且满足勾股定理.则（ ）ABCD【答案】D【解析】先由等面积得，利用向量几何意义求解即可【详解】由等面积法可得，依题意可得，则在上的投影为，所以.故选：D【点睛】本题考查向量的数量积，重点考查向量数量积的几何意义，是基础题9已知等比数列的前n项和为，且，则（ ）A16B19C20D25【答案】B【解析】利用，成等比数列求解【详解】因为等比数列的前n项
5、和为，所以，成等比数列，因为，所以，故.故选：B【点睛】本题考查等比数列前n项性质，熟记性质是关键，是基础题10已知函数，则的图象的对称中心为（ ）ABCD【答案】D【解析】化简得到，取，计算得到答案.【详解】令，得则的图象的对称中心为.故选：【点睛】本题考查了三角恒等变换，三角函数对称中心，化简得到是解题的关键.11已知函数在R上为增函数，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】A【解析】函数在R上为增函数,等价于对恒成立，然后分离变量，得，求出的最小值，就能确定m的取值范围.【详解】因为函数在R上为增函数，所以对恒成立，即对恒成立，又因为，所以故选：A【点睛】本题主要考查利用函数的单调性求参数
6、的取值范围，分离变量是解决本题的关键.12函数在上单调递增，且为奇函数.当时，且，则满足的的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】计算，判断函数在上单调递增，将不等式变换为，计算得到答案.【详解】，所以，则.，所以.在上单调递增，且为奇函数，所以在上单调递增.所以.故选：【点睛】本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式，意在考查学生对于函数性质的综合应用.二、填空题13的展开式中的系数为_.【答案】.【解析】直接利用二项式定理计算得到答案.【详解】的展开式中：，取得的系数为.故答案为：【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.14某人午觉醒来，发现手机没电自动关机了，他打开收
7、音机，想听电台准点报时，则他等待的时间不少于20分钟的概率为_.【答案】.【解析】直接利用几何概型的求概率公式得到答案.【详解】根据几何概型的求概率公式得他等待的时间不少于20分钟的概率为.故答案为：【点睛】本题考查了几何概型，意在考查学生对于几何概型的掌握情况.15现有下列四个结论，其中所有正确结论的编号是_.若，则的最大值为；若，是等差数列的前项，则；“”的一个必要不充分条件是“”；“，”的否定为“，”.【答案】【解析】根据基本不等式判断；利用等差中项先计算出公差，即可求解出的值；根据“小推大”的原则去推导属于相应的何种条件；含一个量词的命题的否定方法：改量词，否结论，由此进行判断.【详解
8、】若，则，当且仅当时，等号成立，所以正确；若，是等差数列的前项，则，所以，所以不正确；因为，所以“”能推出“”，但是“”不能推出“”，所示“”的一个充分不必要条件是“”，所以不正确；因为特称命题的否定是全称命题，否定含一个量词的命题时，注意修改量词，否定结论.所以正确.故所有正确结论的编号是.故答案为：.【点睛】本题考查命题真假的综合判断，难度一般.(1)运用基本不等式求解最值时，注意说明取等号的条件；(2)注意区分“是的必要不充分条件”、“的必要不充分条件是”这两者的区别.16在中，则当的面积取得最大值时，边上的高为_.【答案】.【解析】如图所示：以线段所在的直线为轴，以线段的垂直平分线为轴
9、建立直角坐标系，设，整理得，得到面积的最大值.【详解】以线段所在的直线为轴，以线段的垂直平分线为轴建立直角坐标系，如图所示：则，因为，所以设，则，整理得则当面积取得最大值时，的坐标为，则边上的高为.故答案为： 【点睛】本题考查了三角形面积的最值问题，建立坐标系是解题的关键，可以简化运算.三、解答题17设，分别为内角，的对边，已知，.（1）若，求；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）计算，利用正弦定理得到，再根据边的大小关系得到答案.（2）直接利用余弦定理得到，再利用面积公式计算得到答案.【详解】（1）因为，所以.，所以解得或，又，所以.（2）由余弦定理，可得，即解得（负根
10、舍去），故的面积为.【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生对于三角公式的灵活运用.18某省新课改后某校为预测2020届高三毕业班的本科上线情况，从该校上一届高三（1）班到高三（5）班随机抽取50人，得到各班抽取的人数和其中本科上线人数，并将抽取数据制成下面的条形统计图.（1）根据条形统计图，估计本届高三学生本科上线率.（2）已知该省甲市2020届高考考生人数为4万，假设以（1）中的本科上线率作为甲市每个考生本科上线的概率.（i）若从甲市随机抽取10名高三学生，求恰有8名学生达到本科线的概率（结果精确到0.01）；（ii）已知该省乙市2020届高考考生人数为3.6万，假设该
11、市每个考生本科上线率均为，若2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市，求p的取值范围.可能用到的参考数据：取，.【答案】(1)60%；(2) （i）0.12 （ii） 【解析】（1）利用上线人数除以总人数求解；（2）（i）利用二项分布求解；（ii）甲、乙两市上线人数分别记为X，Y，得，.，利用期望公式列不等式求解【详解】（1）估计本科上线率为.（2）（i）记“恰有8名学生达到本科线”为事件A，由图可知，甲市每个考生本科上线的概率为0.6，则. （ii）甲、乙两市2020届高考本科上线人数分别记为X，Y，依题意，可得，. 因为2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市，所以，即， 解得
12、，又，故p的取值范围为.【点睛】本题考查二项分布的综合应用，考查计算求解能力，注意二项分布与超几何分布是易混淆的知识点.19直线：与坐标轴的交点为，以线段为直径的圆经过点.（1）求圆的标准方程；（2）若直线：与圆交于，两点，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先计算交点为，根据得到，再计算圆心和半径得到答案（2）计算圆心到直线的距离，再利用勾股定理计算得到答案.【详解】（1）直线：与坐标轴的交点为，.因为以线段为直径的圆经过点，所以，所以，解得.所以圆的圆心为线段的中点，其坐标为，半径，圆的标准方程为.（2）因为圆心到直线：的距离为，所以.【点睛】本题考查了圆的标准方程，弦长，意在考查学
13、生的计算能力.20在数列，中，.等差数列的前两项依次为，.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】（1）根据递推公式计算，利用等差数列公式计算得到答案.（2）将题目中两式相加得到，故是首项为2，公比为2的等比数列，计算得到通项公式，再利用错位相减法计算得到答案.【详解】（1），则的公差为故的通项公式为.（2），得.又，从而是首项为2，公比为2的等比数列，故.，即，即.【点睛】本题考查了通项公式，错位相减法，变换得到是解题的关键.21已知函数，曲线在点处的切线方程为.（1）求，的值和的单调区间；（2）若对任意的，恒成立，求整数的最大值.【答案】（1），的单调递增区间
14、为，单调递减区间为；（2）3.【解析】（1）求导得到，根据切线方程计算得到，代入导函数得到函数的单调区间.（2）讨论，两种情况，变换得到，设，求函数的最小值得到答案.【详解】（1），由切线方程，知，解得，.故，由，得；由，得.所以的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）当时，恒成立，则.当时，恒成立等价于对恒成立.令，.令，则对恒成立，所以在上单调递增.又，所以，.当时，；当时，.所以，又，则，故，整数的最大值为3.【点睛】本题考查了函数的单调性，恒成立问题，将恒成立问题转化为函数的最值问题是解题的关键.22在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（，为参数），以坐标原点为
15、极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线的极坐标方程为.（1）求，的值；（2）已知点的直角坐标为，与曲线交于，两点，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据极坐标方程得到，根据参数方程得到答案.（2）将参数方程代入圆方程得到，根据韦达定理得到，计算得到答案.【详解】（1）由，得，则，即.因为，所以.（2）将代入，得.设，两点对应的参数分别为，则，.所以.【点睛】本题考查了极坐标方程和参数方程，利用直线的参数方程可以简化计算，是解题的关键.23已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）分别计算，三种情况，综合得到答案.（2）化简得到，利用绝对值三角不等式得到，解不等式计算得到答案.【详解】（1）当时，解得；当时，解得，则；当时，解得，则.综上所述：不等式的解集为.（2），当时等号成立.若对任意，不等式恒成立，即，解得或.【点睛】本题考查了解绝对值不等式，利用绝对值三角不等式解决恒成立问题，意在考查学生的综合应用能力.第 16 页 共 16 页
