1、2020届上海市浦东新区高三上学期期末数学试题一、单选题1若命题甲：，命题乙：，则命题甲是命题乙的（ ）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D非充分也非必要条件【答案】A【解析】分别分析甲能否推出乙，乙能否推出甲，即可得命题甲与命题乙的关系.【详解】解：当，即时，故命题甲可推出命题乙；当，可得或，故命题乙不可以推出命题甲,故命题甲是命题乙的充分非必要条件，故选：A.【点睛】本题考查充分性和必要性的判断，是基础题.2已知函数为函数的反函数，且函数的图像经过点，则函数的图像一定经过点（ ）ABCD【答案】B【解析】先求出函数的图像必经过点，然后即可求出函数的图像一定经过点.【详解】解：函数的
2、图像经过点，则函数的图像经过点，则函数的图像一定经过点，故选：B.【点睛】本题主要考查互为反函数的两个函数图像之间的关系，属于基础题3以抛物线的焦点为右焦点，且长轴为4的椭圆的标准方程为（ ）ABCD【答案】C【解析】求出抛物线的焦点即为椭圆的焦点，即可得椭圆中的关系，再根据长轴长可得椭圆，进而可求出，即可得椭圆的标准方程.【详解】解：有已知抛物线的焦点为，设椭圆方程为，则，又由已知，所以，故椭圆方程为，故选：C.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，是基础题.4动点在圆上绕坐标原点作逆时针匀速圆周运动，旋转一周的时间恰好是12秒，已知时间时，点的坐标是，则动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数在下
3、列哪个区间上单调递增（ ）ABCD【答案】D【解析】先根据题意：已知时间时，点的坐标是，得，再依据每12秒运动一周得出点每秒旋转的角度，从而秒旋转，利用三角函数的定义即可得出关于的函数解析式，进而可得出函数的单调增区间.【详解】解：根据题意，得，点每秒旋转，所以秒旋转，则令，解得：，经检验：当时，故D符合，故选：D【点睛】本小题主要考查在几何问题中建立三角函数模型、三角函数的应用等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题二、填空题5若集合，集合，则_【答案】【解析】直接利用交集的概念运算即可.【详解】解：由已知，故答案为：【点睛】本题考查交集的运算，是基础题.6_【答案】【解析】将原式变形为，进
4、而直接求极限即可.【详解】解：，故答案为：【点睛】本题考查极限的求法，是基础题.7已知复数满足（为虚数单位），则 .【答案】.【解析】试题分析：因为，所以，也可利用复数模的性质求解：【考点】复数的模8若关于、的方程组为，则该方程组的增广矩阵为_【答案】【解析】直接根据增广矩阵的定义写出这个方程组的增广矩阵.【详解】解：由题意可得方程组的增广矩阵为， 故答案为：.【点睛】本题考查增广矩阵的定义，是基础题.9设是等差数列，且，则_【答案】【解析】利用等差数列的通项公式列方程求出公差，进而可求出.【详解】解：设等差数列的公差为，则，又，故答案为：.【点睛】本题考查等差数列基本量及通项公式的求解，考查
5、计算能力，是基础题.10在的二项展开式中，常数项的值为_【答案】15【解析】写出二项展开式通项，通过得到，从而求得常数项.【详解】二项展开式通项为：当时，常数项为：本题正确结果：【点睛】本题考查二项式定理的应用，属于基础题.11已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则其侧面积为_.【答案】【解析】根据圆柱的侧面积公式，即可求得该圆柱的侧面积，得到答案.【详解】由题意，圆柱的底面半径为1，母线长为2，根据圆柱的侧面积公式，可得其侧面积为.【点睛】本题主要考查了圆柱的侧面积公式的应用，其中解答中熟记圆柱的侧面积公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.12已知集合，任取，则幂
6、函数为偶函数的概率为_（结果用数值表示）【答案】【解析】首先找到使幂函数为偶函数的所有，然后利用概率公式求解即可.【详解】解：要幂函数为偶函数，则，故使幂函数为偶函数的概率为，故答案为：【点睛】本题考查幂函数的性质及简单的古典概型，是基础题.13在中，边、满足，则边的最小值为_【答案】【解析】利用和余弦定理得出，利用条件求出的最大值，代入，即可得边的最小值.【详解】解：由已知，故答案为：【点睛】本题考查余弦定理以及基本不等式的应用，是基础题.14若函数存在零点，则实数的取值范围是_【答案】【解析】将函数存在零点转化为图像有交点，作出图像，观察图像得出实数的取值范围.【详解】解：设，则函数存在零
7、点等价于图像有交点，如图： 函数的图像恒过点，当其和函数的图像相切时，所以的图像有交点时，故答案为：【点睛】本题考查函数零点问题的研究，关键是将零点问题转化为函数图像的交点问题，考核作图能力和数形结合的思想，是中档题.15已知数列，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为_【答案】【解析】由题意可得，运用累加法和裂项相消求和可得，再由不等式恒成立问题可得恒成立，转化为最值问题可得实数的取值范围【详解】解：由题意数列中，即则有则有又对于任意的，不等式恒成立，即对于任意的恒成立，恒成立，故答案为：【点睛】本题考查了数列递推公式，涉及数列的求和，注意运用裂项相消求和和不等式恒成立问题的解法，关
8、键是将变形为16如果方程组有实数解，则正整数的最小值是_【答案】【解析】当时，用方程（2）减去方程（1）的45倍，然后利用三角函数的有界性，发现矛盾，故从开始分析，当，我们可以取使，得出方程组的实数解，进而可得正整数的最小值.【详解】如果，对于方程组用方程（2）减去方程（1）的45倍，得 （3）（3）式的左端的绝对值不大于，因此（3）式不可能成立，故原方程组当时无解；从开始分析，当，我们可以取使则时，故答案为：90.【点睛】本题考查三角函数有界性的应用，关键时要发现时，原方程组无解，考查了学生计算能力和分析能力，本题难度较大.三、解答题17如图，四棱锥的底面是正方形，平面，点是线段上任意一点.
9、（1）求证：；（2）试确定点的位置，使与平面所成角的大小为30.【答案】（1）证明见解析（2）当时，与平面所成角的大小为【解析】（1）连结，通过证明平面，即可得.另外可以利用空间向量证明线线垂直；（2）由平面可得与平面所成角为，在中可求出值，即可得到点的位置.另外还可以用空间向量法求线面角.【详解】（1）证明：连结，因为四边形为正方形， 所以，又因为平面，平面，所以由平面又因为平面，所以（2）解法一：设，因为平面，所以与平面所成角为在中，由所以，当时，与平面所成角的大小为解法2：（1）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设,则则，因为，所以;（2）取平面的一个法向量为因为，可知直线的一个方向向量
10、为设与平面所成角为，由题意知与所成的角为，则，因为，所以，解得，当时，与平面所成角的大小为【点睛】本题考查线线垂直的证明以及线面角的求解，考查计算能力和空间想象能力，是基础题.18已知函数.（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；（2）在中，若函数的图像经过点，求的面积.【答案】（1）周期，单调递增区间（2）【解析】（1）将函数整理为，进而可求出周期，令，求出的范围，即可得函数的单调递增区间；（2）由函数的图像经过点可求出，再根据，可求出，利用面积公式即可求出的面积【详解】解：（1）由已知令，得所以函数的单调递增区间为；（2）由已知，又，【点睛】本题考查三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的最
11、小正周期和单调区间的确定，利用角的范围确定角的大小，三角形面积公式的应用，是基础题.19某贫困村共有农户100户，均从事水果种植，平均每户年收入为1.8万元，在当地政府大力扶持和引导下，村委会决定2020年初抽出户（，）从事水果销售工作，经测算，剩下从事水果种植的农户平均每户年收入比上一年提高了，而从事水果销售的农户平均每户年收入为万元.（1）为了使从事水果种植的农户三年后平均每户年收入不低于2.4万元，那么2020年初至少应抽出多少农户从事水果销售工作？（2）若一年后，该村平均每户的年收入为（万元），问的最大值是否可以达到2.1万元？【答案】（1）至少抽出户贫困农户从事水果销售工作（2）可以
12、达到万元，详见解析【解析】（1）首先得出种植户的平均收入，得不等式，解不等式即可得出答案;（2）得出该村平均每户的年收入为，利用二次函数的性质求出最大值.【详解】（1）经过三年，种植户的平均收入为因而由题意，得由,即至少抽出户贫困农户从事水果销售工作.（2）对称轴，因而当时，可以达到万元【点睛】本题考查函数的应用问题，重点在于读懂题意，属于中档题.20已知曲线，过点作直线和曲线交于、两点.（1）求曲线的焦点到它的渐近线之间的距离；（2）若，点在第一象限，轴，垂足为，连结，求直线倾斜角的取值范围；（3）过点作另一条直线，和曲线交于、两点，问是否存在实数，使得和同时成立？如果存在，求出满足条件的实
13、数的取值集合，如果不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）（3）存在，实数的取值集合为【解析】（1）求出曲线的焦点和渐近线方程，利用点到直线的距离公式求求解即可；（2）设，表示出直线的斜率，根据的范围，求出其范围，进而得到倾斜角的取值范围；（3）直接求出当直线，直线和当直线，直线时，的值，当时，与双曲线联立可得，利用弦长公式求出和，利用列方程求出的值，验证判别式成立即可得出结果.【详解】（1）曲线的焦点为，渐近线方程，由对称性，不妨计算到直线的距离，.（2）设，从而又因为点在第一象限，所以，从而，所以直线倾斜角的取值范围是；（3）当直线，直线，当直线，直线时，不妨设，与双曲线联立可得，由弦长公
14、式，将替换成，可得由，可得，解得，此时成立因此满足条件的集合为【点睛】本题考查双曲线的性质以及直线和双曲线的位置关系，考查计算能力，注意不要遗漏直线斜率不存在的情况，可单独说明即可，本题是中档题.21定义（，）为有限实数列的波动强度.（1）求数列1，4，2，3的波动强度；（2）若数列，满足，判断是否正确，如果正确请证明，如果错误请举出反例；（3）设数列，是数列，的一个排列，求的最大值，并说明理由.【答案】（1）（2）是正确的，详见解析（3）当为偶数时，；当为奇数时，【解析】（1）根据波动强度的定义直接计算；（2）作差，利用或判断正负即可；（3）设，是单调递增数列，可整理，其中，并且.经过上述调整后的数列，系数不可能为0，分的奇偶性讨论，确定各自含有的的个数，进而求出的最大值.【详解】解：（1）（2）是正确的证明：或，且所以，即并且当时，可以取等号，当时，可以取等号，所以等号可以取到；（3）设，是单调递增数列.分是奇、偶数情况讨论，其中，并且.经过上述调整后的数列，系数不可能为0.当为偶数时，系数中有个和个，个和个.当为奇数时，有两种情况：系数中有个和个，个；或系数中有个和个，个.1是偶数，2是奇数，因为，可知综上，当为偶数时，；当为奇数时，【点睛】本题考查新定义计算，考查理解题意的能力和计算能力，是一道难度很大的题目.第 17 页 共 17 页
