1、“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！85一元线性回归案例读教材填要点1相关系数(1)定义：样本容量是n的成对观测数据，用(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)表示，用表示数据x1，x2，xn，用表示数据y1，y2，yn，用与分别表示和的均值，用sx表示的标准差，用sy表示的标准差，再引入：sxy .当sxsy0时，称rxy 为和的相关系数当rxy0时，我们称和正相关；当rxy0.8时，认为有很强的相关关系2在一元线性回归模型中，变量y由变量x唯一确定吗？提示：不唯一y值由x和随机误差e共同确定，即自变量x只能解释部分y的变化3随机误差e产生的主要原因有哪些？提示：随机误差e产生的
2、主要原因有：(1)所用的确定性函数不恰当引起的误差；(2)忽略了某些因素的影响；(3)存在观测误差4回归分析中，利用线性回归方程求出的函数值一定是真实值吗？为什么？提示：不一定是真实值利用线性回归方程求的值，在很多时候是个预报值，例如，人的体重与身高存在一定的线性关系，但体重除了受身高的影响外，还受其他因素的影响，如饮食，是否喜欢运动等线性回归方程例1某班5名学生的数学和物理成绩如下表：学生学科ABCDE数学成绩(x)8876736663物理成绩(y)7865716461(1)画出散点图；(2)求物理成绩y对数学成绩x的线性回归方程；(3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩解(1)散
3、点图如图(2)(8876736663)73.2，(7865716461)67.8.iyi8878766573716664636125 054.88276273266263227 174.所以b0.625.ab67.80.62573.222.05.所以y对x的回归直线方程是y22.050.625x.(3)x96，则y0.6259622.0582，即可以预测他的物理成绩是82.1回归直线方程中系数的两种求法(1)公式法：利用公式，求出回归系数b，a.(2)待定系数法：利用回归直线过样本点中心(，)求系数2回归分析的两种策略(1)利用回归方程进行预测：把回归直线方程看作一次函数，求函数值(2)利用回
4、归直线判断正、负相关：决定正相关还是负相关的是回归系数b.1从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得i80，i20，iyi184，720.(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程ybxa；(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄附：线性回归方程ybxa中，b，ab，其中，为样本平均值解：(1)由题意知n10，i8，i2.又n2720108280，iyin 184108224，由此可得b0.3，ab20.380.4，故所求回归方程为y0.3x0.4.(2)由于
5、变量y的值随x的值增加而增加(b0.30)，故x与y之间是正相关(3)将x7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y0.370.41.7(千元)相关系数例2关于两个变量x和y的7组数据如下表所示：x21232527293235y711212466115325试判断x与y之间是否有线性相关关系解(21232527293235)27.4，(711212466115325)81.3，2122322522722923223525 414，iyi2172311252127242966321153532518 542，7211221224266211523252124 393，r0.837 5.由于r0.8
6、37 5与1比较接近，x与y具有线性相关关系回归分析是定义在具有相关关系的两个变量的基础上的，对于相关关系不明确的两个变量，可先作散点图，由图粗略的分析它们是否具有相关关系，在此基础上，求其回归方程，并作回归分析2某厂的生产原料耗费x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元)之间有如下的对应关系：x2468y30405070判断x与y之间是否存在线性相关关系解：画出(x，y)的散点图，如图所示，由图可知x，y呈现线性相关关系5，47.5，120，9 900，iyi1 080，r0.982 7.故x与y之间存在线性相关关系.可线性化的回归分析问题例3为了研究某种细菌随时间x变化繁殖个数y的变化，
7、收集数据如下：时间x/天123456繁殖个数y612254995190(1)作出这些数据的散点图；(2)求y与x之间的回归方程解(1)散点图如图所示：(2)由散点图看出样本点分布在一条指数函数yc1e图像的周围，于是令zln y，则x123456z1.792.483.223.894.555.25由计算器算得z0.69x1.112，则有ye0.69x1.112.非线性回归问题一般不给出经验公式，这时，应先画出已知数据的散点图，把它与所学过的各种函数图像作比较，挑选一种跟这些散点图拟合得最好的函数，采用适当的变量置换，把问题化为线性回归分析问题，使问题得以解决3在一次抽样调查中测得样本的5个样本点
8、，数值如下表：x0.250.5124y1612521试建立y与x之间的回归方程解：由数值表可作散点图如下根据散点图可知y与x近似地呈反比例函数关系，设y，令t，则ykt，原数据变为t4210.50.25y1612521由置换后的数值表作散点图如下：由散点图可以看出y与t呈近似的线性相关关系列表如下itiyitiyity141664162562212244144315512540.5210.25450.2510.250.062517.753694.2521.312 5430所以1.55，7.2.所以b4.134 4.aybt0.8.所以y0.84.134 4t.所以y对x的回归方程是y0.8.1
9、下列说法中正确的是()Ay2x21中的x，y是具有相关关系的两个变量B正四面体的体积与其棱长具有相关关系C电脑的销售量与电脑的价格之间是一种确定性的关系D传染病医院感染甲型H1N1流感的医务人员数与医院收治的甲型流感人数是具有相关关系的两个变量解析：选D感染的医务人员不仅受医院收治的病人数的影响，还受防护措施等其它因素的影响2设(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论中正确的是()Ax和y的相关系数为直线l的斜率Bx和y的相关系数在0到1之间C当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同D
10、直线l过点(，)解析：选D回归直线过样本中心点(，)3为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：父亲身高x(cm)174176176176178儿子身高y(cm)175175176177177则y对x的线性回归方程为()A.x1B.x1C.88x D.176解析：选C设y对x的线性回归方程为bxa，因为b，a17617688，所以y对x的线性回归方程为x88.4在关于两个变量的回归分析中，作散点图的目的是_答案：观察两个变量之间是否存在线性相关关系5某服装厂的产品产量x(万件)与单位成本y(元/件)之间的回归直线方程是y52.1519.5x，当产量每增加一万件时，单位成
11、本下降_元解析：由回归系数的意义得下降19.5元答案：19.56在一段时间内，分5次测得某种商品的价格x(万元)和需求量y(t)之间的一组数据为：12345价格x1.41.61.822.2需求量y1210753已知iyi62，16.6.(1)画出散点图；(2)求出y对x的回归方程；(3)如价格定为1.9万元，预测需求量大约是多少？(精确到0.01 t)解：(1)散点图如下图所示：(2)因为91.8，377.4，iyi62，16.6，sxy 12.413.320.92.所以b11.5，ab7.411.51.828.1，故y对x的回归方程为28.111.5x.(3)28.111.51.96.25(
12、t)一、选择题1下表是x与y之间的一组数据，则y关于x的线性回归方程必过()x0123y1357A.点(2,2)B点(1.5,2)C点(1,2) D点(1.5,4)解析：选D1.5，4，线性回归方程必过点(1.5,4)2已知变量x和y满足关系0.1x1，变量y与z正相关下列结论中正确的是()Ax与y正相关，x与z负相关Bx与y正相关，x与z正相关Cx与y负相关，x与z负相关Dx与y负相关，x与z正相关解析：选C因为y0.1x1的斜率小于0，故x与y负相关因为y与z正相关，可设zy，0，则zy0.1x，故x与z负相关3某医学科研所对人体脂肪含量与年龄这两个变量研究得到一组随机样本数据，运用Exc
13、el软件计算得0.577x0.448(x为人的年龄，y为人体脂肪含量)对年龄为37岁的人来说，下面说法正确的是()A年龄为37岁的人体内脂肪含量都为20.90%B年龄为37岁的人体内脂肪含量为21.01%C年龄为37岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量为20.90%D年龄为37岁的大部分的人体内脂肪含量为31.5%解析：选C当x37时，y0.577370.44820.90120.90，由此估计：年龄为37岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量为20.90%.4某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x(万元)4235销售额y(万元)49263954根据上表可得回归方程bxa中的b为9.
14、4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为()A63.6万元 B65.5万元C67.7万元 D72.0万元解析：选B样本中心点是(3.5,42)，则ab429.43.59.1，所以回归直线方程是y9.4x9.1，把x6代入得y65.5.二、 填空题5调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：0.254x0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加_万元解析：以x1代x，得y0.254(x1)0.321，与y0.254x0.321相减可得，年饮食支出
15、平均增加0.254万元答案：0.2546下表是某厂14月份用水量(单位：百吨)的一组数据，月份x1234用水量y4.5432.5由某散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是0.7xa，则a_.解析：2.5，3.5，b0.7，a3.50.72.55.25.答案：5.257已知回归直线的斜率的估计值为1.23.样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程是_解析：由斜率的估计值为1.23，且回归直线一定经过样本点的中心(4,5)，可得y51.23(x4)，即1.23x0.08.答案：1.23x0.088在研究硝酸钠的可溶性程度时，观察它在不同温度的水中的溶解度，得观测结果
16、如下：温度(x)010205070溶解度(y)66.776.085.0112.3128.0由此，得到回归直线的斜率是_解析：根据sxy ，及b，得b0.880 9.答案：0.880 9三、解答题9在关于人体的脂肪含量(百分比)和年龄关系研究中，研究人员获得了如下一组数据：年龄x2226384145485053545657脂肪含量y9.417.821.224.926.527.128.229.430.231.432.6(1)画出散点图；(2)求y与x之间的回归方程；(3)预测39岁的人脂肪含量(保留四位有效数字)解：(1)画出散点图(2)由散点图可以看出y与x之间有较强的线性相关关系，可算得i44
17、.545 5，i25.336 4，iyi13 205，23 224，b0.565 7，ab 0.137 0.y与x之间的线性回归方程为0.565 7x0.137 0.(3)当x39时，y0.565 7390.137 022.20，39岁的人的脂肪含量约为22.20%.10(2016全国卷)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量参考数据：i9.32，iyi40.17, 0.55，2.646.参考公式：相关系数r ，回归方程t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， .解：(1)由折线图中数据和附注中参考数据得4，(ti)228， 0.55，(ti)(yi)iyii40.1749.322.89，r0.99.因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系(2)由1.331及(1)得0.103，1.3310.10340.92.所以y关于t的回归方程为0.920.10t.将2018年对应的t9代入回归方程得0.920.1091.82.所以预测2018年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！
