1、 理论攻坚-数字推理 主讲教师：张小飞 授课时间：2019.03.02 粉笔公考官方微信 1 理论攻坚理论攻坚-数字推理数字推理（笔记）（笔记）【知识点】1.考查数推省市区（不完全统计）：（1）2016 年：江苏、四川、河北、天津、广东。（2）2017 年：江苏、四川、河南、河北、山西、天津、广东、重庆、安徽、辽宁。（3）2018 年：江苏、四川、河南、天津、广东、上海、新疆。2.与数学运算相比数字推理的难度较低，大部分地区一般考查 5 个数字推理，有些也会考查 10 个。以 5 个为例，基本上有 3 个左右是很简单的（基本上能够做出来，熟练掌握后半分钟可以解一道题），剩下的 2 个建议放弃。
2、因为类似图形推理，能够辨别出来的就很简单，辨别不出来的就需要慢慢找、一遍一遍地试，这样就有点浪费时间，不值得在一个数推题上浪费很多时间。优先做一眼就能够看出题型特征和考查规律的题，看不出来可以先做减法，再算不出来就可以放弃了。基本上 5 个题可以答对 3 个，60%的正确率也不算低，所以数推是值得学习的。3.考查数推省市区（不完全统计，因为拿到的题目不一定是完整的）。以最多的一年为例：如果本省考过，建议一定要学习。江苏、四川、河南、河北、山西、天津、广东、重庆、安徽、辽宁、上海、新疆都考查过数推。在浙江（考查较多）和福建，数推是必考的。4.很难一一列举所有的数推，本节课讲解常考的数推，掌握常考
3、的即可。2 【知识点】1.基础数列：是做其他数列的基础，也会单独考查。2.特征数列：分数数列、多重数列、幂次数列。特征明显，如：黑头发、黄皮肤黑眼睛是亚洲人。高鼻梁、蓝眼睛、黄头发是欧美人。特征明显能够立刻认出。3.非特征数列：多级数列、递推数列。第一节 基础数列【知识点】基础数列：1.等差数列：相邻两项的差相等。如：3，5，7，9，11，13，每个数都比其前一个数大 2。每个数比都其前一个数大几，这就是等差。2.等比数列：每一个数除以其前一个数的商相等，或者比例是相等的。如：1，2，4，8，16，32，。每一项除以其前一项的商都是相等的（2/1=2，4/2=2，8/4=2），就是等比数列。3
4、.质数数列：除了 1 和它本身之外，就没有其他约数的自然数。如：2，3，3 5，7，11，13，17，19，。2 的约数只有 1 和 2，3 的约数只有 1 和 3，5的约数只有 1 和 5，即：只有 1 和它本身。建议记住 20 以内的质数。对于偶数而言，其他偶数都可以分解为“2*几”，在偶数中，只有 2 为质数，其他的偶数都不是质数。但是，奇数也不全是质数，如：9、15，要排除。4.合数数列：和质数相对的叫做合数。除了 1 和它本身之外，还有其他约数的自然数。4（除了 1 和 4，还有约数 2，可以分解为 2*2），6（可以分解为2*3），8，9，10，12，14，15，16，18，20。
5、可见：除了 2 之外，其他的偶数都是合数，因为都可以分解为“2*几”。特殊的：9 和 15，它们虽然是奇数，但也是合数，因为可以分解为 3*3，3*5。所以，当看到一堆偶数中出现 9或者 15，基本上可以判断为合数数列。注意：从数学上规定，1 既不是质数，也不是合数。如果出现 1，可知其既不是质数数列，也不是合数数列。等差数列和等比数列较为简单，质数数列和合数数列经常会忽略，但是其考查频率较高。5.周期数列：呈现周期性规律，循环出现。如：5，2，0，5，2，0，为“5，2，0”每三个数字出现一次。这是数字呈周期性，还有可能是符号存在周期性。如：1、-2、3、-4、5、-6。本身为自然数列 1，
6、2，3，4，5，6，符号：+、-、+、-，可知符号也呈周期性出现，所以下一个数应该是 7 且符号为+，即：+7。6.简单递推数列：前面的项推出后面的项。如：（1）递推和：前面的项加和推出后面的项。如：1，2，3，5，8，13。1+2=3，2+3=5，3+5=8，5+8=13。简单递推和：前面的项相加得出第三项。（2）递推差：前面两项做差得出第三项。如：12，7，5，2，3，-1。12-7=5，7-5=2，5-2=3，则下一项为 3-（-1）=4。（3）递推积：前两项相乘得到第三项。如：1，3，3，9，27，243。1*3=3，4 3*3=9，3*9=27，9*27=243。（4）递推商：前面两
7、项做商得到第三项。如：54，18，3，6，12，12。54/18=3，18/3=6，3/6=1/2，6/（1/2）=12。（5）通过前两项简单的加减乘除运算得出第三项，简单递推数列没有以上几个数列容易看出，通常是习惯于找等差、等比、质数数列，可能合数数列还不太习惯，还有简单递推数列也要注意，如果发现既不是等差、等比、也不是质数、合数数列，要思考是否非简单递推数列。【知识点】区分：1.1，3，5，7，（）：为等差数列，1 既不是质数，也不是合数，即：每项都相差 2。1，3，5，7，（9）。2.2，3，5，7，（）：为质数数列，它们的差不相等，差为：1，2，2，差不相等，且无规律，未知项为 11，
8、注意不能写 9。要记住 20 以内的质数。5 本题为：2，3，5，7，（11）。3.2，3，5，8，（）：不是质数、合数、等差（做差为 1，2，3，为后面要讲解的多级数列），为递推和数列，因为 2+3=5，3+5=8，下一项为 5+8=13。2，3，5，7，或者 1，3，5，7，或者 2，3，5，8 的时候，出现较为接近的数要注意，大意就会出错。这些数列会经常出现。本题为 2，3，5，8，（13）。4.4，6，8，10，（）：为等差数列，每项相差 2，本题为 4，6，8，10，（12）。5.4，6，8，9，（）：为合数数列。如果在很多偶数中出现 9 或者 15（奇数），要考虑合数。本题为 4，
9、6，8，9，（10）。合数数列考查较少。6.注意：等差、质数、递推和经常出现。【例 1】（2017 年铁岭）24，31，38，（），52 A.45 B.47 C.49 D.51【解析】1.看不出规律做减法，31-24=7，38-31=7，可以推测是公差为 7的等差数列，验证：38+7=45，52-45=7，对应 A 项。【选 A】【注意】题型特征和方法要一一对应。6 【例 2】（2015 年丽江）2，6，18，54，（）A.162 B.172 C.152 D.164【解析】2 方法一：6/（-2）=-3，-18/6=-3，54/（-18）=-3，则 54*（-3）=-162，对应 A 项。看到
10、倍数，其实为等比数列。方法二：周期数列。符号“-、+”出现，即：-、+、-、+，则下一项为“-”，对应 A 项。【选 A】【例 3】（2017 临汾）6，8，14，22，36，（）A.58 B.64 C.72 D.46【解析】3.既不是质数/合数数列，也不是等比数列。观察是否为等差数列，相邻两项做差为：2，6，8，可知不是等差数列。也不是周期数列，考虑递推和数列。即：6+8=14，8+14=22，14+22=36，下一项为 22+36=58。【选 A】【注意】排除其他数列之后，可以确定是递推数列。7 【答案汇总】13：AAA 【知识点】基础数列：1.等差数列：相邻数字之差相等。2.等比数列：相
11、邻数字之比相等。3.质数数列：只有 1 和它本身两个约数的自然数。2，3，5，7，11，13，17，19。4.合数数列：除了 1 和它本身还有其他约数的自然数。4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20。5.周期数列：数字或符号之间存在周期循环。6.简单递推数列：递推和、递推差、递推积、递推商。第二节 分数数列 8 【知识点】分数数列：1.题型特征和解题思路要一一对应。2.题型识别：数列中全部或大部分数字是分数。如：1/2，2/3，3/5，4/7，（）；1/3，4/3，7/12，（）。这两个数列中的所有数都是分数，所以是分数数列。3.解题思路：分子、分母递增或递减。（1）分子、分
12、母分别找规律。如：1/2，2/3，3/5，4/7。其分子分母均依次递增，先分子、分母分别找规律，因为这种题考查的多。分子为：1、2、3、4，可知下一项为 5，分母为：2、3、5、7，可知为质数列（1、3、5、7 才是等差，后面跟 9），则下一项为 11，未知项为 5/11。（2）分子、分母一起找规律。如：1/3，4/3，7/12，（），分子、分母分别找不到规律（分子：1、4、7，均相差 3。分母：3、3、12，无规律且不是等差），则分子、分母一起找规律。分子：第二项的分子和第一项的关系可能是 1+3=4（第二项的分子），验证：第二项 4/3，4+3=7（第三项的分子），则下一项分子为 7+12
13、=19。分母：第二项的 3 与第一项的规律，可能是 13=3，验证：第三项的 12 与第二项的关系为 43=12，可知规律为：前一项的分子*前一项的分母=后一项的分母，则下一项为 712=84，未知项为 19/84。9 4.注意：1/3，4/3，7/12，（），分子相差 3，分母无规律。很少考查分子与分子之间有规律，前一项分母与前一项的分子和分母都有关系。分数数列绝大部分都是分子、分母分别找规律或者分子、分母一起找规律。注意：分母不能看成 3/3=1，12/3=3，下一项无法判断商是几，可以是 5，也可以是 4（1+3=4）。除非前两个数做差相等，才能判断后一个数做差相等。或者前两个数做商都是
14、 1 倍或者 3 倍，也可以判断后一项做商为 1 倍或者 3 倍。两个不同的数推第三个数，这样的规律不严谨，不能用。5.小结：分子、分母递增或递减。（1）分子、分母分别找规律，就是自己看自己的。（2）分子、分母一起找规律，后一项的分子与前一项的分子、分母有关联。【例 1】（2017 年开封）1/2，3/5，5/8，7/11，（）A.3/4 B.3/16 C.9/14 D.9/16【解析 1】1.题干和未知数都是分数，为分数数列。观察可知：分子和分母都为递增，则分子、分母分别找规律。分子：1、3、5、7，均相差 2，下一项为9。分母：2、5、8、11，没有规律做减法，5-2=3，8-5=3，11
15、-8=3，下一项为14-3=11，对应 C 项。【选 C】【注意】全部或者大部分都是分数，为分数数列。如果分子、分母均递增或递减，那么先分子、分母分别找规律，如果没规律，就分子分母一起找规律。10 【例 2】（2017 年临汾）1/2，3/5，8/13，21/14，（）A.55/88 B.43/89 C.55/89 D.3/4【解析】2.本题为分数数列且分子、分母均递增，先分子、分母分别找规律，分子为 1，3，8，21，如果无法看出规律就先做差，即：3-1=2，8-3=5，21-8=13。2，5，13 无规律，也可以看出差为每项的分母，可知下一项分子与前一项的分子、分母都有关系。分子单独无法找
16、到规律，可以分子、分母一起找规律。观察：前一项的分子+分母=后一项的分子，1+2=3，3+5=8，8+13=21，则后一项分子为21+34=55，55 较大（不便于约分），排除 B 项，因为 55 不可能约分为 43。D 项也错误。观察分母，看第二项的分母为 5，2+3=5，规律为：前一项的分母+自己的分子=分母，验证：5+8=13，13+21=34，则未知项的分母为 34+55=89，对应 C项。【选 C】11 【注意】1.分子分母均递增/递减，先分子、分母分别找规律，找不到，再分子分母一起找规律。例 1 的考查频率较高，例 2 的形式考查得较少，所以先分子、分母分别找规律，找不到规律，再分
17、子、分母一起找规律。【知识点】1.以上考查方式不是考试的主流，大部分分数数列，分子分母不递增也不递减，忽大忽小。可以反约分。2.题型识别：数列中全部或大部分数字是分数。3.解题思路：（1）分子、分母递增或递减：分子、分母分别找规律。分子、分母一起找规律。（2）分子、分母不递增递减：反约分（考的多）。改变打破递增/递减的分数形式，让其符合递增/递减的规律即可。如：1/4，2/5，1/2，4/7，分子、分母既不递增也不递减。观察可知是 1/2 违反了递增的趋势，进行其反约分，分子、分母同时扩大相同倍数，分子 2 要大于且 5 小于 7，可以变成 3/6，分子、分母就变成均递增。则分母：4、5、6、
18、7、8，分子：1、2、3、4、5。所以未知项为 5/8。找到打破递增/递减的分数，对其进行反约分，分子、分母同时扩大相同倍数，让分子、分母变成均递增/递减，之后再分子、分母分别找规律。这是分数数列中考查最多的一种形式。12 广义通分，考查较少，即：分子/分母好找公倍数。如：一看这些分数的分母 2、4、1、2、4，其公倍数为 4，但是大部分不会这样。先考虑反约分，做不出来再考虑广义通分。【例 3】（2015 年许昌）0，1/3，1/2，3/5，（）A.2/3 B.3/4 C.5/7 D.1【解析】3.题干中 4 个数有 3 个是分数，选项也是分数。数列中的全部或者大部分书都是分数，则为分数数列。
19、分母不递增，忽大忽小，就反约分。分母5 为变大，要递增则 1/2 的分母要介于 3 和 5 之间，分子、分母同时扩大 2 倍为2/4，分子为：1、2、3、（4），分母为：3、4、5、（6），则未知项为 4/6=2/3，如果时间不充裕就直接选，如果有时间要看一下 0，要力求严谨。让 0 符合趋势，则为 0/2，注意：0/n=0，对应 A 项。【选 A】【注意】1.分子分母均不递增/递减，找到违反规律的分数，进行反约分，让其分子、分母同时扩大相同倍数，符合规律即可。2.本题较为简单，因为只变化了一个，其他题可能不只变化一个，或者不止有一个违反了变化趋势。【例 4】（2015 年上海）1/3，1/3
20、，4/9，2/3，16/15，（）A.13/12 B.16/9 13 C.19/18 D.31/18【解析】4.为分数数了，且分子分母既不递增也不递减。观察：分母 315为整体递增的趋势，违反递增是第二个 1/3（分母要介于 3 和 9 之间）和 2/3（分母要介于 9 和 15 之间），选择方便变化的。1/3 的分母要大于 3 小于 9 且为 3 的倍数，可知只有 6，即：扩大 2 倍为 2/6。2/3 的分母要介于 9 和 15 之间且为 3的倍数，只有 8/12（分子、分母同时扩大 4 倍），则分母为：3、6、9、12、15，差为 3，可知下一项为 18，分子：1、2、4、8、16，为
21、2 倍关系，16 的 2 倍为32，则未知项 32/18=16/9，对应 B 项。【选 B】【注意】1.本题难度正常，需要对两个分数进行反约分。这两个分数的分子和分母均打破了递增的趋势，要把分子和分母扩大相同的倍数，且要介于其前后两个分数之间，即可解题。2.解题步骤：（1）全是分数为分数数列。（2）分子、分母不递增也不递减，对打破递增/递减的分数（1/3、2/3）反约分，（3）再分子分母找规律。14 【例 5】（2017 年河北）2/3，1/2，6/13，4/9，10/23，3/7，（）A.4/11 B.13/33 C.14/33 D.5/11【解析】5.题干中一共 7 个分数，为分数数列。3
22、23 变大，分母应该变大才对，违反趋势的有 1/2、4/9、3/7，要进行变化，重点在于先变化哪个分数。3/7：7 的倍数比 23 大太多（4*7=28、5*7=35、6*7=42）。1/2：2 的倍数介于 3-12之间的数字太多（2*2=4、2*4=8、2*8=26），不能逐一地尝试。4/9：分母是 9的倍数，且要介于 13 和 23 之间，即分子、分母同时扩大 2 倍为 8/18。分母：13 和 18，18 和 23 均相差 5，分母规律可能为均相差 5。13-8=5，则 1/2 变化为4/8，分母要相差为 5，则把 3/7 分母变成 28，分子、分母同时扩大 4 倍，即 12/28，分母
23、相差 5，未知项的分母为 28+5=33。分子：2、4、6、8、10、12，为相差 2的等差数列，未知项的分子为 14，未知项为 14/33，对应 C 项。【选 C】【注意】1.有难度的分数数列的考查方式：不仅要对多个分数进行反约分，且无法确定把该分数变成多少。可以从最容易变的分数入手，本题之所以从 4/9入手，原因在于其分母要在 9 和 23 之间，且为 9 的倍数，只有唯一变化。剩下的 1/2 和 3/7 不知道如何变化，可以先猜测出一个规律，再对其进行变化。2.有多个数需要进行反约分，优先变化有唯一变化的分数，剩下的根据猜测的规律进行变化即可。15 【答案汇总】1-5：CCABC 【例
24、6】（2016 年唐山）1/2，5/2，8/9，3/8，4/25，1/18，（）A.-1/14 B.1/32 C.0 D.1【解析】6.为分数数列，分子、分母忽大忽小则反约分。分母 218 为变大的趋势，违反规律的是 3/8 和 1/18。1/18 没有约数，不方便变化。看 3/8，分母要介于 9 和 25 之间，且为 8 的倍数。注意：不能是 24，因为与 25 太接近，做差不易得出规律。所以，分子、分母同时扩大 2 倍变为 6/16（16 和 9、25 均有一定的差距），如果分母（2、9、16、25）做差没发现规律，可以先看分子 8、6、4，均相差 2，则 1/18 的分子要与 4 相差
25、2，可以变为 2/36。前面也要差 2，10 比 8 大 2，则 5/2 要变成 10/4。12 变为 12/1，12 和 10 也相差 2。分子为相差 2，因为 2-2=0，可知未知项的分子为 0（12-10=2、10-8=2、8-6=2、6-4=2、4-2=2、2-2=0），注意：0/n=0，对应 C 项。分母：1、4、9、16、25、36，分别是 1、2、3、4、5、6，下一项为 7，即分母为平方数。【选 C】【注意】反约分在实际考试中考查较多，需要掌握。当分子、分母不递增，也不递减，可以考虑广义通分。分子或者分母比较号召公倍数的时候，可以把分子或者分母化成一样的数。16 【拓展】（20
26、15 年福建）2/3，1/2，1/6，1/3，-（1/6），（），-2/3，-7/6 A.1/2 B.-（1/2）C.-（1/3）D.1/3【解析】拓展.分子、分母不递增也不递减，且反约分会发现不便于变化：2/3，1/6，3/9，-（2/12），且变化分母之后，分子、分母均无规律。当无法反约分时，考虑广义通分。本题分母好找公倍数。分母：2、3、6，公倍数为 6，则为 4/6、3/6、1/6、2/6、-（1/6）、（）-（4/6）、14/6、7/6，分母全是 6，分子不是等差、等比、质数、合数。考虑递推：4-3=1，3-1=2，1-2=-1，则未知项为 2-（-1）=3。验证：-1-3=-4，3
27、-（-4）=7，则 3/6=1/2。【选 A】【注意】广义通分考查较少，只要记住无法反约分解题时，观察分子分母哪个好找公倍数，找公倍数再找规律解题。17 【知识点】分数数列：1.识别：数列中全部或大部分数字是分数。2.思路：（1）分子、分母递增或递减：分子、分母分别找规律（考查多）。分子、分母一起找规律。（2）分子、分母不递增或递减：反约分：对打破趋势的分数进行反约分，把其分子、分母扩大相同的分数，再分子、分母分别找规律。如果有多个分数都需要反约分，则优先找好反约分的分数进行反约分，不好反约分的分数，可以先猜一个规律，再观察如何变化即可。广义通分：分子/分母好找公倍数。了解即可，实际考查得很少
28、仅作为补充，可能 56 套试卷中才有 1 道题。【答案汇总】：1-5：CCABC；6：D 第三节 多重数列【知识点】多重数列 1.题型识别：项数多（7 项）；俩括号（如：例 1 有俩括号）。2.解题思路：先交叉（奇数项和偶数项分别看），再分组（二二分、三三分）。18 3.例子：（1）【引例 1】1，4，3，9，5，16，7，（），有 8 项，考虑多重。先交叉再分组。看奇数项：1、3、5、7，则下一项的下一项为 9，偶数项：4、9、16 是平方数，分别是 2、3、4，则未知项为 5=25。可知：奇数项为等差数列，偶数项为平方数列。若交叉无规律，可以分组。（2）【引例 2】11，5，8，8，4，1
29、2，7，（）。先交叉：11、8、4、7，做差：3、4、-3 无规律，奇数项无规律，偶数项就不看了，即使偶数项有规律也不成立（不严谨）。8 项一般二二分组（因为无法三三分组），圈完之后组内进行加减乘除，再看规律，除法（11/5 除不开）和乘法（数字太大）不太可能，所以优先加法和减法，减法也不太可能（因为 8-8=0。）所以做加法，组内相加均为 16（11+5=16、8=8=16、4+12=16），可知 7+9=16，则未知项为 9。（3）【引例 3】2，4，8，5，6，30，6，7，（）。有 9 个数，不要二二分组，因为未知数无法分组，所以三三分组，然后组内加减乘除找规律。第二 19 组 5、6
30、、30，可知 5，86=30，第一组 2*4=8，则未知项 6*7=42。4.若交叉无规律，8、10 项采用二二分组，9、12 项采用三三分组，12 不二二分的原因在于基本上不会考查需要分六组才能找出规律的题。【例 1】（2017 年临汾）13，4，11，8，9，16，7，32，（），（）A.5，64 B.3，64 C.5，40 D.3，40【解析】1.项数很多，有两个括号，为多重数列，则先交叉再分组。奇数项13，11，9，7，分别差 2，奇数项的未知数为 5。偶数项 4，8，16，32，为 2 倍，则偶数项的未知数为 32*2=64，对应 A 项。【选 A】【注意】本题较为简单，特征明显：项
31、数多且出现两个括号，为多重数列。【例 2】（2017 年重庆）5，3，7，6，11，10，13，15，（）A.16 B.17 C.19 D.20【解析】2.本题项数多，先交叉再分组。先交叉：5、7，11、13 不是等差，因为没有 9，少个 9 为质数，（2、3、5、7，9、11 为质数，没有 2、3 也是质数），5，7，11，13 之后不应该写 15，应该写 17。若时间紧张可以直接选 B 项。时间不是那么紧张可以观察偶数项是否有规律。偶数项 3、6、10、15 直接观察无规律，做差为 3、4、5 的等差，奇数项和偶数项均有规律，则规律正确，正确答案为 17。【选 B】【注意】可以交叉找规律，
32、就不需要再分组。20 【例 3】（2017 年砀山）100，42，80，22，66，8，58，（）A.0 B.2 C.12 D.8【解析】3.8 项较长，7 项为可以考虑多重数列，先交叉再分组。第 8 项为偶数项，优先看偶数项的规律。偶数项：42、22、8 直接观察无规律，做差为20、14 也无规律。交叉无规律，就分组，8 项二二分组，再组内加减乘除，优先看加法和减法。组内加法为：142、102、74 无明显规律。组内减法：58、58、58 可知规律为：组内差=58，则未知项为 58-0=58，对应 A 项。【选 A】【注意】交叉无规律，然后分组，再组内加减乘除，优先加法和减法。【例 4】（2
33、017 年河南）9，1，8，3，5，2，3，5，8，9，（），11 A.2 B.2 C.1 D.1【解析】4.项数很多，为多重数列，先交叉再分组。奇数项：9、-8、5、-3、8、（）没有明显规律，做差为：-17、13、-8、11 依然没有规律，当交叉无规律就分组，一共有 12 项，8 和 10 项优先二二分，9 和 12 项优先三三分（因为没 21 有考查二二分 6 组的情况）。12 项三三分组为 4 组，组内加减乘除，因为数字很大，优先加法或者减法。加法：9+（-1）=8，-8 和 8 互为相反数，即：前两个数相加，与后一个数数值相等符号相反，验证：-3+5=2，2 和-2 数值相等符号相反
34、，13+（-5）=-8，-8 和 8 数值相等符号相反。也可以考虑：9+（-1）+（-8）=0，即：组内加和等于 0。验证：-3+5+（-2）=0，-3+（-5）+8=0，则最后一组：-9+（）+11=0，可知未知项为-2，对应 A 项【选 A】【注意】先交叉，再分组。8 项和 10 项二二分组，9 项和 12 项三三分组，然后组内加减乘除找规律。【例 5】（2018 年深圳）1.02，3.04，7.08，15.16，31.32，（）A.61.62 B.62.63 C.63.64 D.64.65【解析】5.有小数的数列：把整数和小数分开成单独的数据，再当成多重数列：先交叉再分组来做。把数据而分
35、开为：1、02、3、04、7、08、15、16、31、22 32，。然后先交叉再分组，奇数项：1，3，7，15，31 无规律，做差为：3-1=2、7-3=4、15-7=8，31-15=16，为等差数列（为 2 倍关系），则未知项的整数部分为：62-31=32，对应 C 项。考场上时间不充裕，可以直接选 C 项。偶数项：02，04，08，16，32 可知为 2 倍关系，则未知项为 64，对应 C 项。【注意】出现小数（特征明显），从小数点的位置拆开成独立的数，数列就变得很长，再当成多重数列，先交叉，再分组来解题。【答案汇总】1-5：ABAAC 【例 6】（2016 年宁波）2.12，5.30，3
36、.18，9.54，（）A.4.27 B.7.42 C.1.38 D.5.33【解析】6.从小数点的位置拆开，当成多重数列，先交叉再分组。奇数项：2、5、3、9 无规律，做差：5-2=3、3-5=-2、9-3=6，无规律。交叉无规律，则分组。本题为 8 项，加上未知项为 10 项，8 或者 10 项优先二二分组。组内加减乘除找规律，分组：2 和 12，5 和 30，3 和 18，9 和 54，前一个数6=后一个数，也可理解为：组内后除前商 6，只有 B 项正确。考虑组内做除法，是因为组内有倍数关系，如果给的数是 5.33，则不会考虑做除法，优先考虑加法和减法，乘法的可能性微乎其微。【选 B】23
37、 【答案汇总】1-5：ABAAC；6：B 【知识点】多重数列：（1）识别：项数多（7 项考虑多重），俩括号（较少，因为目标太明显）。有小数的数列可以当成多重数列来做。（2）思路：先交叉（奇数项和偶数项分别看），再分组（8 和 10 项优先二二分、9和 12 项优先三三分，再组内加减乘除运算找规律，数据不会太大，一般不需要动笔，口算即可，如：5.33 不考虑乘法和除法，所以组内优先加法和减法，不要想复杂）。把整数部分和小数部分拆开，当成独立的数，先交叉再分组。第四节 幂次数列【知识点】1.幂次数列不仅仅是平方数和立方数，四次方也是幂次数。2.题型识别：数据本身是幂次数或该数的附近有幂次数。如：1
38、6，25，36，49，64，（），分别是 4、5、6、7、8，指数都是 2，底数为 4、5、6、24 7、8，则下一项为 9，则未知项为 9=81。3.解题思路：（1）普通幂次指数与底数的变化规律。把数转化为幂次数，再分别看指数（上面的时候数）和底数（下面的数）的规律。附近有幂次数和修正幂次，后文再讲解。【知识点】1.补充记忆：常见的幂次数要记住，1119，2373，2454。（1）11=121，12=144，13=169；14=196，15=225，16=256；17=289，18=324，19=361。13和 14=为最后两个数倒过来。（2）23=8，33=27，43=64。；53=25*
39、5=125，63=36*6=216，73=49*7=343。（3）24=（2）=16，34=（3）=81，44=（4）=256，54=（5）=625。（4）2510：32、64、128、256、512、1024 可以联想手机内存，32（刚开始）、64、128（大部分为 64 和 86G）、256（土豪）、512（最土豪）、1024。2.73很少考查，三次方一般考到 63。54很少考查，四次方考到 44。需要记忆，记不住无法识别题型。【例 1】（2016 年广东）64，49，36，25，16，（）A.9 B.10 C.14 D.15【解析】1.64=8，49=7，36=6，25=5 平方，16=
40、4，指数都是平方，底数为 8、7、6、5、4，可知未知项为 3=9，对应 A 项。【选 A】【例 2】（2017 年砀山）1，4，27，（），3125 A.70 B.351 25 C.371 D.256【解析】2.27=33，4=2。两个数只能猜规律，不一定严谨。先猜，再依次验证。猜规律：底数（23 越来越大）依次增加 1，指数（23 越来越大）也依次增加 1，猜：1=11，4=22，27=33，（）=44，55，验证：未知项为 44=（4）=256，5*5=25*25=54=625，625*5 确实为 3000+且尾数为 5，因此，规律验证正确。【选 D】【注意】1.本题项数较少，加上未知项
41、才有 5 个，且已知数只有 4 个，所以先猜一个规律，再验证。2.两个数找规律只能叫做猜，经得住验证才正确，否则是错误的。因为两个数字太少了，基本上要三个数才能找规律。26 【知识点】1.附近有幂次数：（1）如：15，24，35，48，63，（）。数字均不是幂次数，但是其附近有幂次数，15=16-1=4-1，24=25-1=5-1，35=36-1=6-1，48=49-1=7-1，63=64-1=8-1，则未知项为 9-1=80。如：63 不是幂次数，但是其附近幂次数，可以先转化为普通幂次修正项（较小的），再找规律即可。注意：修正项一般为 1、2，一般情况不会超过 5，不可能是加 10 或者减
42、9。修正项考到 5 的都很少，常考的是1/2/3。（2）把附近幂次数先转化为普通幂次修正项，再通过该幂次数的底数和指数找规律即可。如：15，24，35，48，63，（）转化为 15=16-1=4-1，24=25-1=5-1，35=36-1=6-1，48=49-1=7-1，63=64-1=8-1，指数均为 2，底数为 4、5、6、7、8、9，为自然数列，修正项都是“-1”，就能找到规律。2.常考的：（1）10+16，不到 10 的，考查 8、9 的比较多，分别是 23和 3。（2）20+25，25=5、27=33。（3）30+32、36，考查 36 较多，36=6。32=25（手机内存），考查较
43、少。（4）60+64，64 的考查频率高，看到 60+，甚至 5570 的范围都可以考虑 64，55 往下为 7=49，考查得不太多。70 往上只有 9*9=81，5570 的区间很大，最可能考查的谁 64。3.找修正项，优先从 64 入手；转化幂次数，先变唯一的幂次数（先避开16、64、81 及小数字）。（1）看到 64 附近的数，优先考虑是否可以表示为“64几”。64 考查频 27 率高的原因在于其变化情况多样，64=8=43=26，26考查较少。=8=43考查较多。如果已经确定该数为“64几”，要把幂次数转化谁的几次方时，先别变化 64，因为 64 的变化太多样。先变有唯一变化幂次数。如
44、：25+3、64-3，要先变化25+3，因为只能写成 5+3（唯一变化），然后再变化 64-3。（2）避开 16、64、81，因为 16=4=24、64=8=43=26、81=9=34。0、1 也要避开。因为变化太多样，如：1=1n=（-1）2n，0=0n。数字太小，最后再变化，做验证即可。3.小结：讲解了常考的幂次数。找该用谁去加减的时候，先从 64 左右的数入手。见到 64、27、25 的时候，先变化有唯一变化的数，先不变 16、64、81 及小数字，这些数字到最后再考虑变成谁的几次方。【例 3】（2018 年深圳）0，7，26，63，（）A.80 B.96 C.124 D.168 28
45、【解析】3.有 64 附近的 63，63=64-1，不确定 26，因为 26=25+1=27-1，前年都有 1，因为 6 不是幂次数，所以 7=8-1。把幂次数变成谁的几次方，8=23，27=33，25=5，观察可知 27=33更好找规律，即：指数都是三次方，底数为 2、3，变大了 1，。所以优先 27=33，64=43，验证：0=13-1，规律为：底数分别为 1、2、3、4、5，指数都是三次方，修正项都是-1，则未知项为 53-1=125-1=124。【选 C】【注意】优先从 64 附近的数入手找修正项（1 或者4），变化幂次数的时候避开 64，先变化有唯一变化的数，如 8、27，最后看 6
46、4 如何变化好找规律。【例 4】（2015 年贵州）65，35，17，（），1 A.9 B.8 C.0 D.3【解析】4.有 64 附近的数 65，65=64+1，35=36-1=32+3，17=16+1，1 最后验证即可。36=6，则 16=4便于找规律，64=8。可以发现 36=6较容易找规律，因为 35=32+3=25+3，五次方太大，不便于找规律，排除。规律为：底数分别是 8、6、4、2、0，分别差 2，；指数均为平方，修正项为：+1、-1、+1、-1、+1。1=0+1，则未知项为 2-1=3。【选 D】【注意】例 3 和例 4 都是先从 64 附近的数字入手，变成“幂次数几”，尽量让
47、修正项有更大的关联性，之后先避开 64（变化多样），常考的是 8，43。尽量减少猜的次数。29 【例 5】（2015 年南平）9，10，65，26，217，（）A.289 B.89 C.64 D.50【解析】5.有 64 附近的 65，65=64+1，10=9+1，9=8+1，217=216+1，所有的修正项都是+1，则 26=25+1。幂次数变化，从有唯一变化的入手，8=2，9=3，64=4，25=5，216=63，底数为 2、3、4、5、6、（7），指数为 3、2、3（64=43）、2、3、（2）。修正项都是+1，则为未知项为 7+1=50。【选 D】【注意】先找 64 附近的数，确定修订
48、项之后，再变化其他的数。【例 6】（2017 铁岭）0，6，24，60，120，（）A.18 B.210 C.22 D.240【解析】6.出现 64 附近的数 60。60=64-4，120=125-5=121-1，121=11，30 125=53，可知 125 的可能性较大，因为修正项有规律（-4、-5），猜测前面是-3。24=27-3=25-1，6=8-2，0=1-1，则修正项规律为：-1、-1、-3、-4、-5、（-6），转化幂次数，从有唯一变化的入手（避开 64）。本题除了 64 都有唯一变化，125=53、27=33、8=23、1=13，底数为1、2、3、4、5、6，指数均为3，则未知
49、项为 63-6=216-6=210，对应 B 项。【选 B】【注意】常考的数非常固定：20 多、60 多、8、9，120 多（偶尔考查）。看到 20 多、60 多、8、9 优先考虑幂次。【答案汇总】1-5：ADCDD，6：B 【知识点】幂次数列：1.本身是幂次数：直接变成谁的几次方即可，再分别观察底数和指数的规律，最后得出答案。2.附近有幂次数：如 63、65 附近有 64，则有可能是修正幂次，先转化为 31 普通幂次数修正项表示出数列中的数，先让修正项呈现规律，再把幂次数变成谁的几次方，变化时优先从有唯一变化的入手，16、64、81、0、1 最后再变化，因为变化太多不好猜。因式分解也可以，但
50、是幂次数列的规律更容易找、更常规。第五节 多级数列 【知识点】1.题型识别：无明显特征（不是分数、不是多重、不是幂次）。2.解题思路：分两步：（1）优先做差（1 次、2 次），相邻两项相减，大部分数列减完一次就能找到规律，也有的减两次，还是找不到规律，一般很少做三次差，因此大部分数列减完三次剩余的项数很少；（2）次选做和、做商。3.多级数列是除了简单数列外，最简单的数列。很多地方，例如考 5 个递推，一般多级考 2 个。【例 1】（2017 年山西）3，5，9，17，33，（）A.40 B.45 C.56 D.65【解析】例 1.数列无特征，项数不多，不是分数，虽然 9 为幂次数，但是其他数字
