1、专题06 三角函数及解三角形1【2022年全国甲卷】将函数f(x)=sinx+3(0)的图像向左平移2个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（）A16B14C13D12【答案】C【解析】【分析】先由平移求出曲线C的解析式，再结合对称性得2+3=2+k,kZ，即可求出的最小值.【详解】由题意知：曲线C为y=sinx+2+3=sin(x+2+3)，又C关于y轴对称，则2+3=2+k,kZ，解得=13+2k,kZ，又0，故当k=0时，的最小值为13.故选：C.2【2022年全国甲卷】沈括的梦溪笔谈是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB是以O为圆心，O
2、A为半径的圆弧，C是的AB中点，D在AB上，CDAB“会圆术”给出AB的弧长的近似值s的计算公式：s=AB+CD2OA当OA=2,AOB=60时，s=（）A11332B11432C9332D9432【答案】B【解析】【分析】连接OC，分别求出AB,OC,CD，再根据题中公式即可得出答案.【详解】解：如图，连接OC，因为C是AB的中点，所以OCAB，又CDAB，所以O,C,D三点共线，即OD=OA=OB=2，又AOB=60，所以AB=OA=OB=2，则OC=3，故CD=23，所以s=AB+CD2OA=2+2322=11432.故选：B.3【2022年全国甲卷】设函数f(x)=sinx+3在区间(
3、0,)恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（）A53,136B53,196C136,83D136,196【答案】C【解析】【分析】由x的取值范围得到x+3的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可【详解】解：依题意可得0，因为x0,，所以x+33,+3，要使函数在区间0,恰有三个极值点、两个零点，又y=sinx，x3,3的图象如下所示：则52+33，解得1360，即fx单调递增；在区间2,32上fx0)的最小正周期为T若23T，且y=f(x)的图象关于点(32,2)中心对称，则f(2)=（）A1B32C52D3【答案】A【解析】【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得
4、函数解析式，代入即可得解.【详解】由函数的最小正周期T满足23T，得232，解得23，又因为函数图象关于点(32,2)对称，所以32+4=k,kZ，且b=2，所以=16+23k,kZ，所以=52，f(x)=sin(52x+4)+2，所以f(2)=sin(54+4)+2=1.故选：A6【2022年新高考2卷】若sin(+)+cos(+)=22cos+4sin，则（）Atan()=1Btan(+)=1Ctan()=1Dtan(+)=1【答案】C【解析】【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.【详解】由已知得：sincos+cossin+coscossinsin=2(
5、cossin)sin,即：sincoscossin+coscos+sinsin=0，即：sin+cos=0,所以tan=1,故选：C7【2022年北京】已知函数f(x)=cos2xsin2x，则（）Af(x)在2,6上单调递减Bf(x)在4,12上单调递增Cf(x)在0,3上单调递减Df(x)在4,712上单调递增【答案】C【解析】【分析】化简得出fx=cos2x，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.【详解】因为fx=cos2xsin2x=cos2x.对于A选项，当2x6时，2x3，则fx在2,6上单调递增，A错；对于B选项，当4x12时，22x6，则fx在4,12上不单调，B错；
6、对于C选项，当0x3时，02x23，则fx在0,3上单调递减，C对；对于D选项，当4x712时，22x76，则fx在4,712上不单调，D错.故选：C.8【2022年浙江】设xR，则“sinx=1”是“cosx=0”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.【详解】因为sin2x+cos2x=1可得：当sinx=1时，cosx=0，充分性成立；当cosx=0时，sinx=1，必要性不成立；所以当xR，sinx=1是cosx=0的充分不必要条件.故选：A.9【2022年浙江】为了得到函
7、数y=2sin3x的图象，只要把函数y=2sin3x+5图象上所有的点（）A向左平移5个单位长度B向右平移5个单位长度C向左平移15个单位长度D向右平移15个单位长度【答案】D【解析】【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出【详解】因为y=2sin3x=2sin3x15+5，所以把函数y=2sin3x+5图象上的所有点向右平移15个单位长度即可得到函数y=2sin3x的图象故选：D.10【2022年新高考2卷】（多选）已知函数f(x)=sin(2x+)(0)的图像关于点23,0中心对称，则（）Af(x)在区间0,512单调递减Bf(x)在区间12,1112有两个极值点C直线x=76是曲线y=
8、f(x)的对称轴D直线y=32x是曲线y=f(x)的切线【答案】AD【解析】【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出【详解】由题意得：f23=sin43+=0，所以43+=k，kZ，即=43+k,kZ，又00，利用余弦定理表示出AC2AB2后，结合基本不等式即可得解.【详解】设CD=2BD=2m0，则在ABD中，AB2=BD2+AD22BDADcosADB=m2+4+2m，在ACD中，AC2=CD2+AD22CDADcosADC=4m2+44m，所以AC2AB2=4m2+44mm2+4+2m=4(m2+4+2m)12(1+m)m2+4+2m=412(m+1)+3m+14122(m+1
9、)3m+1=423，当且仅当m+1=3m+1即m=31时，等号成立，所以当ACAB取最小值时，m=31.故答案为：31.12【2022年全国乙卷】记函数f(x)=cos(x+)(0,00，0）所以最小正周期T=2，因为fT=cos2+=cos2+=cos=32，又00，所以当k=0时min=3；故答案为：313【2022年北京】若函数f(x)=Asinx3cosx的一个零点为3，则A=_；f(12)=_【答案】 1 2【解析】【分析】先代入零点，求得A的值，再将函数化简为f(x)=2sin(x3)，代入自变量x=12，计算即可.【详解】f(3)=32A32=0，A=1f(x)=sinx3cos
10、x=2sin(x3)f(12)=2sin(123)=2sin4=2故答案为：1，214【2022年浙江】我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白如果把这个方法写成公式，就是S=14c2a2c2+a2b222，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积设某三角形的三边a=2,b=3,c=2，则该三角形的面积S=_【答案】234.【解析】【分析】根据题中所给的公式代值解出【详解】因为S=14c2a2c2+a2b222，所以S=14424+2322=234故答案为：234.15【2022年浙江】若3sinsin=10,
11、+=2，则sin=_，cos2=_【答案】 31010 45【解析】【分析】先通过诱导公式变形，得到的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出，接下来再求【详解】+=2，sin=cos，即3sincos=10，即1031010sin1010cos=10，令sin=1010，cos=31010，则10sin=10，=2+2k，kZ，即=+2+2k，sin=sin+2+2k=cos=31010 ，则cos2=2cos21=2sin21=45故答案为：31010；4516【2022年全国乙卷】记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知sinCsinAB=sinBsinCA(
12、1)若A=2B，求C；(2)证明：2a2=b2+c2【答案】(1)58；(2)证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意可得，sinC=sinCA，再结合三角形内角和定理即可解出； （2）由题意利用两角差的正弦公式展开得sinCsinAcosBcosAsinB=sinBsinCcosAcosCsinA，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出(1)由A=2B，sinCsinAB=sinBsinCA可得，sinCsinB=sinBsinCA，而0B0，而0C,0CA，显然CCA，所以，C+CA=，而A=2B，A+B+C=，所以C=58(2)由sinCsinAB=sinBsinCA可得，sinCsinA
13、cosBcosAsinB=sinBsinCcosAcosCsinA，再由正弦定理可得，accosBbccosA=bccosAabcosC，然后根据余弦定理可知，12a2+c2b212b2+c2a2=12b2+c2a212a2+b2c2，化简得：2a2=b2+c2，故原等式成立17【2022年全国乙卷】记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知sinCsin(AB)=sinBsin(CA)(1)证明：2a2=b2+c2；(2)若a=5,cosA=2531，求ABC的周长【答案】(1)见解析(2)14【解析】【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即
14、可得证；（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出bc，从而可求得b+c，即可得解.(1)证明：因为sinCsinAB=sinBsinCA，所以sinCsinAcosBsinCsinBcosA=sinBsinCcosAsinBsinAcosC，所以aca2+c2b22ac2bcb2+c2a22bc=aba2+b2c22ab，即a2+c2b22b2+c2a2=a2+b2c22，所以2a2=b2+c2；(2)解：因为a=5,cosA=2531，由（1）得b2+c2=50，由余弦定理可得a2=b2+c22bccosA， 则505031bc=25，所以bc=312，故b+c2=b2+c2+2bc=50+3
15、1=81，所以b+c=9，所以ABC的周长为a+b+c=14.18【2022年新高考1卷】记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA1+sinA=sin2B1+cos2B(1)若C=23，求B；(2)求a2+b2c2的最小值【答案】(1)6；(2)425【解析】【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将cosA1+sinA=sin2B1+cos2B化成cosA+B=sinB，再结合0B2，即可求出；（2）由（1）知，C=2+B，A=22B，再利用正弦定理以及二倍角公式将a2+b2c2化成4cos2B+2cos2B5，然后利用基本不等式即可解出(1)因为cosA1+s
16、inA=sin2B1+cos2B=2sinBcosB2cos2B=sinBcosB，即sinB=cosAcosBsinAsinB=cosA+B=cosC=12，而0B0，所以2C,0B0，又sinB=13，则cosB=1132=223，ac=1cosB=324，则SABC=12acsinB=28；(2)由正弦定理得：bsinB=asinA=csinC，则b2sin2B=asinAcsinC=acsinAsinC=32423=94，则bsinB=32，b=32sinB=12.20【2022年北京】在ABC中，sin2C=3sinC(1)求C；(2)若b=6，且ABC的面积为63，求ABC的周长【
17、答案】(1)6(2)6+63【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得cosC的值，结合角C的取值范围可求得角C的值；（2）利用三角形的面积公式可求得a的值，由余弦定理可求得c的值，即可求得ABC的周长.(1)解：因为C0,，则sinC0，由已知可得3sinC=2sinCcosC，可得cosC=32，因此，C=6.(2)解：由三角形的面积公式可得SABC=12absinC=32a=63，解得a=43.由余弦定理可得c2=a2+b22abcosC=48+36243632=12，c=23，所以，ABC的周长为a+b+c=63+6.21【2022年浙江】在ABC中，角A，B，C所对的边分别为
18、a，b，c已知4a=5c,cosC=35(1)求sinA的值；(2)若b=11，求ABC的面积【答案】(1)55；(2)22【解析】【分析】（1）先由平方关系求出sinC，再根据正弦定理即可解出；（2）根据余弦定理的推论cosC=a2+b2c22ab以及4a=5c可解出a，即可由三角形面积公式S=12absinC求出面积(1)由于cosC=35， 0C，则sinC=45因为4a=5c，由正弦定理知4sinA=5sinC，则sinA=54sinC=55(2)因为4a=5c，由余弦定理，得cosC=a2+b2c22ab=a2+121165a222a=11a252a=35，即a2+6a55=0，解得
19、a=5，而sinC=45，b=11，所以ABC的面积S=12absinC=1251145=221（2022宁夏银川一中模拟预测（文）已知点在角的终边上，且，则角的大小为（）ABCD【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，确定角的范围，再利用三角函数定义求解作答.【详解】依题意，点在第二象限，又，则，而，所以.故选：B2（2022安徽省舒城中学三模（理）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则最大值为（）ABCD【答案】A【解析】【分析】根据平移法则求出函数的解析式，进而求出的含有数0的单调区间，再借助集合的包含关系即可解出.【详解】依题意，由，得：，于是得的一个单调递增区
20、间是，因在上为增函数，因此，即有，解得，即最大值为故选：A.3（2022甘肃武威第六中学模拟预测（理）已知函数，直线为图象的一条对称轴，则下列说法正确的是（）AB在区间单调递减C在区间上的最大值为2D为偶函数，则【答案】D【解析】【分析】由已知得，由可求得，可判断A选项，由此有；对于B，由得，由正弦函数的单调性可判断；对于C，由得，由此得在区间上的最大值为；对于D，由，解得.【详解】解：因为函数，直线为图象的一条对称轴，所以，所以，又，所以，故A不正确；所以，对于B，当时，所以在区间单调递增，故B不正确；对于C，当时，在区间上的最大值为，故C不正确；对于D，若为偶函数，则，所以，解得，故D正确
21、，故选：D.4（2022全国模拟预测）已知，则（）ABCD【答案】D【解析】【分析】根据待求式的结构，求解即可【详解】解：因为=-.，；，所以，故故选：D.5（2022全国模拟预测（文）已知函数的一个对称中心为，在区间上不单调，则的最小正整数值为（）A1B2C3D4【答案】B【解析】【分析】根据题意可得，所以，由在区间上不单调可得在区间上有解，所以，在区间上有解，最终可得，取值即可得解.【详解】由函数的一个对称中心为，可得，所以，由在区间上不单调，所以在区间上有解，所以，在区间上有解，所以，所以，又，所以，所以，当时，此时的最小正整数为.故选：B6（2022河南省杞县高中模拟预测（理）已知，若
22、，则（）ABC或D或【答案】B【解析】【分析】根据题中所给的角的范围以及三角函数值，可以确定，通过凑角，利用和角正弦求得，从而求得，根据角的范围确定符号，开方即可得结果.【详解】因为，所以，又，所以，所以，所以，所以，又，故选：B7（2022全国模拟预测（理）函数的图象按以下次序变换：横坐标变为原来的；向左平移个单位长度；向上平移一个单位长度；纵坐标变为原来的2倍，得到的图象，则的解析式为（）ABCD【答案】A【解析】【分析】根据三角函数图象变换的性质逆推求解即可【详解】由题意，纵坐标变为原来的2倍，得到的图象，故变换前为；向上平移一个单位长度，故变换前为；向左平移个单位长度，故变换前为；横坐
23、标变为原来的，故变换前为，故的解析式为故选：A8（2022黑龙江哈九中三模（文）已知函数的部分图象如图所示，且将图象上所有点的横坐标缩小为原来的，再向上平移一个单位长度，得到的图象若，则的最大值为（）ABCD【答案】C【解析】【分析】根据函数图象求得，再根据图象变换可得的解析式，结合，求得的值，可得答案.【详解】设的最小正周期为T，则由图可知，得，则，所以，又由题图可知图象的一个对称中心为点，故，故，因为，所以，所以.又因为，故，所以；将图象上所有点的横坐标缩小为原来的，再向上平移一个单位长度，得到的图象；因为，所以 同时令取得最大值3，由，可得，又，要求的最大值，故令，得；令，得，所以的最大
24、值为，故选：C.9（2022全国模拟预测）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（）A向左平移个单位长度B向左平移个单位长度C向右平移个单位长度D向右平移个单位长度【答案】A【解析】【分析】根据图像平移的规律，算出答案即可.【详解】由题意，由于函数，观察发现可由函数向左平移个单位长度，得到函数的图象，故选：A.10（2022贵州贵阳一中模拟预测（文）如图是函数的图像的一部分，则要得到该函数的图像，只需要将函数的图像（）A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度【答案】A【解析】【分析】先由图像求得，再由辅助角公式化简，最后由三角函数的平移变换即可求解.【详解
25、】由题图知：，又，解得，又，将向左平移得.故选：A.11（2022青海西宁二模（文）在；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由问题：是否存在，它的内角A，的对边分别为，面积为S，且，_？【答案】答案不唯一，具体见解析【解析】【分析】根据题干条件及余弦定理、面积公式，可求得角C的值，若选，根据正弦定理，可求得的值，根据大边对大角原则，可得角A只有一解，根据同角三角函数关系，可求得的值；若选，根据正弦定理，可求得的值，根据大边对大角原则，可得角A有两解，根据同角三角函数关系，可求得的值；若选，根据正弦定理，可求得的值，因为，则三角形无
26、解.【详解】由题意可知在中，因为，且，所以，由余弦定理可知，所以因为，所以；若选，由正弦定理可得，解得，在中，因为，所以，又因为，则角A只有一解，且，所以 若选，由正弦定理可得，解得，在中，因为，所以，又因为，则角A有两解，所以若选，由正弦定理可得，解得，因为，所以无解，即三角形不存在12（2022河南开封市东信学校模拟预测（理）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.(1)求角A的大小；(2)若D为边中点，且，求a的最小值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用三角恒等变形及正弦定理即可求解；（2）利用余弦定理及基本不等式即可求解.(1)，即.由正弦定理得.，.，又,，；(2
27、)D为边中点，即,，,，即, 当且仅当时取等号,，即.故a的最小值为.13（2022山东聊城三模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求角B；(2)若b=4，求周长的最大值.【答案】(1)；(2)12.【解析】【分析】（1）利用差角的余弦公式，结合正弦定理，化简计算作答.（2）利用余弦定理，结合均值不等式求出a+c的最大值(1)因为，则，在中，由正弦定理得，而，即，整理得，即，又，解得，所以.(2)在中，由余弦定理得：，即，而，于是得，当且仅当a=c=4时取“=”，因此，当a=c=4时，a+c取最大值8，从而a+b+c取最大值12，所以周长的最大值为12.14（2022河南平
28、顶山市第一高级中学模拟预测（理）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(1)求角A的大小；(2)若，的面积为4，求BC边上的高【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由余弦定理化简可得答案；（2）由三角形的面积公式可得b值，由余弦定理可得a值，结合面积公式可得高.(1)，即，又，(2)，故由余弦定理可知而，解得，所以BC边上的高为15（2022四川省泸县第二中学模拟预测（理）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，请再从条件：，；条件：，这两个条件中选择一个作为已知，求：(1)的值；(2)c和面积S的值【答案】(1)条件选择见解析，(2)条件选择见解析，【解析】【分析】（1）若选，由已知条件可得，得或，由于，则可得，进而可求出，若选，由已知条件可得，得或，由于，则可得，进而可求出，（2）若选，由正弦定理得，由得，再由余弦定理得，则，求得，然后利用三角形面积公式可求得结果，若选，由正弦定理结合三角函数恒等变换公式可得，从而可得，则，然后利用三角形面积公式可求得结果，(1)若选：，在中，即，而，故或，则或，故，；若选：，在中，即，而，故或，则或，由，得：，；(2)若选：，由正弦定理得：，则，由知：，故，则，；若选：，由正弦定理得：，即，故，则，由余弦定理得，得，
