1、数学资源网 新课程标准数学选修21第二章课后习题解答第二章 圆锥曲线与方程21曲线与方程练习（P37）1、是. 容易求出等腰三角形的边上的中线所在直线的方程是.2、.3、解：设点的坐标分别为，. （1）当时，直线斜率 所以， 由直线的点斜式方程，得直线的方程为 . 令，得，即点的坐标为. 由于点是线段的中点，由中点坐标公式得. 由得，代入， 得，即 （2）当时，可得点的坐标分别为， 此时点的坐标为，它仍然适合方程 由（1）（2）可知，方程是点的轨迹方程，它表示一条直线.习题2.1 A组（P37）1、解：点、在方程表示的曲线上；点不在此曲线上2、解：当时，轨迹方程为；当时，轨迹为整个坐标平面.3
2、、以两定点所在直线为轴，线段垂直平分线为轴，建立直角坐标系，得点的轨迹方程为.4、解法一：设圆的圆心为，则点的坐标是. 由题意，得，则有. 所以， 化简得 当时，点适合题意；当时，点不合题意. 解方程组 ， 得 所以，点的轨迹方程是，. 解法二：注意到是直角三角形， 利用勾股定理，得， 即. 其他同解法一.习题2.1 B组（P37）1、解：由题意，设经过点的直线的方程为. 因为直线经过点，所以 因此，（第2题） 由已知点的坐标为，所以点的轨迹方程为.2、解：如图，设动圆圆心的坐标为. 由于动圆截直线和所得弦分别为，所以，. 过点分别作直线和的垂线，垂足分别为，则，. ，.连接，因为， 则有，所
3、以，化简得，.因此，动圆圆心的轨迹方程是.22椭圆练习（P42）1、14. 提示：根据椭圆的定义，因为，所以.2、（1）； （2）； （3），或.3、解：由已知，所以. （1）的周长. 由椭圆的定义，得，. 所以，的周长. （2）如果不垂直于轴，的周长不变化. 这是因为两式仍然成立，的周长，这是定值.4、解：设点的坐标为，由已知，得直线的斜率 ；直线的斜率 ；由题意，得，所以化简，得（第1题）因此，点的轨迹是直线，并去掉点.练习（P48）1、以点（或）为圆心，以线段（或）为半径画圆，圆与轴的两个交点分别为. 点就是椭圆的两个焦点. 这是因为，在中，所以，. 同样有.2、（1）焦点坐标为，；（2
4、）焦点坐标为，.3、（1）； （2）.4、（1） （2），或.5、（1）椭圆的离心率是，椭圆的离心率是， 因为，所以，椭圆更圆，椭圆更扁；（2）椭圆的离心率是，椭圆的离心率是， 因为，所以，椭圆更圆，椭圆更扁.6、（1）； （2）； （3）. 7、.习题2.2 A组（P49）1、解：由点满足的关系式以及椭圆的定义得，点的轨迹是以，为焦点，长轴长为10的椭圆. 它的方程是.2、（1）； （2）； （3），或.3、（1）不等式，表示的区域的公共部分； （2）不等式，表示的区域的公共部分. 图略.4、（1）长轴长，短轴长，离心率，焦点坐标分别是，顶点坐标分别为，；（2）长轴长，短轴长，离心率，焦点坐
5、标分别是，顶点坐标分别为，.5、（1）； （2），或； （3），或.6、解：由已知，椭圆的焦距. 因为的面积等于1，所以，解得.（第7题） 代入椭圆的方程，得，解得. 所以，点的坐标是，共有4个.7、解：如图，连接. 由已知，得. 所以，. 又因为点在圆内，所以 根据椭圆的定义，点的轨迹是以为焦点，为长轴长的椭圆.8、解：设这组平行线的方程为. 把代入椭圆方程，得. 这个方程根的判别式 （1）由，得. 当这组直线在轴上的截距的取值范围是时，直线与椭圆相交. （2）设直线与椭圆相交得到线段，并设线段的中点为. 则 . 因为点在直线上，与联立，消去，得. 这说明点的轨迹是这条直线被椭圆截下的弦（不
6、包括端点），这些弦的中点在一条直线上.9、.10、地球到太阳的最大距离为km，最下距离为km.习题2.2 B组（P50）1、解：设点的坐标为，点的坐标为，则，. 所以， .因为点在圆上，所以 .将代入，得点的轨迹方程为，即所以，点的轨迹是一个椭圆与例2相比可见，椭圆也可以看作是由圆沿某个方向压缩或拉伸得到.2、解法一：设动圆圆心为，半径为，两已知圆的圆心分别为.分别将两已知圆的方程 ，配方，得 ， 当与：外切时，有 当与：内切时，有 两式的两边分别相加，得即， 化简方程.先移项，再两边分别平方，并整理，得 将两边分别平方，并整理，得 将常数项移至方程的右边，两边分别除以108，得 由方程可知，
7、动圆圆心的轨迹是椭圆，它的长轴和短轴长分别为12，. 解法二：同解法一，得方程 由方程可知，动圆圆心到点和点距离的和是常数12，所以点的轨迹方程是焦点为、，长轴长等于12的椭圆. 并且这个椭圆的中心与坐标原点重合，焦点在轴上，于是可求出它的标准方程.因为 ，所以，所以.于是，动圆圆心的轨迹方程为.3、解：设是点到直线的距离，根据题意，所求轨迹就是集合 由此得 将上式两边平方，并化简，得 ，即 所以，点的轨迹是长轴、短轴长分别为8，的椭圆.（第4题）4、解：如图，由已知，得，. 因为是线段的四等分点， 是线段的四等分点， 所以，； . 直线的方程是； 直线的方程是. 联立这两个方程，解得 . 所
8、以，点的坐标是. 同样，点的坐标是，点的坐标是. 由作图可见，可以设椭圆的方程为 把点的坐标代入方程，并解方程组，得 ，. 所以经过点的椭圆方程为. 把点的坐标代入，得， 所以，点在上. 因此，点都在椭圆上.23双曲线练习（P55）1、（1）. （2）. （3）解法一：因为双曲线的焦点在轴上 所以，可设它的标准方程为 将点代入方程，得，即 又 解方程组 令，代入方程组，得 解得 ，或 第二组不合题意，舍去，得 所求双曲线的标准方程为解法二：根据双曲线的定义，有. 所以， 又，所以 由已知，双曲线的焦点在轴上，所以所求双曲线的标准方程为.2、提示：根据椭圆中和双曲线中的关系式分别求出椭圆、双曲线
9、的焦点坐标.3、由，解得，或练习（P61）1、（1）实轴长，虚轴长；顶点坐标为； 焦点坐标为；离心率.（2）实轴长，虚轴长；顶点坐标为； 焦点坐标为；离心率.（3）实轴长，虚轴长；顶点坐标为； 焦点坐标为；离心率.（4）实轴长，虚轴长；顶点坐标为； 焦点坐标为；离心率.2、（1）； （2）. 3、4、，渐近线方程为.5、（1）； （2）习题2.3 A组（P61）1、把方程化为标准方程，得. 因为，由双曲线定义可知，点到两焦点距离的差的绝对值等于16. 因此点到另一焦点的距离是17.2、（1）. （2）3、（1）焦点坐标为，离心率； （2）焦点坐标为，离心率；4、（1）. （2） （3）解：因为
10、，所以，因此. 设双曲线的标准方程为 ，或. 将代入上面的两个方程，得 ，或. 解得 （后一个方程无解）. 所以，所求的双曲线方程为.5、解：连接，由已知，得. 所以，. 又因为点在圆外，所以. 根据双曲线的定义，点的轨迹是以为焦点，为实轴长的双曲线.6、.习题2.3 B组（P62）1、2、解：由声速及两处听到爆炸声的时间差，可知两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以为焦点的双曲线上.使两点在轴上，并且原点与线段的中点重合，建立直角坐标系.设爆炸点的坐标为，则 .即 ，.又，所以，.因此，所求双曲线的方程为.3、4、解：设点，在双曲线上，且线段的中点为.设经过点的直线的方程为，即把代入双曲
11、线的方程得 （） 所以，由题意，得，解得 .当时，方程成为.根的判别式，方程没有实数解.所以，不能作一条直线与双曲线交于两点，且点是线段的中点.24抛物线练习（P67）1、（1）； （2）； （3）.2、（1）焦点坐标，准线方程； （2）焦点坐标，准线方程； （3）焦点坐标，准线方程； （4）焦点坐标，准线方程；3、（1），. （2）， 提示：由抛物线的标准方程求出准线方程. 由抛物线的定义，点到准线的距离等于9，（第2题）所以 ，.练习（P72）1、（1）； （2）；（3）； （4）.2、图形见右，的系数越大，抛物线的开口越大.3、解：过点且斜率为1的直线的方程 为 与抛物线的方程联立 解得
12、 ， 设，则.4、解：设直线的方程为.将代入抛物线方程，得，即.因为 ， 所以，因此，直线的方程为.习题2.4 A组（P73）1、（1）焦点坐标，准线方程；（2）焦点坐标，准线方程；（3）焦点坐标，准线方程；（4）焦点坐标，准线方程.2、（1）； （2），或3、解：由抛物线的方程，得它的准线方程为. 根据抛物线的定义，由，可知，点的准线的距离为. 设点的坐标为，则 ，解得. 将代入中，得. 因此，点的坐标为，.4、（1），； （2）（图略）5、解：因为，所以线段所在直线的斜率. 因此，直线的方程为 与抛物线联立，得 将代入得，解得， 把，分别代入得 ， 由第5题图知不合题意，所以点的坐标为.
13、因此，6、证明：将代入中，得， 化简得 ，解得 则 因为 ， 所以 （第8题） 所以 7、这条抛物线的方程是8、解：建立如图所示的直角坐标系，设拱桥抛物线的方程为，因为拱桥离水面2 m，水面宽4 m所以 ，因此，抛物线方程为 水面下降1 m，则，代入式，得，.这时水面宽为 m.习题2.2 B组（P74）1、解：设垂线段的中点坐标为，抛物线上相应点的坐标为.根据题意，代入，得轨迹方程为.由方程可知，轨迹为顶点在原点、焦点坐标为的抛物线.2、解：设这个等边三角形的顶点在抛物线上，且坐标分别为，则 ，.又，所以 即，因此，因为，所以由此可得，即线段关于轴对称.因为轴垂直于，且，所以.因为，所以，因此
14、.3、解：设点的坐标为由已知，得 直线的斜率 .直线的斜率 .由题意，得，所以，化简，得第二章 复习参考题A组（P80）1、解：如图，建立直角坐标系，使点在轴上，为椭圆的右焦点（记为左焦点）.（第1题）因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为.则 ，解得 ，所以 用计算器算得 因此，卫星的轨道方程是.2、解：由题意，得 ， 解此方程组，得因此卫星轨道的离心率.3、（1）； （2）.4、（1）当时，方程表示圆. （2）当时，方程化成. 方程表示焦点在轴上的椭圆. （3）当时，即，方程表示平行于轴的两条直线. （4）当时，因为，所以表示双曲线，其焦点在轴上. 而当时，方程表示等轴双曲线.5、解：
15、将代入方程得 即 令 ，解得，或因为，方程无解，即直线与双曲线没有公共点，所以，的取值范围为，或6、提示：设抛物线方程为，则点的坐标为，点的坐标为 设点的坐标为，则点的坐标为.因为，.所以，即是和的比例中项.7、解：设等边三角形的另外两个顶点分别是，其中点在轴上方.直线的方程为 与联立，消去，得 解方程，得 ， 把代入，得 .把代入，得 .所以，满足条件的点有两个，.根据图形的对称性，可得满足条件的点也有两个，所以，等边三角形的边长是，或者.8、解：设直线的方程为.把代入双曲线的方程，得. ， 由已知，得 把代入，解得 所以，直线的方程为9、解：设点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为.并设经过点
16、的直线的方程为，即.把代入双曲线的方程，得 . 所以，由题意，得，解得当时，方程成为 根的判别式，方程有实数解.所以，直线的方程为.10、解：设点的坐标为. 由已知，得 直线的斜率 直线的斜率 由题意，得. 所以，化简得，当时，点的轨迹是椭圆，或者圆，并除去两点；当时，点的轨迹是双曲线，并除去两点；11、解：设抛物线上的点的坐标为，则.点到直线的距离 .当时，的最小值是. 此时，点的坐标是.（第12题）12、解：如图，在隧道的横断面上，以拱顶为原点、拱高所在直线为轴（向上），建立直角坐标系.设隧道顶部所在抛物线的方程为 因为点在抛物线上 所以 解得 所以，隧道顶部所在抛物线的方程为. 设. 则
17、 把点的坐标代入方程，解得.答：车辆通过隧道的限制高度为3.2 m.第二章 复习参考题B组（P81）1、.2、解：由题意，得轴.把代入椭圆方程，解得 . 所以，点的坐标是 直线的斜率. 直线的斜率.由题意，得，所以，.由已知及，得 所以 ，解得 所以，因此，椭圆的方程为.3、解：设点的坐标，点的坐标.由，得.由已知，得直线的方程为. 则有 由与消去，得 ， 把代入，解得当时，方程成为，显然此方程有实数根. 所以，（第4题）4、解：如图，以连接的直线为轴，线段的中点为原点，建立直角坐标系.对于抛物线，有，所以，.对于双曲线，有解此方程组，得，因此，.所以，所求双曲线的方程是 .因为抛物线的顶点横
18、坐标是 所以，所求抛物线的方程是 答：抛物线的方程为，双曲线的方程是.5、解：设点的坐标为由已知，得 直线的斜率 直线的斜率 由题意，得，所以，化简，得所以，点轨迹方程是.6、解：（1）当时，方程表示轴；（2）当时，方程表示轴；（3）当时，把方程写成 .当时，方程表示椭圆； 时，方程表示圆；当，或时，方程表示双曲线.（第7题）7、以为直径的圆与抛物线的准线相切.证明：如图，过点分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为.由抛物线的定义，得 ，.所以，.设的中点为，且过点作抛物线的准线的垂线，垂足为.显然轴，所以，是直角梯形的中位线. 于是，.因此，点在以为直径的圆上.又，所以，以为直径的圆与抛物线的准线相切.类似地，可以证明：对于椭圆，以经过焦点的弦为直径的圆与相应的准线相离；对于双曲线，以经过焦点的弦为直径的圆与相应的准线相交.新课程标准数学选修21第二章课后习题解答（第20页共19页）
