1、第二节不等式的证明A级基础过关|固根基|1.已知函数f(x)|x|x3|.(1)解关于x的不等式f(x)5x；(2)设m，ny|yf(x)，试比较mn4与2(mn)的大小解：(1)f(x)|x|x3|f(x)5x，即或或解得x或x或x8，所以不等式的解集为8，)(2)由(1)易知f(x)3，所以m3，n3.由于2(mn)(mn4)2mmn2n4(m2)(2n)，且m3，n3，所以m20，2n0.即(m2)(2n)0，所以2(mn)mn4.2设a，b，c均为正数，且abc1，证明：(1)abbcca；(2)1.证明：(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca，得a2b2c2abbcc
2、a，当且仅当abc时取“”由题设得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因为b2a，c2b，a2c，当且仅当abc时取“”，故(abc)2(abc)，则abc.所以1.3求证：2.证明：因为，所以1122.4(2023年届长春市质量检测(二)已知函数f(x)|2x3|3x6|.(1)求f(x)2的解集；(2)若f(x)的最小值为T，正数a，b满足ab，求证：T.解：(1)f(x)|2x3|3x6|其图象如图，由图象可知：f(x)2的解集为.(2)证明：由图象可知f(x)的最小值为1，由基本不等式可知 ，当且仅当ab时“”成立，即1T
3、.B级素养提升|练能力|5.已知a，b，c为正数，函数f(x)|x1|x5|.(1)求不等式f(x)10的解集；(2)若f(x)的最小值为m，且abcm，求证：a2b2c212.解：(1)f(x)10，|x1|x5|10，则或或解得3x1或1x5或5x7，不等式f(x)10的解集为x|3x7(2)证明：f(x)|x1|x5|(x1)(x5)|6，m6，即abc6.证法一：a2b22ab，a2c22ac，c2b22cb，2(a2b2c2)2(abacbc)，3(a2b2c2)a2b2c22ab2ac2bc(abc)2，a2b2c212，当且仅当abc2时等号成立证法二：由柯西不等式得(12121
4、2)(a2b2c2)(abc)2，3(a2b2c2)36，a2b2c212，当且仅当abc2时等号成立6已知函数f(x)|2x3|2x1|的最小值为M.(1)若m，nM，M，求证：2|mn|4mn|；(2)若a，b(0，)，a2bM，求的最小值解：(1)证明：f(x)|2x3|2x1|2x3(2x1)|2，M2.要证明2|mn|4mn|，只需证明4(mn)2(4mn)2，4(mn)2(4mn)24(m22mnn2)(168mnm2n2)(m24)(4n2)，又m，n2，2，m2，n20，4，(m24)(4n2)0，4(mn)2(4mn)20，4(mn)2(4mn)2，原不等式2|mn|4mn|
5、成立(2)由(1)得，a2b2，因为a，b(0，)，所以(a2b)2242 4，当且仅当a1，b时，等号成立所以的最小值为4.7已知函数f(x)x1|3x|(x1)(1)求不等式f(x)6的解集；(2)若f(x)的最小值为n，正数a，b满足2naba2b，求证：2ab.解：(1)根据题意，若f(x)6，则有或解得1x4，故原不等式的解集为x|1x4(2)证明：函数f(x)x1|3x|分析可得f(x)的最小值为4，即n4，则正数a，b满足8aba2b，则8，2ab(2ab)52 ，原不等式得证8(2023年年全国卷)设x，y，zR，且xyz1.(1)求(x1)2(y1)2(z1)2的最小值；(2
6、)若(x2)2(y1)2(za)2成立，证明：a3 或a1.解：(1)由于(x1)(y1)(z1)2(x1)2(y1)2(z1)22(x1)(y1)(y1)(z1)(z1)(x1)3(x1)2(y1)2(z1)2，故由已知得(x1)2(y1)2(z1)2，当且仅当x，y，z时等号成立所以(x1)2(y1)2(z1)2的最小值为.(2)证明：由于(x2)(y1)(za)2(x2)2(y1)2(za)22(x2)(y1)(y1)(za)(za)(x2)3(x2)2(y1)2(za)2，故由已知得(x2)2(y1)2(za)2，当且仅当x，y，z时等号成立因此(x2)2(y1)2(za)2的最小值为.由题设知，解得a3或a1.- 5 -
