1、高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学大 学 数 学（一）第二十讲 泰勒中值定理脚本编写：刘楚中教案制作：刘楚中湖南大学高等数学第四章 一元函数的导数与微分本章学习要求：理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可导、可微、连续之间的关系。熟悉一阶微分形式不变性。熟悉导数和微分的运算法则，能熟练运用求导的基本公式、复合函数求导法、隐函数求导法、反函数求导法、参数方程求导法、取对数求导法等方法求出函数的一、二阶导数和微分。了解 n 阶导数的概念，会求常见函数的 n 阶导数。熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理，并能较好运用上述定理解决有关问题（函数方程求解、
2、不等式的证明等）。掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限。第七节 泰勒中值定理第四章 一元函数的导数与微分一.带皮亚诺余项的泰勒公式二.带拉格朗日余项的泰勒公式三.泰勒公式的几何应用泰勒中值定理泰勒中值定理的产生：微 分带皮亚诺余项的泰勒公式拉格朗日中值定理泰勒公式带拉格朗日余项的泰勒公式还有带其它余项的,)1,2 ,1 ,0()(U()(0=nkxCxfk设 ,)(0)(则在该邻域内有存在xfn)(o)(!)()(0000)(nknkkxxxxkxfxf+=)()(000 xxxfxf+=200)(!2)(xxxf+nnxxnxf)(!)(00)(+)o(0nxx+.公式阶带皮亚诺
3、余项的泰勒该公式称为n一.带皮亚诺余项的泰勒公式)(o!)0()(0)(nknkkxxkfxf+=xff)0()0(+=2!2)0(xf +nnxnf!)0()(+)(onx+带皮亚诺余项的马克劳林公式 .0 0时的泰勒公式就是=x)()()(000 xxxfxfxf+=)(o)(2)(20200 xxxxxf+)o()(30303xxxxa+?3=a30303200000)()()(2)()()()(lim0 xxxxaxxxfxxxfxfxfxx 0=运用罗必达法则计算极限.20203000)(3)(3)()()(lim00 xxxxaxxxfxfxfxx=)(23)(23)()(lim0
4、0300 xxxxaxfxfxx =300)(23)()(lim0axxxfxfxx.!3)(,)(030 xfaxf =则存在若200000)(!2)()()()(xxxfxxxfxfxf+=)(o)(!3)(30300 xxxxxf+该公式称为带皮亚诺余项的三阶泰勒公式.仿照以上的做法,继续进行下去,即可得到一般的带皮亚诺余项的n 阶泰勒公式.,),2 ,1 ,0()(U()(0nkxCxfk=设,)()1(存在xfn+则在该邻域内有)()(!)()(000)(xRxxkxfxfnknkk+=)(!)1()()(10)1(+=nnnxxnfxR其中),(0之间在xx .阶拉格朗日余项称为n
5、二.带拉格朗日余项的泰勒公式 .勒公式阶带拉格朗日余项的泰该公式称为n则通常可记,1)(0 )(00+=xxx)()()(000 xxxfxfxf+=200)(!2)(xxxf+nnxxnxf)(!)(00)(+1000)1()(!)1()(+nnxxnxxxf)10(0 xx)(!)0()(0)(xRxkfxfnknkk+=xff)0()0(+=2!2)0(xf +nnxnf!)0()(+1)1(!1)()(+nnxnxf带拉格朗日余项的马克劳林公式)10(.0 0时的泰勒公式就是=x设带拉格朗日余项的二阶泰勒公式为)()(!2)()()()(2200000 xRxxxfxxxfxfxf+=
6、)o()(0)()(lim2022020 xxxRxxxRxx=,)()()(1302xxxxR=.)(1从而是待定函数其中x200000)(!2)()()()(xxxfxxxfxfxf+=不妨设与带皮亚诺余项的二阶泰勒公式比较,此时应有)()(130 xxx+,)()(!2)()()()()(302000001xxxxxfxxxfxfxfx=,令如果,)()(301xxxG=;0)(,0)(0101=xGxF则;0)(,0)(0101=xGxF,0)(,0)(0101=xGxF满足柯西假设)(),(),(,)(,)(,)(111111xGxFxGxFxGxF 由于,)(!2)()()()()
7、(2000001xxxfxxxfxfxfxF=,中值定理条件)()()()()()()()()(1111011011111GFxGxGxFxFxGxFx=则)()()()()()(1101110111GFxGGxFF =200000)(!2)()()()(xxxfxxxfxfxf+=故),(0之间在xx.)(!3)()(302为二阶拉格朗日余项xxfxR =,!3)()()()()()()(1101110111fGFxGGxFF =30)(!3)(xxf +,)1,2 ,1 ,0()(U()(0=nkxCxfk设 ,)(0)(则在该邻域内有存在xfn)(o)(!)()(0000)(nknkkx
8、xxxkxfxf+=)()(000 xxxfxf+=200)(!2)(xxxf+nnxxnxf)(!)(00)(+)o(0nxx+.公式阶带皮亚诺余项的泰勒该公式称为n带皮亚诺余项的泰勒公式,),2 ,1 ,0()(U()(0nkxCxfk=设,)()1(存在xfn+则在该邻域内有)()(!)()(000)(xRxxkxfxfnknkk+=)(!)1()()(10)1(+=nnnxxnfxR其中),(0之间在xx .阶拉格朗日余项称为n带拉格朗日余项的泰勒公式 .勒公式阶带拉格朗日余项的泰该公式称为n.)(阶泰勒公式的带皮亚诺余项的求nexfx=xnexfxfxf=)()()()(1)0()0
9、()0(=）（nfff)(o!3!21 32nnxxnxxxxe+=故 ,1 ,得时当特别地=x)1(o!1!31!2111+=nee 的近似计算公式 !1)(1+nxxne估计误差解例1.sin)(阶马克劳林公式的求nxxf=)()(2sin)()(Nnnxxfn+=)(12 ,)1(2 ,0 )0(1)(Nmmnmnfmn=xffxf)0()0()(+=2!2)0(xf +nnxnf!)0()(+1)1(!1)()(+nnxnxf)10(解例2泰勒公式1!)1(2)1(sin)(+=nnxnnxxR）（xx=sin 故!33x!55x+!77x!)12()1(121+mxmmnxnn!2s
10、in+其中,展开式的具体形式与n 的奇偶性有关.)(xRn+)10(,)12 (2时或=mnmnxx=sin!33x!55x+!77x!)12()1(121+mxmm)(2xRm+?)(12xRm为什么不是122!)12(2)12(sin)(+=mmxmmxxR）（其中,)10(处在由于 0 sin 0=xx的偶数阶导数为零,故一般将展至偶数项,以提高精度.xsin.cos)(阶马克劳林公式的求nxxf=)()(2cos)()(Nnnxxfn+=)(2 ,)1(12 ,0 )0()(Nmmnmnfmn=xffxf)0()0()(+=2!2)0(xf +nnxnf!)0()(+1)1(!1)()
11、(+nnxnxf)10(泰勒公式解例31!)1(2)1(cos)(+=nnxnnxxR）（1cos =x故!22x!44x+!66x!)2()1(2mxmm+nxnn!2cos+其中,展开式的具体形式与n 的奇偶性有关.)(xRn+)10(,)12 (2时或+=mnmn1cos=x!22x!44x+!66x!)2()1(2mxmm+)(12xRm+?)(2xRm为什么不是2212!)22(2)22(cos)(+=mmxmmxxR）（其中,)10(处在由于 0 cos 0=xx的奇数阶导数为零,故一般将xcos展至奇数项,以提高精度.实际应用中,计算xxcos ,sin的近似值时,均展开到 2m
12、 阶马克劳林公式,即有!)12()1(!5!3sin12153+mxxxxxmm!)2()1(!4!21cos242mxxxxmm+)(Nm它们的误差估计式均为!)12(|)(|122+mxxRmm.)1ln()(阶马克劳林公式的求nxxf+=)()(1!)1()1()(1)(Nnxnxfnnn+=0)0(,!)1()1()0(1)(=fnfnn)()1(32)1ln(132xRnxxxxxnnn+=+故1)(0 ,)1(11)1()(,11+=+nnnnxnxxR式中)1(x请自己算一下解例4近似上用一个三次多项式来在 41 ,0 .,1)(3并估计误差+=xxxf的二阶马克劳林公式为 11
13、3+=xy310332231)1(3 !3741 3 !24131)1(+=+xxxx),0(x为什么只要二阶？)(2xRyxxf=)(解例541 ,0 ,9231 323+xxxxxx故误差为)1(3 !3741 31033xx+331000068.04413 !374)(?|)(|2xRx.),(,621 32+xxxxex证明：,0 时=x该式中等号成立.,0 时x由泰勒(马克劳林)公式)(!3!21332xRxxxex+=0!4)(43=exxR)0 (之间与在x.621 ,32xxxex+此时综上所述,即得所证.例6证例7.)1(的幂的多项式为+x表示将多项式 2531)(32xxx
14、xp+=解 ,1 0则令=x,22)1(,13)1(,5)1(=ppp),4(0)1(,12)1()(=kppk得由泰勒公式 ,32)1(!312)1(!222)1(135)(+=xxxxp .)1(2)1(11)1(13532+=xxx三次多项式例8解.3 ln)(0阶泰勒公式余项的处展开为带拉格朗日在点将nxxxf=)331 ln(3ln)3(3lnln)(+=+=xxxxf ,33 则由记=xu)1()()1()1ln(11+=+=xxRkxunnkkk=+=+=nknkkuRkuuxf11 )()1(3ln)1ln(3ln)(得 )1()3()1()3(31)1(3ln1111+=+=
15、nnnknkkknxxk )3 (之间和介于其中x 4 参看例例9解.4 0 cos)(0阶泰勒公式亚诺余项的处的带皮在点求函数=xxxf ,)1(cos1 cos)(21及由+=xxxf )o(81211)1(2221得uuuu+=+21)1(cos1 cos)(+=xxxf )1o(cos)1(cos81)1(cos21122+=xx例10证 .|)()(|)(4|)(|),(:,0)()(,),(),()(2afbfabfbabfafbabaCxf=使得证明且满足内可导在设 ,2 0由泰勒公式记bax+=,)(!2)()()()(201000 xafxaxfxfaf+=,)(!2)()(
16、)()(202000 xbfxbxfxfbf+=.),();,(,0201bxxa其中 4)()()(,22020得由两式相减abxbxa=,)()(81)()(221abffafbf =).()()()()(8 212ffafbfab =即|)(|)(|)()(|2121ffff+由,|)(|,|)(|max2 21ff ,|)(|,|)(|max|)(|21则有记fff =).,()()()(4|)(|2baafbfabf 例11证 ,2 0由泰勒公式记bax+=,)(!2)()()()(201000 xafxaxfxfaf+=,)(!2)()()()(202000 xbfxbxfxfbf+=两式相加得,2)()(4)(22)()(212+=+ffabbafafbf,),(),()(内二阶可导在设babaCxf ),(使得证明至少存在一点ba).(4)(22)()(2fabbafafbf=+),()(21则由达布中值定理得若ff ),(4)(22)()(2fabbafafbf=+).,(),();,();,(,210201babxxa其中 .),()(2121即得所证或则取若=ff
