1、近世代数期末考试模拟试卷及答案班别_ 姓名_ 成绩_要求： 1、本卷考试形式为闭卷，考试时间为1.5小时。2、考生不得将装订成册的试卷拆散，不得将试卷或答题卡带出考场。3、考生只允许在密封线以外答题，答在密封线以内的将不予评分。4、考生答题时一律使用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔（制图、制表等除外）。5、考生禁止携带手机、耳麦等通讯器材。否则，视为为作弊。6、不可以使用普通计算器等计算工具。一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、设G 有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（
2、 ）是子群。A、 B、 C、 D、2、下面的代数系统（G，*）中，（ ）不是群 A、G为整数集合，*为加法 B、G为偶数集合，*为加法 C、G为有理数集合，*为加法 D、G为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（ ）A、a*b=a-bB、a*b=maxa,b C、 a*b=a+2b D、a*b=|a-b|4、设、是三个置换，其中=（12）（23）（13），=（24）（14），=（1324），则=（ ）A、 B、 C、 D、5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。A、不可能是群B、不一定是群C、一定是群 D、 是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共
3、30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、凯莱定理说：任一个子群都同一个-同构。2、一个有单位元的无零因子-称为整环。3、已知群中的元素的阶等于50，则的阶等于-。4、a的阶若是一个有限整数n，那么G与-同构。5、A=1.2.3 B=2.5.6 那么AB=-。6、若映射既是单射又是满射，则称为-。7、叫做域的一个代数元，如果存在的-使得。8、是代数系统的元素，对任何均成立，则称为-。9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合作成一个群，如果满足对于乘法封闭；结合律成立、-。10、一个环R对于加法来作成一个循环群，则P是-。三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30
4、分）1、设集合A=1,2,3G是A上的置换群，H是G的子群，H=I,(1 2)，写出H的所有陪集。2、设E是所有偶数做成的集合，“”是数的乘法，则“”是E中的运算，（E，）是一个代数系统，问（E，）是不是群，为什么？3、a=493, b=391, 求(a,b), a,b 和p, q。四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、若是群，则对于任意的a、bG，必有惟一的xG使得a*xb。2、设m是一个正整数，利用m定义整数集Z上的二元关系：ab当且仅当mab。近世代数模拟试题 参考答案一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)。1、C；2、D；3、B；4、B
5、；5、A；二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)。1、变换群；2、交换环；3、25；4、模n乘余类加群；5、2；6、一一映射；7、不都等于零的元；8、右单位元；9、消去律成立；10、交换环；三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、解：H的3个右陪集为：I,(1 2)，(1 2 3 )，(1 3)，(1 3 2 )，(2 3 )H的3个左陪集为：I,(1 2) ，(1 2 3 )，(2 3)，(1 3 2 )，(1 3 )2、答：（E，）不是群，因为（E，）中无单位元。3、解 方法一、辗转相除法。列以下算式：a=b+102b=3102+85102=185+17 由此得
6、到 (a,b)=17, a,b=ab/17=11339。然后回代：17=102-85=102-(b-3102)=4102-b=4(a-b)-b=4a-5b.所以 p=4, q=-5.四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、证明 设e是群的幺元。令xa1*b，则a*xa*(a1*b)(a*a1)*be*bb。所以，xa1*b是a*xb的解。若xG也是a*xb的解，则xe*x(a1*a)*xa1*(a*x)a1*bx。所以，xa1*b是a*xb的惟一解。2、容易证明这样的关系是Z上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合记为Zm，每个整数a所在的等价类记为a=xZ；m
7、xa或者也可记为，称之为模m剩余类。若mab也记为ab(m)。当m=2时，Z2仅含2个元：0与1。近世代数模拟试题一、 单项选择题1、设G 有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（ ）是子群。A、 B、 C、 D、2、下面的代数系统（G，*）中，（ ）不是群 A、G为整数集合，*为加法 B、G为偶数集合，*为加法 C、G为有理数集合，*为加法 D、G为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（ ）A、a*b=a-bB、a*b=maxa,b C、 a*b=a+2b D、a*b=|a-b|4、设、是三个置换，其中=（12）（23）（13），=（24）（14），=（13
8、24），则=（ ）A、 B、 C、 D、5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。A、不可能是群B、不一定是群C、一定是群 D、 是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、凯莱定理说：任一个子群都同一个-同构。2、一个有单位元的无零因子-称为整环。3、已知群中的元素的阶等于50，则的阶等于-。4、a的阶若是一个有限整数n，那么G与-同构。5、A=1.2.3 B=2.5.6 那么AB=-。6、若映射既是单射又是满射，则称为-。7、叫做域的一个代数元，如果存在的-使得。8、是代数系统的元素，对任何均成立，则称为-。9、有限群
9、的另一定义：一个有乘法的有限非空集合作成一个群，如果满足对于乘法封闭；结合律成立、-。10、一个环R对于加法来作成一个循环群，则P是-。三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设集合A=1,2,3G是A上的置换群，H是G的子群，H=I,(1 2)，写出H的所有陪集。2、 设E是所有偶数做成的集合，“”是数的乘法，则“”是E中的运算，（E，）是一个代数系统，问（E，）是不是群，为什么？3、 a=493, b=391, 求(a,b), a,b 和p, q。四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、若是群，则对于任意的a、bG，必有惟一的xG使得a*xb
10、。2、设m是一个正整数，利用m定义整数集Z上的二元关系：ab当且仅当mab。近世代数模拟试题 参考答案一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)。1、C；2、D；3、B；4、B；5、A；二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)。1、变换群；2、交换环；3、25；4、模n乘余类加群；5、2；6、一一映射；7、不都等于零的元；8、右单位元；9、消去律成立；10、交换环；三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、解：H的3个右陪集为：I,(1 2)，(1 2 3 )，(1 3)，(1 3 2 )，(2 3 )H的3个左陪集为：I,(1 2) ，(1 2 3 )，(
11、2 3)，(1 3 2 )，(1 3 )2、答：（E，）不是群，因为（E，）中无单位元。3、解 方法一、辗转相除法。列以下算式：a=b+102b=3102+85102=185+17 由此得到 (a,b)=17, a,b=ab/17=11339。然后回代：17=102-85=102-(b-3102)=4102-b=4(a-b)-b=4a-5b.所以 p=4, q=-5.四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、证明 设e是群的幺元。令xa1*b，则a*xa*(a1*b)(a*a1)*be*bb。所以，xa1*b是a*xb的解。若xG也是a*xb的解，则xe*x(a1*a)*xa1*(a*x)a1*bx。所以，xa1*b是a*xb的惟一解。2、容易证明这样的关系是Z上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合记为Zm，每个整数a所在的等价类记为a=xZ；mxa或者也可记为，称之为模m剩余类。若mab也记为ab(m)。当m=2时，Z2仅含2个元：0与1。
