1、能力升级练(二十一)参数方程与极坐标1.(2023福建福州高三第一学期质量抽测)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=3+tcos,y=y0+tsin(t为参数,为l的倾斜角),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线E的极坐标方程为=4sin ,直线=,=+3,=-3(R),与曲线E分别交于不同于极点O的三点A,B,C.(1)若323,求证:|OB|+|OC|=|OA|;(2)当=56时,直线l过B,C两点,求y0与的值.解(1)证明:依题意,|OA|=|4sin|,|OB|=4sin+3,|OC|=4sin-3,323,|OB|+|OC|=4sin+3+4sin-3=
2、4sin=|OA|.(2)当=56时,直线=+3与圆的交点B的极坐标为4sin76,76=-2,76=2,6,直线=-3与圆的交点C点的极坐标为4sin2,2=4,2,从而,B、C两点的直角坐标分别为:B(3,1),C(0,4),直线l的方程为y=-3x+4,所以,y0=1,=23.2.(2023河北衡水中学高三上学期七调)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=1+cos,y=sin(为参数),曲线C2的参数方程为x=cos,y=1+sin(为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C1和曲线C2的极坐标方程;(2)已知射线l1:=62,将射线l1顺
3、时针方向旋转6得到射线l2:=-6,且射线l1与曲线C1交于O、P两点,射线l2与曲线C2交于O,Q两点,求|OP|OQ|的最大值.解(1)曲线C1直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,所以C1极坐标方程为=2cos,曲线C2直角坐标方程为x2+(y-1)2=1,所以C2极坐标方程为=2sin.(2)设点P的极坐标为(1,),即1=2cos,设点Q的极坐标为2,-6,即2=2sin-6,则|OP|OQ|=12=2cos2sin-6=4cos32sin-12cos=23sincos-2cos2=3sin2-cos2-1=2sin2-6-1,62,62-60,得cos234,由根与系数的关系,得t
4、1+t2=-4cos,t1t2=3,由参数的几何意义知,|AP|=|t1|,|AQ|=|t2|,|PQ|=|t1-t2|,由题意知,(t1-t2)2=t1t2,则(t1+t2)2=5t1t2,得(-4cos)2=53,解得cos2=1516,满足cos234,所以sin2=116,tan2=115,所以直线l的斜率k=tan=1515.4.(一题多解)(2023河南郑州第一次质量预测)在平面直角坐标系xOy中,直线l过点(1,0),倾斜角为,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程是=8cos1-cos2.(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程;(2)若=
5、4,设直线l与曲线C交于A,B两点,求AOB的面积.解(1)由题知直线l的参数方程为x=1+tcos,y=tsin(t为参数).因为=8cos1-cos2,所以sin2=8cos,所以2sin2=8cos,即y2=8x.(2)方法一:当=4时,直线l的参数方程为x=1+22t,y=22t(t为参数),代入y2=8x可得t2-82t-16=0,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=82,t1t2=-16,所以|AB|=|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2=83.又点O到直线AB的距离d=1sin4=22,所以SAOB=12|AB|d=128322=26.方法二:当=4时,
6、直线l的方程为y=x-1,设M(1,0),A(x1,y1),B(x2,y2),由y2=8x,y=x-1,得y2=8(y+1),即y2-8y-8=0,由根与系数的关系得y1+y2=8,y1y2=-8,SAOB=12|OM|y1-y2|=121(y1+y2)2-4y1y2=1282-4(-8)=1246=26.5.(2023贵州贵阳模拟)在平面直角坐标系xOy中,曲线C:x=3cos,y=sin(为参数),在以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为22cos+4=-1.(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程;(2)过点M(-1,0)且与直线l平行的直线l1交曲线C于A,B两点,求点M到A,B两点的距离之和.解(1)曲线C的普通方程为x23+y2=1,由22cos+4=-1,得cos-sin=-2,所以直线l的直角坐标方程为x-y+2=0.(2)直线l1的参数方程为x=-1+22t,y=22t(t为参数),将其代入x23+y2=1中,化简得:2t2-2t-2=0,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=22,t1t2=-1,所以|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2=(22)2-4(-1)=322.6
