1、专题突破练15专题四数列过关检测一、选择题1.(2023四川峨眉山高三高考适应性考试)在等差数列an中,a3,a9是方程x2+24x+12=0的两根,则数列an的前11项和等于()A.66B.132C.-66D.-1322.设等比数列an的前n项和为Sn,S2=-1,S4=-5,则S6=()A.-9B.-21C.-25D.-633.(2023辽宁朝阳重点高中高三第四次模拟)在等比数列an中,a1a2=1,a3a6=9,则a2a4=()A.3B.3C.3D.34.数列an的首项a1=1,对于任意m,nN*,有an+m=an+3m,则an前5项和S5=()A.121B.25C.31D.355.(2
2、023山东潍坊高三5月三模)已知等差数列an的公差和首项都不为零,且a2,a4,a8成等比数列,则a1+a3a2+a4=()A.13B.23C.53D.26.设等差数列an的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=()A.3B.4C.5D.67.(2023山东省实验中学等四校高三联合考试)已知等差数列an的公差不为零,Sn为其前n项和,S3=9,且a2-1,a3-1,a5-1构成等比数列,则S5=()A.15B.-15C.30D.258.设等差数列an满足3a8=5a15,且a10,Sn为其前n项和,则数列Sn的最大项为()A.S23B.S24C.S25D.S269.(
3、2023北京通州区三模)三国时期著名的数学家刘徽对推导特殊数列的求和公式很感兴趣,创造并发展了许多算法,展现了其聪明才智.他在九章算术“盈不足”一章的第19题的注文中给出了一个特殊数列的求和公式.这个题的大意是:一匹良马和一匹驽马由长安出发至齐地,长安与齐地相距3 000里(1里=500米),良马第一天走193里,以后每天比前一天多走13里.驽马第一天走97里,以后每天比前一天少走半里.良马先到齐地后,马上返回长安迎驽马,问两匹马在第几天相遇()A.14天B.15天C.16天D.17天二、填空题10.已知数列an的前n项和为Sn,若Sn=2an-2n,则Sn=.11.(2023北京通州区三模)
4、设an是等比数列,且a2a4=a5,a4=27,则an的通项公式为.12.(2023广东深圳高级中学高三适应性考试)在数列an中,a1=12019,an+1=an+1n(n+1)(nN*),则a2 019的值为.三、解答题13.已知数列log2(an-1)(nN*)为等差数列,且a1=3,a3=9.(1)求数列an的通项公式;(2)证明:1a2-a1+1a3-a2+1an+1-ank),且该数列前三项依次为12x+1,10x,12x,又已知数列bn的前n项和为Sn,且b1=1,bn+1=Sn(n1),(1)求an,bn的通项公式;(2)令cn=anbn,求数列cn的前n项和Tn.2023学年参
5、考答案专题突破练15专题四数列过关检测1.D解析因为a3,a9是方程x2+24x+12=0的两根,所以a3+a9=-24.又a3+a9=-24=2a6,所以a6=-12.S11=11(a1+a11)2=112a62=-132.故选D.2.B解析由题意,S2=a1+a2=-1,S4-S2=a3+a4=(a1+a2)q2=-4,q2=4,S6=S2+S4q2=-1+(-5)4=-21.3.A解析设等比数列an的公比为q,因为a1a2=10,所以q0.又a3a6=9,所以a2a4=a1a3a2a6=9=3.故选A.4.D解析当m=1时,由an+m=an+3m,得an+1-an=3,数列an是首项a1
6、=1,公差d=3的等差数列,S5=51+12543=35.5.B解析设等差数列的首项为a1,公差为d,则a2=a1+d,a4=a1+3d,a8=a1+7d,因为a2,a4,a8成等比数列,故(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),整理得到d2=a1d.因为d0,所以d=a1,故an=na1.故a1+a3a2+a4=4a16a1=23.故选B.6.C解析Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,am=Sm-Sm-1=0-(-2)=2,am+1=Sm+1-Sm=3-0=3.d=am+1-am=3-2=1.Sm=ma1+m(m-1)21=0,a1=-m-12.又am+1=a1+m1=3,-m-1
7、2+m=3.m=5.故选C.7.D解析设等差数列an的公差为d(d0).由题意得,3a1+3d=9,(a1+2d-1)2=(a1+d-1)(a1+4d-1),解得a1=1,d=2.S5=51+5422=25.故选D.8.C解析设等差数列an的公差为d,3a8=5a15,3(a1+7d)=5(a1+14d),即2a1+49d=0.a10,d0,等差数列an单调递减.Sn=na1+n(n-1)2d=n-49d2+n(n-1)2d=d2(n-25)2-6252d.当n=25时,数列Sn取得最大值,故选C.9.C解析记良马每天所走路程构成的数列为an,驽马每天所走路程构成的数列为bn,由题意可得:an
8、=193+13(n-1)=180+13n,bn=97-12(n-1)=-12n+1952,设经过n天两匹马相遇,则有n(a1+an)2+n(b1+bn)26000,即n(193+180+13n)2+n(97+1952-n2)26000,整理得5n2+227n4800,当n16时满足题意,因此两匹马在第16天相遇.故选C.10.n2n解析Sn=2an-2n=2(Sn-Sn-1)-2n,整理得Sn-2Sn-1=2n,等式两边同时除以2n,则Sn2n-Sn-12n-1=1.又S1=2a1-2=a1,可得a1=S1=2,数列Sn2n是首项为1,公差为1的等差数列,所以Sn2n=n,所以Sn=n2n.1
9、1.an=3n-1,nN*解析设等比数列an的公比为q,因为a2a4=a5,a4=27,所以a4=a2q2=a5a4q2=q3=27,解得q=3,所以a1=a4q3=2727=1,因此,an=3n-1,nN*.故答案为an=3n-1,nN*.12.1解析因为an+1=an+1n(n+1)(nN*),所以an+1-an=1n(n+1)=1n-1n+1,a2-a1=1-12,a3-a2=12-13,a2023-a2023=12018-12019,累加,可得a2023-a1=1-12019,a2023-12019=1-12019,所以a2023=1.13.(1)解设等差数列log2(an-1)的公差
10、为d.由a1=3,a3=9,得log22+2d=log28,即d=1.log2(an-1)=1+(n-1)1=n,即an=2n+1.(2)证明1an+1-an=12n+1-2n=12n,1a2-a1+1a3-a2+1an+1-an=121+122+123+12n=12-12n121-12=1-12n1.14.解(1)设等差数列an的首项为a1,公差为d.由题意得a2=a1+d=4,a6=a1+5d=16,解得a1=1,d=3,故等差数列an的通项公式an=1+3(n-1)=3n-2.(2)设等比数列bn的公比为q.由题意得b3=b1q2=4,b5=b1q4=16,解得b1=1,q2=4,b2n
11、-1=b1q2n-2=b1(q2)n-1=4n-1,b1+b3+b5+b2n-1=1-4n1-4=4n-13.15.解(1)由题意知,数列an为等差数列.故12x+1+12x=20x,解得x=2.a1=4,d=1,an=n+3.由bn+1=Sn(n1)可知bn=Sn-1(n2),两式相减得bn+1=2bn(n2).当n=1时,b1=1.当n2时,b2=S1=b1=1,bn=b2qn-2=2n-2,当n=1时,b1=1不满足bn=2n-2.bn=1,n=1,2n-2,n2.(2)由题意知,当n=1时,c1=a1b1=41=4,当n2时,cn=(n+3)2n-2,得Tn=4+5+621+(n+3)2n-2,2Tn=8+521+(n+2)2n-2+(n+3)2n-1,两式相减得:-Tn=(1+21+22+2n-2)-(n+3)2n-1=1(1-2n-1)1-2-(n+3)2n-1=(-n-2)2n-1-1,n2时,Tn=(n+2)2n-1+1.当n=1时,T1=c1=4,符合上式.故数列cn的前n项和Tn=(n+2)2n-1+1.10
