1、能力升级练(二十六)数学文化一、选择题1.我国古代数学名著九章算术有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1 534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为()A.134石B.169石C.338石D.1 365石解析由分层抽样的含义,该批米内夹谷约为282541534169(石).答案B2.(2023江西红色七校联考)九章算术之后,人们学会了用等差数列的知识来解决问题,张丘建算经卷上第22题为:“今有女善织,日益功疾(注:从第2天开始,每天比前一天多织相同量的布),第一天织5尺布,现一月(按30天计)共织390尺布”,则从第2天起每天比前一天多织布的尺数是
2、()A.12B.815C.1631D.1629解析每天织布数依次构成一个等差数列an,其中a1=5,设该等差数列的公差为d,则一月织布总数为S30=305+30292d=150+435d=390,解之得d=1629.答案D3.(2023山东菏泽二模)欧阳修在卖油翁中写到:“(翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆其口,徐以杓酌油沥之,自钱孔入,而钱不湿”,可见卖油翁的技艺之高超,若铜钱直径4厘米,中间有边长为1厘米的正方形小孔,随机向铜钱上滴一滴油(油滴大小忽略不计),则油恰好落入孔中的概率是()A.2B.1C.12D.14解析易知铜钱的面积S=22=4,铜钱小孔的面积S0=1.根据几何概型,所求概率P
3、=S0S=14.答案D4.(2023河北衡水中学二调)算学启蒙是由中国元代数学家朱世杰撰写的一部数学启蒙读物,包括面积、体积、比例、开方、高次方程等.名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题:松长五尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序框图,若输入的a,b分别为5,2,则输出的n等于()A.2B.3C.4D.5解析当n=1时,a=152,b=4,满足进行循环的条件,当n=2时,a=454,b=8,满足进行循环的条件,当n=3时,a=1358,b=16,满足进行循环的条件,当n=4时,a=40516,b=32,不满足进行循环的条件,退出循环.故输出的n值为4.
4、答案C5.中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为:有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,请问第二天走了()A.192里B.96里C.48里D.24里解析依题意,6天中每天行走的路程构成一个等比数列,记为an,其中公比q=12.由题设有a11-1261-12=378,解得a1=192.则a2=a1q=19212=96.所以第二天走了96里.答案B6.(2023湖南郴州第二次质检)我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题
5、:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是()(注:平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;一尺等于十寸;台体的体积公式V=13(S上+S上S下+S下)h)A.2寸B.3寸C.4寸D.5寸解析易知水面半径是10寸,根据题意可得平地降雨量=139(102+10262+62)142=3,故选B.答案B7.我国南北朝时期数学家、天文学家祖暅,提出了著名的祖暅原理:“幂势即同,则积不容异”.“幂”是截面积,“势”是几何体的高,意思是两等高立方体,若在每一等高处的截面积都相等,则两立方体体积相等.已知某不规则几何体
6、与如图三视图所对应的几何体满足“幂势同”,则该不规则几何体的体积为()A.4-2B.8-43C.8-D.8-2解析由三视图知,该几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱.V正方体=23=8,V半圆柱=12(12)2=,三视图对应几何体的体积V=8-.根据祖暅原理,不规则几何体的体积V=V=8-.答案C8.(2023河南新乡三模)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有刍甍,下广三丈,袤四丈;上袤二丈,无广;高一丈,问:积几何?”其意思为:“今有底面为矩形的屋脊状的楔体,下底面宽3丈,长4丈;上棱长2丈,高1丈.问它的体积是多少?”已知1丈为10尺,现将该楔体的三视图给出如下
7、图所示,其中网格纸上小正方形的边长为1丈,则该楔体的体积为()A.5 000立方尺B.5 500立方尺C.6 000立方尺D.6 500立方尺解析该楔形的直观图如图中的几何体ABCDEF,取AB的中点G,CD的中点H,连接FG,GH,HF,则该几何体的体积为四棱锥F-GBCH与三棱柱ADE-GHF的体积之和,而三棱柱ADE-GHF可通过割补法得到一个高为EF,底面积为S=1231=32(平方丈)的一个直棱柱,故该楔形的体积V=322+13231=5(立方丈)=5000(立方尺).答案A9.(2015全国,文6)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八
8、尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有()A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛解析设圆锥的底面半径为R,高为h.米堆底部的弧长为8尺,142R=8,R=16.h=5,米堆的体积V=1413R2h=1121625.3,V3209(立方尺).堆放的米约有32091.6222(斛).答案B10.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,以其名命名的函数f(x)=1,x为有理数,0,x为无理数称为狄利
9、克雷函数,则关于函数f(x)有以下四个命题:f(f(x)=1;函数f(x)是偶函数;任意一个非零有理数T,f(x+T)=f(x)对任意xR恒成立;存在三个点A(x1,f(x1),B(x2,f(x2),C(x3,f(x3),使得ABC为等边三角形.其中真命题的个数是()A.4B.3C.2D.1解析由f(x)是有理数f(f(x)=1,故命题正确;易得f(-x)=f(x)f(x)是偶函数,故正确;易得f(x+T)=f(x)成立,故正确;取A1-33,0,B(1,1),C1+33,0,可得ABC为等边三角形,故正确,综上真命题的个数有4个.答案A二、填空题11.第24届国际数学家大会会标是以我国古代数
10、学家赵爽的弦图为基础进行设计的.如图所示,会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如果小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较大的锐角为,那么tan+4=.解析依题意得大、小正方形的边长分别是5,1,于是有5sin-5cos=102,则sin-cos=15.从而(sin+cos)2=2-(sin-cos)2=4925,则sin+cos=75,因此sin=45,cos=35,tan=43.故tan+4=tan+11-tan=-7.答案-712.数学与文学有许多奇妙的联系,如诗中有回文诗:“儿忆父兮妻忆夫”,既可以顺读也可以逆读.数学中有回文数,如343、12
11、521等,两位数的回文数有11、22、33、99共9个,则三位数的回文数中,偶数的概率是.解析三位数的回文数为ABA,A共有1到9共9种可能,即1B1、2B2、3B3、B共有0到9共10种可能,即A0A、A1A、A2A、A3A、共有910=90个,其中的偶数即为A是偶数,共4种可能,即2B2,4B4,6B6,8B8,B共有0到9共10种可能.共有410=40个,三位数的回文数中,偶数的概率P=4090=49.答案4913.九章算术中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题:“今有垣厚若干尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问何日相逢,各穿几何?”题意是:有两只老鼠从墙的
12、两边打洞穿墙,大老鼠第一天进一尺,以后每天加倍;小老鼠第一天也进一尺,以后每天减半,问几天两只老鼠能相遇,相遇时各自打了多少尺的墙.如果墙足够厚,Sn为前n天两只老鼠打洞长度之和,则Sn=尺.解析由题意可知大老鼠每天打洞的距离是以1为首项,以2为公比的等比数列,前n天打洞之和为1-2n1-2=2n-1,同理,小老鼠每天打洞的距离1-12n1-12=2-12n-1,所以Sn=2n-1+2-12n-1=2n-12n-1+1.答案2n-12n-1+114.九章算术是我国古代数学名著,书中有如下问题:“今有勾五步,股一十二步,问勾中容圆,径几何?”其意思为:“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步
13、,问其内切圆的直径为多少步?”现从该三角形内随机取一点,则此点取自内切圆的概率是.解析因为该直角三角形两直角边长分别为5步和12步,所以其斜边长为13步,设其内切圆的半径为r,则12512=12(5+12+13)r,解得r=2.由几何概型的概率公式,得此点取自内切圆内的概率P=412512=215.答案21515.(2023广西南宁质检)如图所示是毕达哥拉斯的生长程序:正方形上连接着等腰直角三角形,等腰直角三角形边上再连接正方形,如此继续,若共得到4 095个正方形,设初始正方形的边长为22,则最小正方形的边长为.解析依题意,正方形的边长构成以22为首项,公比为22的等比数列,因为共有4095
14、个正方形,则1+2+22+2n-1=4095,n=12.所以最小正方形的边长为222212-1=2212=164.答案164图116.在我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算法(1261年)一书中,用如图1所示的三角形,解释二项和的乘方规律.在欧洲直到1623年以后,法国数学家布莱士帕斯卡的著作(1655年)介绍了这个三角形.近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国,所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinese triangle).17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”如图2.在杨辉三角中相邻两行满足关系式:Cnr+Cnr+1=Cn+1r+1,其中n是行数,rN.请类比上式,在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是.图2解析类比观察得,将莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数1Cn+11,而相邻两项之和是上一行的两者相拱之数,故类比式子Cnr+Cnr+1=Cn+1r+1,有1Cn+21Cn+1r+1Cn+21Cn+1r+1=1Cn+11Cnr.答案1Cn+21Cn+1r+1Cn+21Cn+1r+1=1Cn+11Cnr11
