1、2023学年高考数学模拟测试卷考生请注意：1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若复数满足，复数的共轭复数是，则（ ）A1B0CD2已知复数，若，则的值为（ ）A1BCD3百年双中的校训是“仁”、“智”、“雅”、“和”.在2019年5月18日的高三趣味运动会中有这样的
2、一个小游戏.袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“仁”、“智”、“雅”、“和”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“仁”、“智”两个字都摸到就停止摸球.小明同学用随机模拟的方法恰好在第三次停止摸球的概率.利用电脑随机产生1到4之间（含1和4）取整数值的随机数，分别用1，2，3，4代表“仁”、“智”、“雅”、“和”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：141 432 341 342 234 142 243 331 112 322342 241 244 431 233 214 344 142 134 412由此可以估计，恰好第三次就停
3、止摸球的概率为（ ）ABCD4已知双曲线的离心率为，抛物线的焦点坐标为，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）ABCD5若集合，则=（ ）ABCD6已知ABC中，点P为BC边上的动点，则的最小值为（）A2BCD7已知集合，则（ ）ABCD8以下关于的命题，正确的是A函数在区间上单调递增B直线需是函数图象的一条对称轴C点是函数图象的一个对称中心D将函数图象向左平移需个单位，可得到的图象9如图，是圆的一条直径，为半圆弧的两个三等分点，则（ ）ABCD10过双曲线 的左焦点作直线交双曲线的两天渐近线于,两点，若为线段的中点，且（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）ABCD11设，集合，则（）ABCD12
4、已知ab0，c1，则下列各式成立的是（）AsinasinbBcacbCacbcD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积是_；最长棱的长度是_14的展开式中，若的奇数次幂的项的系数之和为32，则_15已知，分别为内角，的对边，则的面积为_.16已知，满足不等式组，则的取值范围为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）如图， 在四棱锥中， 底面， ， ，点为棱的中点.（1）证明：（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）若为棱上一点， 满足， 求二面角的余弦值.18（12分）如图，在三棱柱中，为的
5、中点，且.（1）求证：平面；（2）求锐二面角的余弦值.19（12分）某网络商城在年月日开展“庆元旦”活动，当天各店铺销售额破十亿，为了提高各店铺销售的积极性，采用摇号抽奖的方式，抽取了家店铺进行红包奖励.如图是抽取的家店铺元旦当天的销售额（单位：千元）的频率分布直方图.（1）求抽取的这家店铺，元旦当天销售额的平均值；（2）估计抽取的家店铺中元旦当天销售额不低于元的有多少家；（3）为了了解抽取的各店铺的销售方案，销售额在和的店铺中共抽取两家店铺进行销售研究，求抽取的店铺销售额在中的个数的分布列和数学期望.20（12分）已知函数，曲线在点处的切线在y轴上的截距为.（1）求a；（2）讨论函数和的单调
6、性；（3）设，求证：.21（12分）已知函数，（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围22（10分）已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；（2）设点，直线与曲线交于两点，求的值.2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【答案解析】根据复数代数形式的运算法则求出，再根据共轭复数的概念求解即可【题目详解】解：，则，故选：C【答案点睛】
7、本题主要考查复数代数形式的运算法则，考查共轭复数的概念，属于基础题2、D【答案解析】由复数模的定义可得：，求解关于实数的方程可得：.本题选择D选项.3、A【答案解析】由题意找出满足恰好第三次就停止摸球的情况，用满足恰好第三次就停止摸球的情况数比20即可得解.【题目详解】由题意可知当1，2同时出现时即停止摸球，则满足恰好第三次就停止摸球的情况共有五种：142，112，241，142，412.则恰好第三次就停止摸球的概率为.故选：A.【答案点睛】本题考查了简单随机抽样中随机数的应用和古典概型概率的计算，属于基础题.4、A【答案解析】求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的离心率，然后求解a，b关系，即可
8、得到双曲线的渐近线方程【题目详解】抛物线y22px（p0）的焦点坐标为（1，0），则p2，又ep，所以e2，可得c24a2a2+b2，可得：ba，所以双曲线的渐近线方程为：y故选：A【答案点睛】本题考查双曲线的离心率以及双曲线渐近线方程的求法，涉及抛物线的简单性质的应用5、C【答案解析】求出集合，然后与集合取交集即可【题目详解】由题意，则，故答案为C.【答案点睛】本题考查了分式不等式的解法，考查了集合的交集，考查了计算能力，属于基础题6、D【答案解析】以BC的中点为坐标原点，建立直角坐标系，可得，设，运用向量的坐标表示，求得点A的轨迹，进而得到关于a的二次函数，可得最小值【题目详解】以BC的中
9、点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，可得，设，由，可得，即，则，当时，的最小值为故选D【答案点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，考查转化思想和二次函数的值域解法，考查运算能力，属于中档题7、B【答案解析】求出集合，利用集合的基本运算即可得到结论.【题目详解】由，得，则集合，所以，.故选：B.【答案点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用函数的性质求出集合是解决本题的关键，属于基础题.8、D【答案解析】利用辅助角公式化简函数得到，再逐项判断正误得到答案.【题目详解】A选项，函数先增后减，错误B选项，不是函数对称轴，错误C选项，不是对称中心，错误D选项，图象向左平移需个单位得到，正确故答案选D【答案
10、点睛】本题考查了三角函数的单调性，对称轴，对称中心，平移，意在考查学生对于三角函数性质的综合应用，其中化简三角函数是解题的关键.9、B【答案解析】连接、，即可得到，再根据平面向量的数量积及运算律计算可得；【题目详解】解：连接、，是半圆弧的两个三等分点， ，且，所以四边形为棱形，故选：B【答案点睛】本题考查平面向量的数量积及其运算律的应用，属于基础题.10、C【答案解析】由题意可得双曲线的渐近线的方程为.为线段的中点，则为等腰三角形.由双曲线的的渐近线的性质可得，即.双曲线的离心率为故选C.点睛：本题考查了椭圆和双曲线的定义和性质，考查了离心率的求解，同时涉及到椭圆的定义和双曲线的定义及三角形的
11、三边的关系应用，对于求解曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出 ，代入公式；只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)11、B【答案解析】先化简集合A,再求.【题目详解】由 得： ，所以 ，因此 ，故答案为B【答案点睛】本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.12、B【答案解析】根据函数单调性逐项判断即可【题目详解】对A,由正弦函数的单调性知sina与sinb大小不确定，故错误；对B,因为ycx为增函数，且ab，所以cacb，正确对C,因为yxc为增函数,故
12、，错误；对D, 因为在为减函数，故 ，错误故选B【答案点睛】本题考查了不等式的基本性质以及指数函数的单调性，属基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、 【答案解析】由三视图还原原几何体，该几何体为四棱锥，底面为直角梯形，侧棱底面，由棱锥体积公式求棱锥体积，由勾股定理求最长棱的长度【题目详解】由三视图还原原几何体如下图所示：该几何体为四棱锥，底面为直角梯形，侧棱底面，则该几何体的体积为，因此，该棱锥的最长棱的长度为.故答案为：；.【答案点睛】本题考查由三视图求体积、棱长，关键是由三视图还原原几何体，是中档题14、【答案解析】试题分析：由已知得，故的展开式中x的奇数次幂项分别为
13、，其系数之和为，解得考点：二项式定理15、【答案解析】根据题意，利用余弦定理求得，再运用三角形的面积公式即可求得结果.【题目详解】解：由于，由余弦定理得，解得，的面积.故答案为：.【答案点睛】本题考查余弦定理的应用和三角形的面积公式，考查计算能力.16、【答案解析】画出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，易知在点处取得最小值，即，所以由图可知的取值范围为三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析 （2） （3）【答案解析】（1）根据题意以为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并表示出，由空间向量数量积运算即可证明.（2）先求得平面的
14、法向量，即可求得直线与平面法向量夹角的余弦值，即为直线与平面所成角的正弦值；（3）由点在棱上，设，再由，结合，由空间向量垂直的坐标关系求得的值.即可表示出.求得平面和平面的法向量，由空间向量数量积的运算求得两个平面夹角的余弦值，再根据二面角的平面角为锐角即可确定二面角的余弦值.【题目详解】（1）证明：底面，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，点为棱 的中点，.（2）,设平面的法向量为.则，代入可得，令解得，即，设直线与平面所成角为，由直线与平面夹角可知 所以直线与平面所成角的正弦值为.（3），由点在棱上，设，故，由，得，解得，即，设平面的法向量为，由，得，令，则取平面的法向量，则二面角的平面角满足，
