1、课时作业64离散型随机变量的均值与方差 基础达标12023年湖北黄冈调研已知6只小白鼠中有1只感染了病毒，需要对6只小白鼠进行病毒DNA化验来确定哪一只受到了感染下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定感染病毒的小白鼠为止方案乙：将6只小白鼠分为两组，每组三只，将其中一组的三只小白鼠的待化验物质混合在一起化验，若化验结果显示含有病毒DNA，则表明感染病毒的小白鼠在这三只当中，然后逐个化验，直到确定感染病毒的小白鼠为止；若化验结果显示不含病毒DNA，则在另外一组中逐个进行化验(1)求执行方案乙化验次数恰好为2次的概率；(2)若首次化验的化验费为10元，第二次化验的化验费为8元，第三次及以
2、后每次化验的化验费都是6元，求方案甲所需化验费的分布列和期望解析：(1)执行方案乙化验次数恰好为2次的情况分两种：第一种，先化验一组，结果显示不含病毒DNA，再从另一组中任取一只进行化验，其恰含有病毒DNA，此种情况的概率为，第二种，先化验一组，结果显示含病毒DNA，再从中逐个化验，恰好第一只含有病毒，此种情况的概率为.所以执行方案乙化验次数恰好为2次的概率为.(2)设用方案甲化验需要的化验费为(单位：元)，则的可能取值为10,18,24,30,36.P(10)，P(18)，P(24)，P(30)，P(36)，则化验费的分布列为1018243036P所以E()1018243036(元)2202
3、3年重庆第一次质量调研抽测自来水公司对某镇居民用水情况进行调查，从该镇居民中随机抽取50户作为样本，得到他们10月份的用水量(单位：吨)，用水量分组区间为5,15，(15,25，(25,35，(35,45，由此得到样本的用水量频率分布直方图如图(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(1)求a的值，并根据样本数据，估计该镇居民10月份用水量的众数与平均值；(2)以样本的频率作为概率，从该镇居民中随机抽取3户，其中10月份用水量在5,15内的用户数为X，求X的分布列和数学期望解析：(1)由题意得，(0.020.032a0.018)10 1，解得a0.03.由频率分布直方图可知该镇居民10月份用
4、水量的众数为20吨50户居民10月份用水量的平均值0.2100.3220 0.3300.184024.6(吨)，故估计该镇居民10月份用水量的平均值为24.6吨(2)利用样本估计总体，该镇居民10月份用水量在5,15内的概率为0.2，则XB，X0,1,2,3.P(X0)C3；P(X1)C2；P(X2)C2；P(X3)C3.X的分布列为X0123PE(X)0123.32023年河北武邑中学期末我国城市空气污染指数范围及相应的空气质量类别如下表：空气污染指数05051100101150151200201250251300300空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重污染我们把空气污染指数在
5、0100内的称为A类天，在101200内的称为B类天，大于200的称为C类天某市从2014年全年空气污染指数的监测数据中随机抽取了18天的数据制成如下茎叶图(百位为茎)：(1)从这18天中任取3天，求至少含2个A类天的概率；(2)从这18天中任取3天，记X是达到A类天或B类天的天数，求X的分布列及数学期望解析：(1)从这18天中任取3天，取法种数为C816，3天中至少有2个A类天的取法种数为CCC46，所以这3天至少有2个A类天的概率为.(2)X的所有可能取值是3,2,1,0.当X3时，P(X3)，当X2时，P(X2)，当X1时，P(X1)，当X0时，P(X0).所以X的分布列为X3210P数
6、学期望E(X)3210.42023年山东淮坊检测某钢铁加工厂新生产一批钢管，为了了解这批产品的质量状况，检验员随机抽取了100根钢管作为样本进行检测，将它们的内径尺寸(单位：mm)作为质量指标值，由检测结果得如下频率分布表和频率分布直方图：分组频数频率25.0525.1520.0225.1525.2525.2525.351825.3525.4525.4525.5525.5525.65100.125.6525.7530.03合计1001(1)求a，b；(2)质量标准规定：钢管内径尺寸大于或等于25. 75 mm或小于25.15 mm均为不合格，在25.15 ,25.35)或25.45,25.75
7、)内为合格，在25.35,25.45)内为优等把样本的频率分布作为这批钢管的概率分布若从这批钢管中随机抽取3根，求优等钢管的根数X的分布列和数学期望解析：(1)由题意知，b0.11.8，所以(a2.31.81.410.30.2)0.11，得a3.(2)由(1)知，优等钢管的概率为0.3，则X所有可能的取值为0,1,2,3，P(X0)C0.730.343，P(X1)C0.720.30.441，P(X2)C0.70.320.189，P(X3)C0.330.027，故X的分布列为X0123P0.3430.4410.1890.027E(X)00.34310.44120.18930.0270.9.520
8、23年南昌市高三模拟随着改革开放的深入，许多家庭作坊式企业渐渐引进并实现机械化作业，以提高生产效率与市场竞争力某村一加工厂的核心机器的重要系统有5个元件，各个元件是否正常工作相互独立，且每个元件正常工作的概率均为，若系统中有多于一半的元件正常工作，则系统就能够正常工作(1)求该系统不能正常工作的概率；(2)为提高该系统的工作性能，拟增加两个功能一样的其他品牌元件，且每个新元件正常工作的概率均为p，则p满足什么条件，可以提高整个系统的工作性能？解析：(1)设系统不能正常工作的概率为P1，则P1C05C14C23，故该系统不能正常工作的概率为.(2)设增加两个新元件后，该系统能够正常工作的概率为P
9、2，由题意知，若两个新元件都不能正常工作，则系统能够正常工作的概率为(1p)2(1p)2，若新元件中仅有一个能正常工作，则系统能够正常工作的概率为Cp(1p)p(1p)，若新元件中两个都能正常工作，则系统能够正常工作的概率为p2p2.则P2(1p)2p(1p)p2，由P2得p.故当每个新元件正常工作的概率超过时，能够提高整个系统的工作性能62023年河南郑州一测一些资料表明，近几年来，郑州市雾霾治理取得了很大成效，空气质量与前几年相比得到了很大改善郑州市设有9个监测站点监测空气质量指数(AQI)，其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2,5,2个监测站点，以9个站点测得的AQI的平均
10、值为依据，播报我市的空气质量(1)若某日播报的AQI为118，已知轻度污染区AQI的平均值为74，中度污染区AQI的平均值为114，求重度污染区AQI的平均值(2)下表是2023年年某月的30天中AQI的分布，该月仅有一天AQI在170,180)内组数分组天数第一组50,80)3第二组80,110)4第三组110,140)4第四组140,170)6第五组170,200)5第六组200,230)4第七组230,260)3第八组260,2901郑州市某中学利用每周日的时间进行社会实践，以公布的AQI为标准，如果AQI小于180，则去进行社会实践以统计数据中的频率作为概率，求该校周日去进行社会实践的
11、概率；在“创建文明城市”活动中，验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标，从当月的空气质量监测数据中抽取3天的数据进行评价，其中AQI不小于180的天数记为X，求X的分布列及数学期望E(X)解析：(1)设重度污染区AQI的平均值为x，则74211452x1189，解得x172.即重度污染区AQI的平均值为172.(2)由题意知，AQI在170,180)内的天数为1，由题表可知，AQI在50,170)内的天数为17，故该月AQI小于180的天数为11718，又，所以该校周日去进行社会实践的概率为.由题意知，X的所有可能取值为0,1,2,3，且P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).则X
12、的分布列为X0123P数学期望E(X)0123.能力挑战72023年全国卷为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分甲、乙两种药的
13、治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i0,1，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p00，p81，piapi1bpicpi1(i1,2，7)，其中aP(X1)，bP(X0)，cP(X1)假设0.5，0.8.()证明：pi1pi(i0,1,2，7)为等比数列；()求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性解析：(1)X的所有可能取值为1,0,1.P(X1)(1)，P(X0)(1)(1)，P(X1)(1)所以X的分布列为X101P(1)(1)(1)(1)(2)()由(1)得a0.4，b0.5，c0.1.因此pi0.4Pi10.5pi0.1pi1，故0.1(pi1pi)0.4(pipi1)，即pi1pi4(pipi1)又因为p1p0p10，所以pi1pi(i0,1,2，7)为公比为4，首项为p1的等比数列()由()可得p8p8p7p7p6p1p0p0(p8p7)(p7p6)(p1p0)p1.由
