1、专题突破练16热点小专题二球与多面体的内切、外接一、选择题1.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为()A.12B.323C.8D.42.(2023江西九江一模,文9)九章算术卷第五商功中,有“贾令刍童,上广一尺,袤二尺,下广三尺,袤四尺,高一尺.”,意思是:“假设一个刍童,上底面宽1尺,长2尺;下底面宽3尺,长4尺,高1尺(如图).”(注:刍童为上下底面为相互平行的不相似长方形,两底面的中心连线与底面垂直的几何体),若该几何体所有顶点在一球的表面上,则该球体的表面积为()A.46平方尺B.41平方尺C.40平方尺D.36平方尺3.(2023山东济宁一模,理9)九章算术中,将底
2、面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示,则该“堑堵”的外接球的体积为()A.823B.6C.6D.84.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,ABAC,AA1=12,则球O的直径为()A.13B.410C.210D.2175.(2023山东潍坊二模,理8)一个各面均为直角三角形的四面体有三条棱长为2,则该四面体外接球的表面积为()A.6B.12C.32D.486.(2023北京朝阳一模,理7改编)某三棱锥的三视图如图所示(网格纸上小正方形的边长为1),则该三棱锥的外接球的体积为()A.4B.23C.63D.437.已知
3、A,B是球O的球面上两点,AOB=90,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为()A.36B.64C.144D.2568.如图,需在正方体的盒子内镶嵌一个小球,使得镶嵌后三视图均为图所示,且面A1C1B截得小球的截面面积为23,则该小球的体积为()A.6B.43C.323D.8239.已知A,B,C,D是同一球面上的四个点,其中ABC是正三角形,AD平面ABC,AD=2AB=6,则该球的体积为()A.323B.48C.24D.1610.(2023四川第二次诊断,理10)已知一个几何体的正视图,侧视图和俯视图均是直径为10的圆(如图),这个几何体内接一个圆锥,
4、圆锥的体积为27,则该圆锥的侧面积为()A.910B.1211C.1017D.403311.(2023山西吕梁一模,文12)四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为矩形,AD=4,AB=2,且SA+SD=8,当该四棱锥的体积最大时,其外接球的表面积为()A.20B.25C.803D.76312.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为()A.26B.36C.23D.22二、填空题13.(2023四川成都二模,理14)已知三棱锥A-BCD的四个顶点都在球O的表面上,若AB=AC=AD=1,BC=CD=BD=2,则球O的
5、表面积为.14.(2023河北唐山一模,理15)在四面体ABCD中,AB=BC=1,AC=2,且ADCD,该四面体外接球的表面积为.15.(2023湖南六校联考,理15)在九章算术中,将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.如图,若四棱锥P-ABCD为阳马,侧棱PA底面ABCD,且PA=3,BC=AB=4,设该阳马的外接球半径为R,内切球半径为r,则Rr=.16.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径,若平面SCA平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,则球O的表面积为.2023学年参考答案专题突破练16热点小专题二球与多面体的内
6、切、外接1.A解析设正方体的棱长为a,由a3=8,得a=2.由题意可知,正方体的体对角线为球的直径,故2r=3a2,则r=3.所以该球的表面积为4(3)2=12,故选A.2.B解析由已知得球心在几何体的外部,设球心到几何体下底面的距离为x,则R2=x2+522=(x+1)2+522,解得x=2,R2=414,该球的表面积S=41.故选B.3.A解析根据几何体的三视图可知几何体为底面为腰长为2的直角等腰三角形,高为2的直三棱柱.设外接球的半径为R,则(2R)2=(2)2+(2)2+22,解得R=2,所以V=43(2)3=823.故选A.4.A解析由题意可知,直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球O
7、的半径R=32+42+1222=132,故球O的直径为13.故选A.5.B解析如图,在四面体ABCD中,ABD=ABC=BCD=ACD=90,AB=BC=CD=2,可得BD=22,AD=23,设AD的中点为O,连接OB,OC,则OB=OC=OA=OD,所以AD的中点O即为外接球的球心,故球O半径为3,其表面积为12,故选B.6.D解析由三视图得该几何体的直观图如图所示.将该三棱锥补形为正方体,如图所示.所以该三棱锥的外接球的体积等于补形后正方体外接球的体积,所以球的直径等于正方体的体对角线长,即2R=22+22+22=23,所以球的体积为V=43(3)3=43.7.C解析由AOB的面积确定可知
8、,若三棱锥O-ABC的底面OAB上的高最大,则其体积最大.因为高最大为半径R,所以VO-ABC=1312R2R=36,解得R=6,故S球=4R2=144.8.B解析设正方体盒子的棱长为2a,则内切球的半径为a,平面A1BC1是边长为22a的正三角形,且球与以点B1为公共点的三个面的切点恰为A1BC1三边的中点,所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积,则由图得,A1BC1内切圆的半径是2atan30=63a,则所求的截面圆的面积是63a2=23a2=23,故a=1,该小球的体积为V球=4313=43.9.A解析由题意画出几何体的直观图如图,把A,B,C,D扩展为三棱柱,上下底面中心的中点与A的
9、距离为球的半径,AD=2AB=6,OE=3,ABC是正三角形,AE=23323=3,AO=32+(3)2=23.故所求球的体积为43(23)3=323.10.A解析几何体的轴截面如图所示,设圆锥的底面半径为r,由题意可得13r2(25-r2+5)=27,解得r=3,所以该圆锥的侧面积为12632+92=910.故选A.11.D解析当点S到底面ABCD的距离最大时,四棱锥的体积最大,这时SAD为等边三角形,S到底面ABCD的距离为23且平面SAD平面ABCD.设球心O到平面ABCD的距离OE=x,则由OD=OS,得x2+5=(23-x)2+1,所以x=23,所以四棱锥外接球的半径R=x2+5=1
10、93,所以四棱锥外接球的表面积为S=4R2=763.故选D.12.A解析SC是球O的直径,CAS=CBS=90.BA=BC=AC=1,SC=2,AS=BS=3.取AB的中点D,显然ABCD,ABSD,AB平面SCD.在CDS中,CD=32,DS=112,SC=2,利用余弦定理可得cosCDS=CD2+SD2-SC22CDSD=-133,sinCDS=4233,SCDS=12321124233=22,故V=VB-CDS+VA-CDS=13SCDSBD+13SCDSAD=13SCDSBA=13221=26.13.3解析(法一)如图,取CD的中点E,连接BE,可得BE=322=62,设等边三角形BC
11、D的中心为G,则BG=2362=63,AG=12-(63)2=33.设三棱锥A-BCD的外接球的半径为R,则R2=BG2+OG2,即R2=632+33-R2,解得R=32.球O的表面积为4R2=3.(法二)AB=AC=AD=1,BC=CD=BD=2,由勾股定理的逆定理得三棱锥的三个侧面都是全等的直角三角形,将三棱锥补形为正方体,则其外接球的直径为正方体的体对角线,2R=12+12+12=3,故球O的表面积为4R2=3.14.2解析如图所示,由AB=BC=1,AC=2,得ABBC,所以ABC和DAC都是直角三角形.ABC外接圆的圆心是AC的中点,DAC外接圆的圆心也是AC的中点,且两个三角形的外
12、接圆都是球的大圆,所以球半径R=12AC=22,所以S球=4R2=2.15.412解析易知该阳马补形所得到的长方体的体对角线为外接球的直径,所以(2R)2=AB2+AD2+AP2=42+42+32=41,R=412.因为侧棱PA底面ABCD,且底面为正方形,所以内切球O1在侧面PAD内的正视图是PAD的内切圆,则内切球半径为1,故Rr=412.16.36解析取SC的中点O,连接OA,OB.因为SA=AC,SB=BC,所以OASC,OBSC.因为平面SAC平面SBC,且OA平面SAC,所以OA平面SBC.设OA=r,则VA-SBC=13SSBCOA=13122rrr=13r3,所以13r3=9,解得r=3.所以球O的表面积为4r2=36.10
