1、专题09 几何中动角问题的两种考法类型一、判断角的数量之间的关系例如图所示，O是直线上的一点，是直角，平分（1）如图，若，求的度数；（2）在图，若，直接写出的度数_（用含a的代数式表示）；（3）将图中的绕顶点O顺时针旋转至图的位置探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；在的内部有一条射线，满足，试确定与的度数之间的关系，说明理由【答案】（1）14；（2）；（3）AOC2DOE；（2）2DOEAOF90【详解】解：（1）COD是直角，OE平分BOC，AOC28，BOC180AOC152，COEBOC，COD90COE76，DOECODCOE907614即DOE14；（2）COD是直角，
2、OE平分BOC，AOCa，DOE90故答案是：；（3）AOC2DOE理由：OE平分BOC，BOC2COECOD是直角，AOCBOC180，DOECOE90，AOC2COE180AOC2（90DOE）180化简，得AOC2DOE；2DOEAOF90理由：，2AOFBOE（AOCAOF），2AOFBOEAOCAOF又AOC2DOE，AOFDOEBOE，AOFDOBDOBBOC90，AOCBOC180，AOC2DOEAOF180AOC90AOF1802DOE90化简，得2DOEAOF90【变式训练1】已知AOBCOD90，OE平分BOC(1)如图，若AOC30，则DOE的度数是_；（直接写出答案）(
3、2)将（1）中的条件“AOC30”改为“AOC是锐角”，猜想DOE与AOC的关系，并说明理由；(3)若AOC是钝角，请先画出图形，再探索DOE与AOC之间的数量关系（不用写探索过程，将结论直接写在你画的图的下面）【答案】(1)60；(2)，理由见解析(3)AOC+2DOE=270或2DOE-AOC=90或AOC+2DOE=450或AOC-2DOE=90【解析】(1)解：AOB=90，AOC=30，BOC=AOB-AOC=60，OE平分BOC，COE=BOE=30，COD=90，DOE=COD-COE=60，故答案为：60(2)解： ，理由如下：AOB=90，BOC=AOB-AOC=90-AOC
4、OE平分BOC， COD=90，(3)：如图3-1所示，当OD在AOB内部时，OE平分BOC，BOC=2BOE=2COE，AOB=COD=90，AOC=AOB+BOC=90+2COE，DOE=COD-COE=90-COE，AOC+2DOE=90+2COE+180-2COE=270；如图3-2所示，当OD在AOB外部时，同理可以求出AOC=AOB+BOC=90+2COE，DOE=COD+COE=90+COE，2DOE-AOC= 180+2COE-90-2COE =90；如图3-3所示，当OD在AOB外部时，同理可以求出AOC=360-AOB-BOC=270-2COE，DOE=90+COE，AOC
5、+2DOE=270-2COE+180+2COE=450；如图3-4所示，当OD在AOB外部时，同理可以求出AOC=270-2COE，DOE=90-COE，AOC-2DOE=90；综上所述，AOC+2DOE=270或2DOE-AOC=90或AOC+2DOE=450或AOC-2DOE=90【变式训练2】如图，以直线AB上一点O为端点作射线OC，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点O处（注：）（1）如图，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，则_；（2）如图，将直角三角板DOE转到如图位置，当OC恰好平分时，求的度数；（3）如图，将直角三角板DOE绕点O转动，如果OD始终在的内部，直接写出和的
6、数量关系_【答案】（1）20；（2）25；（3）COE-BOD=20【详解】解：（1）如图，COE=DOE-BOC=90-70=20，故答案为：20；（2）如图，OC平分EOD，DOE=90，COD=DOE=45，BOC=70，BOD=BOC-COD=25；（3）COE-BOD=20，理由是：如图，BOD+COD=BOC=70，COE+COD=DOE=90，（COE+COD）-（BOD+COD）=COE+COD-BOD-COD=COE-BOD=90-70=20，即COE-BOD=20【变式训练3】已知，分别平分，(1)如图1，当，重合时， 度；(2)若将的从图1的位置绕点顺时针旋转，旋转角，满
7、足且如图2，用等式表示与之间的数量关系，并说明理由；在旋转过程中，请用等式表示与之间的数量关系，并直接写出答案【答案】(1)；(2)；时，；时，【解析】(1)，重合，平分，平分，；(2)；理由如下：平分，平分，；由得：，当时，如图2所示：，当时，如图3所示：，；综上所述，时，；时，【变式训练4】如图，已知，将一个直角三角形纸片()的一个顶点放在点处，现将三角形纸片绕点任意转动，平分斜边与的夹角，平分.（1）将三角形纸片绕点转动(三角形纸片始终保持在的内部)，若，则_；（2）将三角形纸片绕点转动(三角形纸片始终保持在的内部)，若射线恰好平分，若，求的度数;（3）将三角形纸片绕点从与重合位置逆时针
8、转到与重合的位置，猜想在转动过程中和的数量关系？并说明理由.【答案】（1）；（2）；（3），证明见解析【详解】解：（1）平分斜边与的夹角，平分OM平分AOC, ON平分BOD设 ，故答案为: （2），设射线恰好平方，平分斜边与的夹角，平分OM平分AOC, ON平分BOD ，(3) ,证明如下：当OC与OA重合时，设COD=x,则 ON平分BOD ， 当OC在OA的左侧时设AOD=a，AOC=b，则BOD=AOB-AOD=150-a，COD=AOD+AOC=a+bON平分BOD， OM平分AOC， MON=MOA+AOD+DON 当OD与OA重合时，ON平分AOB， OM平分AOC， ， 综上所
9、述 类型二、定值问题例已知将一副三角尺（直角三角尺和）的两个顶点重合于点，（1）如图1，将三角尺绕点逆时针方向转动，当恰好平分时，求的度数；（2）如图2，当三角尺摆放在内部时，作射线平分，射线平分，如果三角尺在内绕点任意转动，的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由【答案】（1）；（2）不变【详解】解：（1）平分，；图1图2（2）不变平分，平分，【变式训练1】如图，两条直线AB、CD相交于点O，且AOC=90，射线OM从OB开始绕O点逆时针方向旋转，速度为15/s，射线ON同时从OD开始绕O点顺时针方向旋转，速度为12/s两条射线OM、ON同时运动，运动时间为t秒（本题出现的角
10、均小于平角）（1）当t=2时，MON的度数为 ，BON的度数为 ；MOC的度数为 （2）当0t12时，若AOM=3AON-60，试求出t的值；（3）当0t6时，探究的值，问：t满足怎样的条件是定值；满足怎样的条件不是定值？ 【答案】（1）144，114，60；（2）t的值为秒或10秒；（3）当0t时，的值不是定值；当t6时，的值是3【详解】（1）由题意得：MON=BOM+BOD+DON=215+90+212=144，BON=BOD+DON=90+24=114，MOC=BOC-BOM=90-215=60，故答案为：144，114，60；（2）当ON与OA重合时，t=9012=7.5（s），当OM
11、与OA重合时，t=18015=12（s）如图所示，当0t7.5时，AON=90-12t，AOM=180-15t由AOM=3AON-60，可得180-15t=3（90-12t）-60，解得t=，如图所示，当7.5t12时，AON=12t-90，AOM=180-15t，由AOM=3AON-60，可得180-15t=3（12t-90）-60，解得t=10，综上，t的值为秒或10秒；（3）当MON=180时，BOM+BOD+DON=180，15t+90+12t=180，解得t=，如图所示，当0t时，COM=90-15t，BON=90+12t，MON=BOM+BOD+DON=15t+90+12t，（不是
12、定值），如图所示，当t6时，COM=90-15t，BON=90+12t，MON=360-（BOM+BOD+DON）=360-（15t+90+12t）=270-27t，=3（定值），综上所述，当0t时，的值不是定值；当t6时，的值是3【变式训练2】已知将一副三角板（）如图1摆放，点O、A、C在一条直线上将直角三角板绕点O逆时针方向转动，变化摆放如图位置（1）如图1，当点O、A、C在同一条直线上时，_度；如图2，若要恰好平分，则_度；（2）如图3，当三角板摆放在内部时，作射线平分，射线平分，如果三角板在内绕点O任意转动，的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由（3）当三角板从图1的
13、位置开始，绕点O逆时针方向旋转一周，保持射线平分、射线平分（），在旋转过程中，（2）中的结论是否保持不变？如果保持不变，请说明理由；如果变化，请说明变化的情况和结果（即旋转角度a在什么范围内时的度数是多少）【答案】（1）60，75；（2），理由见详解；（3）当时，；当时，或120，当时，；当时，或60；当时，【详解】解：（1）由题意得：，恰好平分，；故答案为60，75；（2）的度数不发生变化，理由如下：射线平分，射线平分，；（3）设旋转角度为，根据题意可得：，射线平分，射线平分，当时，如图所示：，当时，即为平角，可分为：当点M在OB上，如图所示：，；当点M在BO的延长线时，如图所示：；当时，如
14、图所示：，解得：，；当时，则，如图所示：当ON平分在BOD的左边时，则，当ON平分在BOD的右边时，则；当时，如图所示：，类型三、求值问题例.如图1，为直线上一点，过点作射线，将一直角三角板（）的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方（注：本题旋转角度最多）（1）将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转如图2，经过秒后，_度（用含的式子表示），若恰好平分，则_秒（直接写结果）（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线也绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，如图3，经过秒后，_度（用含的式子表示）若平分，求为多少秒？（3）若（2）问的条件不变，那么经过秒平分？（直接
15、写结果）【答案】（1），5；（2），；（3）经过秒平分【解析】（1），平分，解得：秒（2）度，平分，解得：秒（3）如图：，由题可设为，为，解得：秒答：经过秒平分【变式训练1】如图，将一副直角三角尺的直角顶点C叠放在一起（1）若DCE35，ACB ；若ACB140，则DCE ；（2）猜想ACB与DCE的大小有何特殊关系，并说明理由；（3）若保持三角尺BCE不动，三角尺ACD的CD边与CB边重合，然后将三角尺ACD绕点C按逆时针方向任意转动一个角度BCD设BCD（090）ACB能否是DCE的4倍？若能求出的值；若不能说明理由三角尺ACD转动中，BCD每秒转动3，当DCE21时，转动了多少秒？【答案
16、】（1）ACB145；DCE40；（2）ACB+DCE180或互补，理由见解析；（3）能；理由见解析，54；23秒【详解】解：（1）ACDECB90，DCE35，ACB18035145ACDECB90，ACB140，DCE18014040故答案为：145，40；（2）ACB+DCE180或互补，理由：ACE+ECD+DCB+ECD180ACE+ECD+DCBACB，ACB+DCE180，即ACB与DCE互补（3）当ACB是DCE的4倍，设ACB4x，DCEx，ACB+DCE180，4x+x180解得：x36，903654；设当DCE21时，转动了t秒，BCD+DCE90，3t+2190，t23
17、，答：当DCE21时，转动了23秒【变式训练2】如图（1），BOC和AOB都是锐角，射线OB在AOC内部，（本题所涉及的角都是小于180的角）(1)如图（2），OM平分BOC，ON平分AOC，填空：当，时，_，_，_；_（用含有或的代数式表示）(2)如图（3），P为AOB内任意一点，直线PQ过点O，点Q在AOB外部：当OM平分POB，ON平分POA，MON的度数为_；当OM平分QOB，ON平分QOA，MON的度数为_；（MON的度数用含有或的代数式表示）(3)如图（4），当，时，射线OP从OC处以5/分的速度绕点O开始逆时针旋转一周，同时射线OQ从OB处以相同的速度绕点O逆时针也旋转一周，OM
18、平分POQ，ON平分POA，那么多少分钟时，MON的度数是40？【答案】(1)；(2)，；(3)分钟时，MON的度数是40【解析】(1) OM平分BOC，ON平分AOC，当，时，故答案为：(2)OM平分POB，ON平分POA， OM平分QOB，ON平分QOA，故答案为：，(3)根据题意OM平分POQ，如图，当在的外部时， MON的度数是40 ON平分POA，则旋转了分，即分钟时，MON的度数是40如图，在的内部时，即，此情况不存在，综上所述，分钟时，MON的度数是40【变式训练3】如图1，点A、O、B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速
19、度旋转，如图2，设旋转时间为（1）用含t的代数式表示：_，_（2）在运动过程中，当时，求t的值（3）在旋转过程中是否存在这样的t，使得直线平分由射线、射线、射线中的任意两条射线组成的角（大于而小于）？【答案】（1），；（2）当时，或40或80；（3）存在，当直线平分由射线、射线、射线中的任意两条射线组成的角时，或36或54或72【解析】（1）由题意得：射线的运动路程为，射线的运动路程为，当时，当时，；故答案为，；（2）由题意可得射线与射线相遇的时间为：，解得：，当射线与射线相遇前，时，如图所示：，解得：，当射线与射线相遇后，且射线还没有过直线时，如图所示：，解得：，当射线过了直线时，如图所示：
20、，解得：，综上所述：当时，或40或80；（3）存在，理由如下：由，则可分：若直线平分时，如图所示：，解得：；若直线平分时，如图所示：，解得：；若直线平分时，如图所示：，解得：；若直线平分时，如图所示：，解得：；综上所述：当直线平分由射线、射线、射线中的任意两条射线组成的角时，或36或54或72课后训练1如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一直角边OM在射线OB上，另一直角边ON在直线AB的下方(1)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使边OM在的内部，且恰好平分问：此时直线ON是否平分？请说明理由(2)将图1中的三角板绕点O以每秒6的速度沿
21、逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，第n秒时，直线ON恰好平分，则n的值为_（点接写结果）(3)若图1中的三角板绕点O旋转至图3，使ON在的内部时，的度数是多少？【答案】(1)平分，理由见解析；(2)10或40；(3)30【解析】(1)解：（1）直线ON平分AOC理由：设ON的反向延长线为OD，OM平分BOC，MOCMOB，又OMON，MODMON90，CODBON，又AODBON（对顶角相等），CODAOD，OD平分AOC，即直线ON平分AOC；(2)解：由（1）得，BOM60时，直线ON恰好平分，即旋转60时，ON平分AOC，再旋转180即旋转240时，ON平分AOC，由题意得，6n60或6
22、n240， n10或40；故答案为：10或40；(3)解：MON90，AOC60，AOM90AON，NOC60AON，AOMNOC（90AON）（60AON）302如图所示，OA，OB，OC是以直线EF上一点O为端点的三条射线，且FOA20，AOB60，BOC10，以O为端点作射线OP，OQ分别与射线OF，OC重合射线OP从OF处开始绕点O逆时针匀速旋转，转速为1度/秒，射线OQ从OC处开始绕点O顺时针匀速旋转，（射线OQ旋转至与射线OF重合时停止，射线OP旋转至与射线OE重合时停止），两条射线同时开始旋转（旋转速度旋转角度旋转时间）(1)直接写出射线OP停止运动时的时间(2)当射线OP平分A
23、OC时，直接写山它的旋转时间(3)若射线OQ的转速为3度/秒，当POQ70时，直接写出射线OP的旋转时间(4)若POA2POB时，射线OQ旋转到的位置恰好将AOB分成度数比为1：2的两个角，直接写出射线OQ的旋转速度【答案】(1)180s；(2)55s；(3)3s或70s；(4)或或或【解析】(1)EOF=180，射线OP的速度为1/s，则时间为1801=180s；(2)AOC=AOB+BOC=60+10=70，当射线OP平分时AOC，AOP=POC=AOC=35，此时OP旋转的度数为：AOF+AOP=20+35=55，旋转的时间为：551=55s(3)FOC=FOA+AOB+BOC=90，设
24、射线OP旋转的时间为t秒，由题意可得：t+3t=90+70或t+3t=90-70，解得：t=5或t=40，射线OQ旋转至射线OF重合时停止，.射线OQ最多旋转30秒，当射线OQ旋转30秒与射线OF重合停止，此时POQ=FOP=30，之后射线OP继续旋转，则POQ=FOP=70，此时t=70s，故答案为：5s或70s(4)当射线OP在AOB内部时，POA=2POB，AOB=60，POA=40，FOP=60，故射线OP旋转的时间为60s，若，则BOQ=40，COQ=50，此时射线OQ的旋转速度为：5060=（/s)，若时，则BOQ=20，COQ=30，此时射线OQ的旋转速度为3060=（/s）；当
25、射线OP在EOB内部时，PDA=2POB，AOB=60，POA=120，FOP=140，故射线OP旋转时间为140秒，若时，则BOQ=40，COQ=50，此时射线OQ的旋转速度为：50140=（/s)，若时，则BOQ=20，COQ=30，此时旋转速度为：30140=（/s)，综上，符合条件的旋转速度为或或或3已知O是直线AB上的一点，COD是直角，OE平分BOC(1)如图1，若AOC=48，求DOE的度数；(2)如图1，若AOC=，则DOE的度数为 (用含有的式子表示)；(3)将图1中的DOC绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，试探究DOE和AOC度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由(4)将图1中的DOC绕顶点O逆时针旋转至图3的位置，其它条件不变，若AOC=，则DOE的度数为 (用含有的式子表示)，不必说明理由【答案】(1)24；(2)；(3)DOE=AOC，理由见解析；(4)180 -【解析】(1)AOC +BOC=AOB=180BOC =180-AOC =180-48 = 132OE平分BOCCOE =BOC= 66又COD是直角COD = 90DOE =COD-COE= 90- 66= 24(2)由（1）得，
