1、专题02模型方法课之截长补短解题方法专练（解析版）学校:_姓名：_班级：_考号：_ 一、填空题1如图，ABC中，E在BC上，D在BA上，过E作EFAB于F，B1+2，ABCD，BF，则AD的长为_【答案】【分析】在FA上取一点T，使得FT=BF，连接ET，在CB上取一点K，使得CK=ET，连接DK想办法证明AT=DK，DK=BD，推出BD=AT，推出BT=AD即可解决问题【详解】在FA上取一点T，使得FT=BF，连接ET，在CB上取一点K，使得CK=ET，连接DKEB=ET，B=ETB，ETB=1+AET，B=1+2，AET=2，AE=CD，ET=CK，AETDCK(SAS)，DK=AT，AT
2、E=DKC，ETB=DKB，B=DKB，DB=DK，BD=AT，AD=BT，BT=2BF=，AD=，故答案为：【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识点，解题关键在于学会添加常用辅助线，构造出全等三角形 二、解答题2如图，中，分别平分和，相交于点，（1）求的度数；（2）判断，之间的等量关系，并证明你的结论【答案】（1）BFD60；（2）BCBDCE；证明见解析【分析】（1）根据角平分线和外角性质求解即可；（2）在BC上截取BGBD，连接FG，证明BDFBGF，CGFCEF，即可得到结果；【详解】（1），分别平分和，（2）BCBDCE；证明方法：在BC上截取BGBD，
3、连接FG，在BDF和BGF中，又，CGFCEF（ASA）,CECG，BCBDCE【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、外角定理、三角形全等应用，准确分析是解题的关键3已知等边三角形ABC，D为ABC外一点，BD=DC，射线DM与直线AB相交于点M，射线DN与直线AC相交于点N（1）当点M、N在边AB、AC上，且DM=DN时，直接写出BM、NC、MN之间的数量关系；（2）当点M、N在边AB、AC上，且DMDN时，猜想中的结论还成立吗？若成立，请证明；（3）当点M、N在边AB、CA的延长线上时，请画出图形，并求出BM、NC、MN之间的数量关系【答案】（1）BM+NC=MN，证明见解析；（2）成立
4、，证明见解析；（3）NC-BM=MN，证明见解析【分析】（1）由DM=DN，MDN=60，可证得MDN是等边三角形，又由ABC是等边三角形，CD=BD，易证得RtBDMRtCDN，然后由直角三角形的性质，即可求得BM、NC、MN之间的数量关系 BM+NC=MN；（2）在CN的延长线上截取CM1=BM，连接DM1可证DBMDCM1，即可得DM=DM1，易证得CDN=MDN=60，则可证得MDNM1DN，然后由全等三角形的性质，即可得结论仍然成立；（3）首先在CN上截取CM1=BM，连接DM1，可证DBMDCM1，即可得DM=DM1，然后证得CDN=MDN=60，易证得MDNM1DN，则可得NC-
5、BM=MN【详解】解（1）BM、NC、MN之间的数量关系：BM+NC=MN证明如下：BD=DC，DM=DN，BDC=DCB=，MDN为等边三角形，MN=MD=DN，ABC是等边三角形，ABC=ACB=60，ABD=ACD=90，RtBDMRtCDN（HL），BDM =CDN=，,BM+NC=MN（2）猜想：结论仍然成立证明：在CN的反向延长线上截取CM1=BM，连接DM1MBD=M1CD=90，BD=CD，DBMDCM1，DM=DM1，MBD=M1CD， MDN=60，BDC=120，M1DN=MDN=60，MDNM1DN，MN=M1N=M1C+NC=BM+NC，（3）证明：在CN上截取CM1
6、=BM，连接DM1与（2）同理可证DBMDCM1，DM=DM1，与（2）同理可证CDN=MDN=60，MDNM1DN，MN=M1N，NC-BM=MN【点睛】本题考查了等边三角形，直角三角形，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法4在四边形中，是边的中点 （1）如图（1），若平分，则线段、的长度满足的数量关系为_；（直接写出答案）（2）如图（2），平分，平分，若，则线段、的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明【答案】（1）AEABDE；（2）AEABDEBD，证明见解析【分析】（1）在AE上取一点F，使AFAB
7、，由三角形全等的判定可证得ACBACF，根据全等三角形的性质可得BCFC，ACBACF，根据三角形全等的判定证得CEFCED，得到EFED，再由线段的和差可以得出结论；（2）在AE上取点F，使AFAB，连结CF，在AE上取点G，使EGED，连结CG，根据全等三角形的判定证得ACBACF和ECDECG，由全等三角形的性质证得CFCG，进而证得CFG是等边三角形，就有FGCGBD，从而可证得结论【详解】解：（1）如图（1），在AE上取一点F，使AFABAC平分BAE，BACFAC在ACB和ACF中，ACBACF（SAS）BCFC，ACBACFC是BD边的中点，BCCDCFCDACE90，ACBDC
8、E90，ACFECF90ECFECD在CEF和CED中，CEFCED（SAS）EFEDAEAFEF，AEABDE故答案为：AEABDE；（2）AEABDEBD证明：如图（2），在AE上取点F，使AFAB，连结CF，在AE上取点G，使EGED，连结CGC是BD边的中点，CBCDBDAC平分BAE，BACFAC在ACB和ACF中，ACBACF（SAS）CFCB，BCAFCA同理可证：ECDECGCDCG，DCEGCECBCD，CGCFACE120，BCADCE18012060FCAGCE60FCG60FGC是等边三角形FGFCBDAEAFEGFG，AEABDEBD【点睛】本题主要考查了全等三角形的
9、判定与性质的运用，能熟练应用三角形全等的判定和性质是解决问题的关键5在ABC中，AB=AC，点D与点E分别在AB、AC边上，DEBC，且DE=DB，点F与点G分别在BC、AC边上，FDGBDE（1）如图1，若BDE=120，DFBC，点G与点C重合，BF=1，直接写出BC= ；（2）如图2，当G在线段EC上时，探究线段BF、EG、FG的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当G在线段AE上时，直接写出线段BF、EG、FG的数量关系：_【答案】（1）4；（2）FG=BF+EG，见解析；（3）FG=BF-EG【分析】（1）解直角三角形分别求出DF，CF即可解决问题（2）如图2中，结论：FG=BF+E
10、G在EA上截取EH，使得EH=BF利用两次全等，证明FG=GH即可解决问题（3）如图3中，结论：FG=BF-EG在射线EA上截取EH，使得EH=BF利用两次全等，证明FG=GH即可解决问题【详解】（1）DEBC，BDE+ABC=180，BDE=120，ABC=60，DFBF，BFD=90，DF=BFtan60，CDFBDE=60，DFC=90，CF=DFtan60，BC=BF+CF=1+3=4；（2）如图2中，结论：FG=BF+EG理由：在EA上截取EH，使得EH=BFAB=AC，B=C，DEBC，ADE=B，AED=C，ADE=AED，DEH=B， 在DBF和DEH中，DBFDEH（SAS）
11、，DF=DH，BDF=EDH，FDGBDE，BDF+EDG=EDH+EDG=GDHBDE，GDF=GDH，在DGF和DGH中，DGFDGH（SAS），FG=HG，HG=EG+HE=EG+BF，FG=BF+EG；（3）如图3中，结论：FG=BF-EG理由：在射线EA上截取EH，使得EH=BFAB=AC，B=C，DEBC，ADE=B，AED=C，ADE=AED， DEH=B，在DBF和DEH中， DBFDEH（SAS），DF=DH，BDF=EDH，BDE=FDH，FDGBDEFDH， GDF=GDH，在DGF和DGH中，DGFDGH（SAS），FG=HG，HG=HE-GE=BF-EG，FG=BF=
12、-EG【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题6通过类比联想、引申拓展典型题目，可达到解一题知一类的目的下面是一个案例，请补充完整（解决问题）如图，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，连接EF，则，试说明理由证明：延长CD到G，使，在与中，理由：（SAS）进而证出：_，理由：（_）进而得（变式探究）如图，四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，若、都不是直角，则当与满足等量关系_时，仍有请证明你的猜想（拓展延伸）如图，若，但，连接EF，请直接写出EF、BE、DF之间的数量关系【答案】
13、（1），理由：SAS；（2），证明见解析；（3）BE+DF=EF【分析】（1）在前面已证的基础上，得出结论，进而证明，从而得出结论；（2）利用“解决问题”中的思路，同样去构造即可；（3）利用前面两步的思路，证明全等得出结论即可【详解】（1），则，在与中，理由：（）；（2）满足即可，证明如下：如图，延长至，使，在与中，则，在与中，理由：（）；（3）BE+DF=EF证明如下：如图，延长至，使，在与中，则，在与中，理由：（）； 【点睛】本题考查了截长补短的方法构造全等三角形，能够理解前面介绍的方法并继续探究是解决问题的关键7阅读题：如图1，平分，以为圆心任意长为半径画弧，交射线，于，两点，在射线上任
14、取一点（点除外），连接，可证，请你参考这个作全等的方法，解答下列问题：（1）如图2，在中，平分交于点，试判断与、之间的数量关系；（2）如图3，在四边形中，平分，求的面积【答案】（1）BC=AC+AD；（2）ABC 的面积为80【分析】（1）在CB上截取CE=CA，则由题意可得AD=DE，CED=A，再结合A=2B可得DE=BE，从而得到BC=AD+AC；（2）在AB上截取AE=AD，连结CE，过C作CFAB于F点，由题意可得EC=BC，从而得到EF的长度，再由勾股定理根据EC、EF的长度求得CF的长度，最后根据面积公式可以得到解答 【详解】解：（1）如图，在CB上截取CE=CA，则由题意得：C
15、ADCED，AD=DE，CED=A，A=2B，CED=2B，又CED=B+EDB，B+EDB=2B，EDB=B，DE=BE，BC=BE+CE=DE+CE=AD+AC；（2）如图，在AB上截取AE=AD，连结CE，过C作CFAB于F点，由题意可得：CDACEA，EC=CD=BC=10，AE=AD=8，CFAB，EF=FB=，【点睛】本题考查三角形全等的综合运用，熟练掌握三角形全等的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理是解题关键8（1）问题背景：如图1：在四边形ABCD中，ABAD，BAD120，BADC90，E、F分别是BC，CD上的点且EAF60，探究图中线段BE、EF、FD之间的数量
16、关系小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G使DGBE连结AG，先证明 ABEADG，再证明AEFAGF，可得出结论，他的结论应是_；（2）探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，ABAD，B+D180E，F分别是BC，CD上的点，且EAFBAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；（3）实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以45海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50的方向以60海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两地分别到达E、F处
17、，且两舰艇之间的夹角为70，试求此时两舰艇之间的距离【答案】（1）EFBE+DF；（2）结论EFBE+DF仍然成立；（3）此时两舰艇之间的距离是210海里【分析】（1）延长FD到点G，使DG=BE连结AG，即可证明ABEADG，可得AE=AG，再证明AEFAGF，可得EF=FG，即可解题；（2）延长FD到点G，使DG=BE连结AG，即可证明ABEADG，可得AE=AG，再证明AEFAGF，可得EF=FG，即可解题；（3）连接EF，延长AE、BF相交于点C，然后与（2）同理可证【详解】解：（1）EFBE+DF，证明如下：在ABE和ADG中，ABEADG（SAS），AEAG，BAEDAG，EAFB
18、AD，GAFDAG+DAFBAE+DAFBADEAFEAF，EAFGAF，在AEF和GAF中，AEFAGF（SAS），EFFG，FGDG+DFBE+DF，EFBE+DF；故答案为 EFBE+DF（2）结论EFBE+DF仍然成立；理由：延长FD到点G使DGBE连结AG，如图2，在ABE和ADG中，ABEADG（SAS），AEAG，BAEDAG，EAFBAD，GAFDAG+DAFBAE+DAFBADEAFEAF，EAFGAF，在AEF和GAF中，AEFAGF（SAS），EFFG，FGDG+DFBE+DF，EFBE+DF；（3）如图3，连接EF，延长AE、BF相交于点C，AOB30+90+（9070
19、）140，EOF70，EOFAOB，又OAOB，OAC+OBC（9030）+（70+50）180，符合探索延伸中的条件，结论EFAE+BF成立，即EF2（45+60）210（海里）答：此时两舰艇之间的距离是210海里【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及全等三角形对应边相等的性质，本题中求证AEFAGF是解题的关键9在中，点D、E分别在、上，连接、和；并且有，（1）求的度数；（2）求证：【答案】（1）；（2）见解析【分析】（1）由，可得为等边三角形，由，可证 （2）延长至F，使，连接， 由，且，可证 由，可证为等边三角形，可得， 可推出结论，【详解】解：（1），为等边三角形， ， （2）如图，
20、延长至F，使，连接， 由（1）得为等边三角形，又，且，在与中， ，又，为等边三角形， 又，且，【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，三角形全等判定与性质，线段和差，三角形外角性质，关键是引辅助线构造三角形全等证明等边三角形10如图，在ABC中，ABAC，BAC30，点D是ABC内一点，DBDC，DCB30，点E是BD延长线上一点，AEAB（1）求ADB的度数；（2）线段DE，AD，DC之间有什么数量关系？请说明理由【答案】（1）120；（2）DEAD+CD，理由见解析【分析】（1）根据三角形内角和定理得到ABCACB75，根据全等三角形的性质得到BADCAD15，根据三角形的外角性质计算，得
21、到答案；（2）在线段DE上截取DMAD，连接AM，得到ADM是等边三角形，根据ABDAEM，得到BDME，结合图形证明结论【详解】解：（1）ABAC，BAC30，ABCACB（18030）75，DBDC，DCB30，DBCDCB30，ABDABCDBC45，在ABD和ACD中，ABDACD （SSS），BADCADBAC15，ADEABD+BAD60，ADB180ADE18060120；（2）DEAD+CD，理由如下：在线段DE上截取DMAD，连接AM，ADE60，DMAD，ADM是等边三角形，ADBAME120AEAB，ABDE，在ABD和AEM中，ABDAEM（AAS），BDME，BDCD
22、，CDMEDEDM+ME，DEAD+CD【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键11如图，、分别平分、，与交于点O（1）求的度数；（2）说明的理由【答案】（1）120；（2）见解析【分析】（1）根据角平分线的定义可得OAB+OBA=60，从而得到AOB；（2）在AB上截取AE=AC，证明AOCAOE，得到C=AEO，再证明C+D=180，从而推出BEO=D，证明OBEOBD，可得BD=BE，即可证明AC+BD= AB【详解】解：（1）AD，BC分别平分CAB和ABD，CAB+ABD=120，OAB+OBA=60，AOB=
23、180-60=120；（2）在AB上截取AE=AC，CAO=EAO，AO=AO，AOCAOE（SAS），C=AEO，C+D=（180-CAB-ABC）+（180-ABD-BAD）=180，AEO+D=180，AEO+BEO=180，BEO=D，又EBO=DBO，BO=BO，OBEOBD（AAS），BD=BE，又AC=AE，AC+BD=AE+BE=AB【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和，全等三角形的判定和性质，解题的关键是截取AE=AC，利用全等三角形的性质证明结论12如图所示，已知ABC中ABAC，AD是BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MBMCABAC【答案】见解析【分析
24、】因为ABAC，所以在AB上截取线段AEAC，则BEABAC，连接EM，在BME中，显然有MBMEBE，再证明MEMC，则结论成立【详解】证明：在AB上截取AEAC，连接ME，在MBE中，MBMEBE（三角形两边之差小于第三边）,AD是BAC的平分线，,在AMC和AME中，AMCAME（SAS），MCME（全等三角形的对应边相等）又BEABAE，BEABAC，MBMCABAC【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系以及截长补短法，解题关键是作辅助线构造全等三角形13如图所示，已知AC平分BAD，于点E，判断AB、AD与BE之间有怎样的等量关系，并证明【答案】，证明见解析【分析】在
25、AB上截取EF，使EF=BE，联结CF证明，得到，又证明，得到，最后结论可证了【详解】证明:在AB上截取EF，使EF=BE，联结CF 在 和 AC平分BAD在 和中【点睛】本题考查三角形全等知识的综合应用，关键在于寻找全等的条件，作适当的辅助线加以证明14如图所示，平分平分；（1）求与的数里关系，并说明你的理由（2）若把条件去掉，则（1）中与的数里关系还成立吗?并说明你的理由【答案】（1），见解析；（2）成立，见解析【分析】（1）先写出数量关系，过作于，然后证明和，便可得结论了（2）成立, 在上截取证明和，便可得到结论【详解】理由是：过作于CE为角平分线 同理可证 成立理由：在上截取CE为角平分线 又 又是角平分线 15如图，是边长为1的等边三角形，点，分别在，上，且，求的周长【答案】2【分析】延长至点，使，连接，证明推出，进而得到，从而证明，推出EF=CP，由此求出的周长=AB+A
