1、专题04推理能力课之和角平分线有关的辅助线重难点专练（解析版）学校:_姓名：_班级：_考号：_ 一、单选题1如图，中，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：；四边形，其中正确的个数是（ ）A4B3C2D1【答案】B【分析】根据三角形全等的判定和性质以及三角形内角和定理逐一分析判断即可【详解】解：在ABC中，ACB=90，CAB+ABC=90AD、BE分别平分BAC、ABC，BAD=，ABE=BAD+ABE=APB=180-（BAD+ABE）=135，故正确；BPD=45，又PFAD，FPB=90+45=135APB=FPB又ABP=FBPBP=BPABPFBP（ASA）
2、BAP=BFP，AB=AB，PA=PF，故正确；在APH与FPD中APH=FPD=90PAH=BAP=BFPPA=PFAPHFPD（ASA），AH=FD，又AB=FBAB=FD+BD=AH+BD，故正确；连接HD，ED，APHFPD，ABPFBP，PH=PD，HPD=90，HDP=DHP=45=BPDHDEP， 故错误，正确的有，故答案为：B【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL，注意AAA和SAS不能判定两个三角形全等2已知：如图，BD为ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EFAB，F为垂
3、足下列结论：ABDEBC；BCE+BCD=180；AD=AE；BA+BC=2BF其中正确的是（ ）ABCD【答案】D【分析】根据SAS证ABDEBC，可得BCEBDA，结合BCDBDC可得正确；根据角的和差以及三角形外角的性质可得DCEDAE，即AEEC，由ADEC，即可得正确；过E作EGBC于G点，证明RtBEGRtBEF和RtCEGRtAEF，得到BGBF和AFCG，利用线段和差即可得到正确【详解】解：BD为ABC的角平分线，ABDCBD，在ABD和EBC中，ABDEBC（SAS），正确；BD为ABC的角平分线，BDBC，BEBA，BCDBDCBAEBEA，ABDEBC，BCEBDA，BC
4、EBCDBDABDC180，正确；BCEBDA，BCEBCDDCE，BDADAEBEA，BCDBEA，DCEDAE，ACE为等腰三角形，AEEC，ABDEBC，ADEC，ADAE正确；过E作EGBC于G点，E是ABC的角平分线BD上的点，且EFAB，EFEG（角平分线上的点到角的两边的距离相等），在RtBEG和RtBEF中，RtBEGRtBEF（HL），BGBF，在RtCEG和RtAFE中，RtCEGRtAEF（HL），AFCG，BABCBFFABGCGBFBG2BF，正确故选D【点睛】本题考查了全等三角形的判定和全等三角形的对应边、对应角相等的性质，等腰三角形的判定与性质，本题中熟练求证三角
5、形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等的性质是解题的关键 二、填空题3如图，在中，、的角平分线相交于点，若，则_，若，则_.【答案】110 70 【分析】先根据三角形内角和求出BAC+BCA=140，再根据角平分线的定义求出IAC+ICA的值，然后利用三角形内角和即可求解；在BC上取CD=AC，连接BI、DI，利用SAS证明ACI与DCI全等，可得AI=DI，CAI=CDI，再根据BC=AI+AC求出AI=BD，从而可得BD=DI，由三角形外角的性质可得CDI=2DBI，再根据角平分线的定义即可求出CDI=ABC，又BAC=2CAI，代入数据进行计算即可求解；【详解】，BAC+BCA=1
6、40，AI、CI分别是、的角平分线，IAC+ICA=(BAC+BCA)=70，AIC=180-70=110；如图1，在BC上取CD=AC，连接BI、DI，CI平分ACB，ACI=BCI，在ACI与DCI中，ACIDCI（SAS），AI=DI，CAI=CDI，BC=AI+AC，BD=AI，BD=DI，IBD=BID，CDI=IBD+BID=2IBD，又AI、CI分别是BAC、ACB的平分线，BI是ABC的平分线，ABC=2IBD，BAC=2CAI，CDI=ABC，BAC=2CAI=2CDI=2ABC，ABC=35，BAC=352=70【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的
7、一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，全等三角形的判定与性质，利用“截长补短法”作辅助线构造全等三角形以便于利用条件“BC=AI+AC”是解决本题的关键，也是难点4如图，ABC的外角ACD的平分线CP与内角ABC的平分线BP交于点P，若BPC50，CAP_【答案】40【分析】过点P作PFAB于F，PMAC于M，PNCD于N，根据三角形的外角性质和内角和定理，得到BAC度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出CAP=FAP，即可得到答案【详解】解：过点P作PFAB于F，PMAC于M，PNCD于N，如图：设PCD=x，CP平分ACD，ACP=PCD=x，PM=PN，ACD=2
8、x，BP平分ABC，ABP=PBC，PF=PM=PN，BPC50，ABP=PBC=，,，在RtAPF和RtAPM中，PF=PM，AP为公共边，RtAPFRtAPM（HL），FAP=CAP，；故答案为：40；【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的性质，以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题，正确求出是关键5如图所示，的外角的平分线CP与的平分线相交于点P，若，则_【答案】【分析】如图（见解析），设，从而可得，先根据三角形的外角性质可求出，再根据角平分线的性质可得，从而可得，然后根据直角三角形全等的判定定理与性质可得，最后根据平角的定义即可得
9、【详解】如图，过点P分别作于点M，于点N，于点E，设，则，是的平分线，是的平分线，同理可得：，在和中，即，又，解得，故答案为：【点睛】本题考查了角平分线的定义与性质、三角形的外角性质、直角三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，利用角平分线的性质是解题关键 三、解答题6如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点，若，求的度数【答案】50【解析】【分析】根据外角与内角性质得出BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出CAP=FAP，即可得出答案【详解】延长BA，作PNBD，PFBA，PMAC，设PCD=x，CP平分ACD，ACP=PCD=x，PM=PN，BP平分AB
10、C，ABP=PBC，PF=PN，PF=PM，BPC=40，ABP=PBC=PCD-BPC=(x-40)，BAC=ACD-ABC=2x-(x-40)-(x-40)=80，CAF=100，在RtPFA和RtPMA中，RtPFARtPMA(HL)，CAP=FAP，又CAP+PAF=CAF，CAP =50【点睛】本题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM=PN=PF是解决问题的关键7如图所示，在中，是的角平分线，交于点，求证：【答案】详见解析【分析】在AB上截，连接FG，根据角平分线的性质、结合三角形内角和定理可得，证明，得GD=GF，=60
11、，可证得，即可得GF=GE=GD.【详解】证明：在AB上截，连接FG，AE平分BAC，EAC=EAB，又AG=AG， ， ，AE,BD是ABC的角平分线， ， ，GD=GE.【点睛】本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，作辅助线是解题的关键8如图，在四边形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于E，AD+AB=2AE，求证：ADC+B=180【答案】见解析.【分析】延长AD过C作CF垂直AD于F，由条件可证AFCAEC，得到CFCE再由条件ADAB2AE可证BEDF，所以CDFCEB，由全等的性质可得BFDC，问题得证【详解】证明：延长AD过C作CF垂直AD于F，AC平分BAD，FAC
12、EAC，CEAB，CFAD，AFCAEC90，AC=AC，AFCAEC(AAS)，AFAE，CFCE，AD+AB=2AE，又ADAFDF，ABAEBE，AFAE，2AEAEBEAEDF，BEDF，在CDF和CBE中，CDFCBE（SAS），BFDC，ADCFDC180，ADC+B=180【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是牢记三角形全等的判定定理9如图1，点是直线上一点，点是直线上一点，且MN/PQ和的平分线交于点（1）求证：；（2）过点作直线交于点（不与点重合），交于点E,若点在点的右侧，如图2，求证：；若点在点的左侧，则线段、有何数量关系？直接写出结论，不说理由【答案】（
13、1）见解析；（2）见解析；（3）【分析】(1) 由平行线性质可得NAB+ABQ=180,再由角平分线定义可得,再利用三角形内角和定理即可得C=90,即可证明BCAC;(2) 延长AC交PQ点F，先证明AC=FC,再证明ACDFCE,即可得AD+BE=AB;方法与相同【详解】解：（1）MNPQNAB+ABQ=180AC平分NAB，BC平分ABQ BAC+ABC=90在ABC中，BAC+ABC+C=180C=180- (BAC+ABC) =180-90=90BCAC;（2）延长AC交PQ于点FBCACACB=FCB=90BC平分ABFABC=FBCBC=BCABCFBCAC=CF，AB=BFMNB
14、QDAC=EFCACD=FCEACDFCEAD=EFAB=BF=BE+EF=BE+AD即：AB=AD+BE线段AD，BE，AB数量关系是：AD+AB=BE如图3，延长AC交PQ点F,MN/PQ AFB=FAN，DAC=EFCAC平分NABBAF=FANBAF=AFBAB=FBBCACC是AF的中点AC=FC在ACD与FCE中 AD=EFAB=FB=BE-EFAD+AB=BE【点睛】本题考查了平行线性质，全等三角形性质判定，等腰三角形性质等，解题关键正确添加辅助线构造全等三角形10如图，已知等腰直角三角形ABC中，ABAC，BAC90，BF平分ABC，CDBD交BF的延长线于点D，试说明：BF2
15、CD【答案】见解析【分析】作BF的中点E，连接AE、AD，根据直角三角形得到性质就可以得出AEBEEF，由BD平分ABC就可以得出ABEDBC22.5，从而可以得出BAEBAEACD22.5，AEF45，由BAC90，BDC90就可以得出A、B、C、D四点共圆，求出ADDC，证ADCAEB推出BECD，从而得到结论【详解】解：取BF的中点E，连接AE，AD，BAC90，AEBEEF，ABDBAE，CDBD，A，B，C，D四点共圆，DACDBC，BF平分ABC，ABDDBC，DACBAE，EAD90，ABAC，ABC45，ABDDBC22.5，AED45，AEAD，在ABE与ADC中，ABEAD
16、C，BECD，BF2CD【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，四点共圆，直角三角形的性质，角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键11如图，在ABC中，ABAC，ABC40，BD是ABC的平分线，延长BD至E，使DEAD，求证：ECA40【答案】见解析【分析】在BC上截取BFAB，连DF，根据SAS可证明ABDFBD，得出DFDADE，证明DCEDCF，故ECADCB40【详解】证明：在BC上截取BFAB，连DF，BD是ABC的平分线，ABDFBD，在ABD和BD中，ABDFBD（SAS），DFDADE，又ACBABC40，DFC180A80，FDC60，EDCA
17、DB180ABDA1802010060，在DCE和DCF中，DCEDCF（SAS），ECADCB40【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键12如图，在梯形ABCD中，ADBC，AE平分BAD，BE平分ABC，且AE、BE交CD于点E试说明ADABBC的理由【答案】见解析【分析】在AB上找到F使得AFAD，易证AEFAED，可得AFAD，AFED，根据平行线性质可证CBFE，即可证明BECBEF，可得BFBC，即可解题【详解】证明：在AB上找到F使得AFAD，AE平分BAD，EADEAF，在AEF和AED中，AEFAED，（SAS）
18、AFAD，AFED，ADBC，DC180，AFEBFE180CBFE，BE平分BAD，FBEC，在BEC和BEF中，BECBEF，（AAS）BFBC，ABAFBF，ABADBC，即ADABBC【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证AEFAED和BECBEF是解题的关键13如图，DC90，点E是DC的中点，AE平分DAB，DEA28，求ABE的大小【答案】28【分析】过点E作EFAB于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=EF，根据线段中点的定义可得DE=CE，然后求出CE=EF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可得出
19、BE平分ABC，即可求得ABE的度数【详解】如图，过点E作EFAB于F，D=C=90，AE平分DAB，DE=EF，E是DC的中点，DE=CE，CE=EF，又C=90，点E在ABC的平分线上，BE平分ABC，又ADBC，ABC+BAD=180，AEB=90，BEC=90-AED=62，RtBCE中，CBE=28，ABE=28【点睛】考查了平行线的性质与判定、角平分线上的点到角的两边距离相等的性质、到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，解题关键是熟记各性质并作出辅助线14如图，在中，是的平分线，延长至点，试求的度数【答案】40【分析】在上截取，连接，通过证明，可得，再通过证明，即可求得【详解
20、】解：如图，在上截取，连接，是的平分线，在和中，DE=DF，又，在和中，故【点睛】本题考查了全等三角形的问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键15如图，ABC的外角DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PDAB于D，PEAC于E（1）求证：BDCE；（2）若AB6cm，AC10cm，求AD的长【答案】（1）证明见解析；（2）2【分析】（1）连接、，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得 ，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；（2）利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据、的长度表示出、，然后
21、解方程即可【详解】（1）证明：连接、，点在的垂直平分线上，是的平分线，在和中，；（2）解：在和中，即，解得【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键16已知：如图，分别平分和，点E在上用等式表示线段、三者之间的数量关系，并证明【答案】AB=AC+BD，证明见详解【分析】延长AE，交BD的延长线于点F，先证明AB=BF，进而证明ACEFDE，得到AC=DF，问题得证【详解】解：延长AE，交BD的延长线于点F，F=CAF，平分，CAF=BAF，F=BAF，AB=BF，
22、平分，AE=EF，F=CAF，AEC=FED，ACEFDE，AC=DF，AB=BF=BD+DF=BD+AC【点睛】本题考查了等腰三角形的判断与性质，全等三角形的判定与性质，根据题意添加辅助线构造等腰三角形和全等三角形是解题关键17如图1，在中，分别是和的角平分线，和相交于点（1）求证：平分；（2）如图2，过作于点，连接，若，求证：；（3）如图3，若，求证：【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析【分析】（1）过D点分别作三边的垂线，垂足分别为G、H、K，根据角平分线的定义可证得DG=DH=DK，从而根据角平分线的判定定理可证得结论；（2）作，在上取一点，使，通过证明和得到，
23、从而根据等角对等边判断即可；（3）延长至，使，连接，通过证明得到，再结合即可得出结论【详解】（1）证明：如图所示，过D点分别作三边的垂线，垂足分别为G、H、K，分别是和的角平分线，平分；（2）证明：如图，作，在上取一点，使平分，在四边形中，又，在和中，在和中，又，；（3）证明：延长至，使，连接，分别是和的角平分线，又，在和中，【点睛】本题考查角平分线的性质与判断，以及全等三角形的判定与性质，灵活结合角平分线的性质构造辅助线是解题关键18阅读下面材料：小明遇到这样一个问题:如图一，ABC中，A=90，AB=AC，BD平分ABC，猜想线段AD与DC数量关系.小明发现可以用下面方法解决问题:作DEB
24、C交BC于点E：(1)根据阅读材料可得AD与DC的数量关系为_.(2)如图二，ABC中，A=120，AB=AC，BD平分ABC，猜想线段AD与DC的数量关系，并证明你的猜想.(3)如图三，ABC中，A=100，AB=AC，BD平分ABC，猜想线段AD与BD、BC的数量关系，并证明你的猜想. 【答案】（1）CD=2AD；（2）CD=3AD；（3）BC=AD+BD.【解析】【分析】（1）由角平分线的性质可得AD=DE，根据A=90，AB=AC，可得C=45，由DEBC可得DEC是等腰直角三角形，可得CD=2DE，进而可得答案；（2）在BC上截取BE=AB，连接DE，利用SAS可证明ABDEBD，可得AD=DE，BED=A=120，由等腰三角形的性质可得C=30，利用三角形外角性质可得CDE=90，利用含30角的直角三角形的性质即可得答案；（3）在BC上取一点E，使BE=BD，作DFBA于F，DGBC于G，由角平分线的性质就可以得出DF=DG，利用AAS可证明DAFDEG，可得 DA=DE，利用外角性质可求出EDC=40，进而可得DE=CE，即可得出结论【详解】（1）A=90，BD平分ABC，DEBC，DE=AD，A=90，AB=AC，C=45，CDE是等腰直角三角形，CD=2DE=2AD，故答案为：CD=2AD
