1、专题08推理能力课之全等辅助线综合压轴题专练（解析版）学校:_姓名：_班级：_考号：_ 一、单选题1如图，在中，点，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于E，F两点，作直线，交于点H，交于点G若，则点G的坐标为（ ）ABCD【答案】D【分析】过点B作轴于N，过点C作交的延长线于M证明，推出，设，则，构建方程组，解决问题即可【详解】解：过点B作轴于N，过点C作交的延长线于M由作图可知，垂直平分线段，点G是的中点，在和中，设，则，点故选：D【点睛】本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型2如图，在和
2、中，点，分别是，的中点把绕点在平面自由旋转，则的面积不可能是（ ）A8B6C4D2【答案】A【分析】由于已知两个三角形是等腰直角三角形并且构成手拉手模型，所以连接，的延长线交的延长线于，交于根据中位线定理以及角的关系证明是等腰直角三角形，再利用三角形的三边关系求出PQ的范围即可解决问题【详解】连接，的延长线交的延长线于，交于，点，分别是，的中点，是等腰直角三角形，的面积不可能是8，故选：A【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的中位线定理等知识，添加常用辅助线，构造全等三角形是解题的关键 二、填空题3如图，四边形中，则的面积为_【答案】50【分析】过点B作BED
3、C交DC的延长线于点E，先证明CBE=ACD，从而证明 ACD CBE，进而即可求解【详解】过点B作BEDC交DC的延长线于点E，BECE，BEC=CDA=90，CBE+BCE=90，又ACB=90，BCE+ACD=90，CBE=ACD，在 ACD与 CBE中， ACD CBE（AAS），BE=CD=10，的面积=CDBE=1010=50，故答案是50【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加辅助线，构造“一线三垂直”模型，是解题的关键4在中，点在边上，若，则的长为_【答案】【分析】将CE绕点C顺时针旋转90得到CG，连接GB，GF，可得ACEBCG，从而得FG2A
4、E2BF2，再证明ECFGCF，从而得EF2AE2BF2，进而即可求解【详解】解：将CE绕点C顺时针旋转90得到CG，连接GB，GF，BCEECABCGBCE90ACEBCG在ACE与BCG中，ACEBCG（SAS），ACBG45，AEBG，FBGFBCCBG90在RtFBG中，FBG90，FG2BG2BF2AE2BF2又ECF45，FCGECGECF45ECF在ECF与GCF中，ECFGCF（SAS）EFGF，EF2AE2BF2，BF=，故答案是：【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及旋转变换，二次根式的化简，通过旋转变换，构造全等三角形，是解题的关键5如图，在平面直角坐标系中，为坐
5、标原点，点在轴上运动，以为边作等腰，（点，呈顺时针排列），当点在轴上运动时，点也随之运动在点的运动过程中，的最小值为_【答案】【分析】过点A作直线lx轴，过C，B作CDl于点D，BEl于点E，易证CDA AEB，从而得AD=BE=OA=5，作点A关于CD的对称点A，由三角形三边长关系得：当O，C，A三点共线时，有最小值=OA，利用勾股定理即可求解【详解】如图，过点A作直线lx轴，过C，B作CDl于点D，BEl于点E，DCA+CAD=90，EAB+CAD=180-90=90，DCA=EAB，又CDA=AEB=90，AB=AC，CDA AEB（AAS），BE=AD，AD=BE=OA=5，作点A关于
6、CD的对称点A，连接CA，则点A在直线l上，DA=DA=5，AC=AC，=OC+AC，在COA中，OC+ACOA，当O，C，A三点共线时，有最小值=OA，此时，OA=，最小值=故答案是：【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用轴对称求线段和的最小值问题，添加合适的辅助线，构造直角三角形，是解题的关键 三、解答题6如图，在中，直线经过点，且于点，于点（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：；（2）当直线绕点旋转到如图2所示的位置时，求证：；（3）当直线绕点旋转到如图3所示的位置时，试问，具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明【答案】（1）见解析；见解析；
7、（2）见解析；（3）【分析】（1）由ACB=90，得ACD+BCE=90，而ADMN于D，BEMN于E，则ADC=CEB=90，根据等角的余角相等得到ACD=CBE，证得RtADCRtCEB，由RtADCRtCEB，得出AD=CE，DC=BE，即可得到DE=DC+CE=BE+AD（2）根据等角的余角相等得到ACD=CBE，证得ADCCEB，得到AD=CE，DC=BE，所以DE=CECD=ADBE（3）DE、AD、BE具有的等量关系为：DE=BEAD证明的方法与（2）相同【详解】解：（1）证明：于点，于点，又，；证明：由知，；（2）证明：于点，于点，又，；（3）（或，）由（2）的方法证得ADCC
8、EB，AD=CE，DC=BE，DE=CDCE=BEAD【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角也考查了直角三角形全等的判定与性质7有如下一道作业题：如图1，四边形ABCD是正方形，以C为直角顶点作等腰直角三角形CEF，DF求证：BCEDCF（1）请你完成这道题的证明：（2）如图2，在正方形ABCD中，点N是边CD上一点，CMCN，连接DM，连接FC求证：BFC45把FC绕点F逆时针旋转90得到FP，连接CP（如图3）求证：BFCP+DF【答案】（1）见解析；（2）见解析；见解析【分析】（1）由正方形的性质可知CB=
9、CD，BCD=90，再根据题意推出BCE=DCF，以及CE=CF，从而利用“SAS”证明全等即可；（2）根据题意可先证明BCNDCM，从而推出CBN=CDM，然后作CGCF交BF于G点，再证明BCGDCF，即可得到CFG为等腰直角三角形，从而得出结论；作CQCF交BF于Q点，结合的结论，可得BQ=DF，然后结合题意证明四边形CQFP为平行四边形，即可得到CP=QF，从而证得结论【详解】（1）四边形ABCD为正方形，CB=CD，BCD=90，即：BCE+ECD=90，CEF为等腰直角三角形，CE=CF，ECF=90，即：ECD+DCF=90，BCE=DCF，在BCE与DCF中，BCEDCF（SA
10、S）；（2）由正方形性质可知，BCN=DCM=90，在BCN和DCM中，BCNDCM（SAS），CBN=CDM，如图，作CGCF交BF于G点，则GCF=90，BCG=DCF，在BCG和DCF中，BCGDCF（ASA），CG=CF，CFG为等腰直角三角形，BFC=45；如图所示，作CQCF交BF于Q点，由可知，BCQDCF，BQ=DF，且由证明可知，CQF为等腰直角三角形，FP由FC绕F点旋转90得到，CFP为等腰直角三角形，P=CQF=45，QFP=QCP=90+45=135，四边形CQFP为平行四边形，CP=QF，BF= QF +BQ，BF=CP+DF【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形
11、的判定与性质，平四边形的判定与性质等，熟练掌握图形的基本性质，掌握几何证明中的常见模型是解题关键8在中，直线经过点，于，于，于请解答下列问题：（1）如图，求证：；（提示：过点作于）（2）如图、图，线段，之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明；（3）在（1）（2）的条件下，若，则_【答案】（1）证明见解析；（2）图：，图：；（3）9或7【分析】（1）如图过点作于点，先利用垂直和平行求得，根据全等三角形的性质得到，根据矩形的性质得到，根据线段的和差即可得到结论；（2）同理可得， ，根据线段的和差即可得到结论；（3）先利用勾股定理求出BE，根据（1）（2）的结论代入数据即可得到结论【详解
12、】（1）证明：过点作于点，则，即，又在中，四边形为矩形，；（2）图：，图：；理由：如图，过点作交的延长线于，则同理可得：，；如图，过点作交的延长线于， 同理可得：，；（3）解：如图， ，由（1）得；如图同理；图不存在，综上所述，或，故答案为：9或7【点睛】本题考查了四边形的综合题，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键9如图，正方形中，是的中点，交外角的平分线于 （1）求证：；（2）如图，当是上任意一点，而其它条件不变，是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由【答案】（1）见解析；（2）成立，证明见解析【分析】（1）取的中点，连接，根据已知及
13、正方形的性质利用判定，从而得到；（2）成立，在上取，连接，根据已知及正方形的性质利用判定，从而得到【详解】（1）证明：取的中点，连接，如图；是正方形，；，又，在和中，；（2）解：成立在上取，连接，如图，为正方形， ，又，在和中，【点睛】此题考查了学生对正方形的性质及全等三角形判定的理解及运用，解题关键是构造10如图，在正方形ABCD中，点P在直线BC上，作射线AP，将射线AP绕点A逆时针旋转45，得到射线AQ，交直线CD于点Q，过点B作BEAP于点E，交AQ于点F，连接DF（1）依题意补全图形；（2）用等式表示线段BE，EF，DF之间的数量关系，并证明【答案】（1）补全图形见解析；（2）BE+
14、DF=EF，证明见解析【分析】（1）根据题意补全图形即可（2）延长FE到H,使EH=EF，根据题意证明ABHADF，然后根据全等三角形的性质即可证明【详解】（1）补全图形（2）BE+DF=EF证明：延长FE到H,使EH=EFBEAP，AH=AF，HAP=FAP=45，四边形ABCD为正方形，AB=AD，BAD=90BAP+2=45，1+BAP=451=2，ABHADF，DF=BH，BE+BH=EH=EF，BE+DF=EF【点睛】此题考查了正方形的性质和全等三角形的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线11把两个等腰直角ABC和ADE按如图1所示的位置摆放，将ADE绕点A按逆时针方向旋转，如图2，
15、连接BD，EC，设旋转角为（0360）（1）当DEAC时，AD与BC的位置关系是 ，AE与BC的位置关系是 （2）如图2，当点D在线段BE上时，求BEC的度数；（3）若ABD的外心在边BD上，直接写出旋转角的值【答案】（1）垂直，平行；（2）90；（3）90或270【分析】（1）根据题意画出图形，利用三线合一性质可证明AD与BC垂直，再根据平行线的判定可证明AE与BC平行；（2）利用等腰三角形的性质证明BADCAE，求出ADBAEC135，所以BECAEC4590；（3）根据题意画出图形，由题意知，当ABD的外心在边BD上时，ABD是以BD为斜边的直角三角形，所以旋转角为90或270【详解】解
16、：（1）如图，设AC与DE交于点H，在等腰直角ABC和ADE中，BACDAE90，ADAE，ABAC，BC45，DEAC，DAHEAHDAE45，BADBACDAH45，BADDAH，ADBC，EAHC45，AEBC，故答案为：垂直，平行；（2）在等腰直角ADE中，ADAE，DAE90，在等腰直角ABC中，ABAC，BAC90，BADBACDAC90DAC，CAEDAEDAC90DAC，BADCAE，又ABAC，ADAE，BADCAE（SAS），ADBAEC180ADE135，BECAEC451354590；（3）如图，因为ABD的外心在边BD上时，ABD是以BD为斜边的直角三角形，所以旋转角
17、为90或270【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等，解题关键是熟练掌握旋转的性质，能够根据题意画出图形12如图1，在等腰中，点是线段的中点，将线段绕点顺时针旋转得到，连接（1）如图2，若，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段和之间的数量关系_（直接写结论，不必说明理由）（2）如图3，若，其他条件不变，探究线段、和之间的等量关系，并说明理由（3）如图4，若，其他条件不变，探究线段、和之间的等量关系为_【答案】（1）图形见详解，BC=AB=2BD；（2）BC=BD+BP，理由见详解；（3）BC =BD+BP【分析】（1）先补全图形，再连接CD，可得是等边三
18、角形，从而推出BC是PD的垂直平分线，进而即可得到结论；（2）取BC的中点F，连接PF，推出是等腰直角三角形，从而得BF=BP，再证明，进而即可求解；（3）由，可得BD=CF，从而得PF=BP=BF，进而即可得到结论【详解】解：（1）补全图形如下：BC=2BD，理由如下：连接CD，线段绕点顺时针旋转=60得到，CP=DP，CPD=60，是等边三角形，CDP=DCP=60，点是线段的中点，A=60，AB=AC，是等边三角形，CPAB，BCP=ACB=30，BCD=60-30=30，BC平分PCD，BC是PD的垂直平分线，BD=PB，即：BC=AB=2BD；（2）取BC的中点F，连接PF，A=90
19、，AB=AC，是等腰直角三角形，P是AB的中点，F是BC的中点，PF是的中位线，PFAC，PFB=ACB=45，BPF=A=90，是等腰直角三角形，BF=BP，BP=PF，DPC=BPF=90，BPD=FPC，又PD=PC，BD=CF，BC=BF+FC，BC=BD+BP；（3）由第（2）题可知：，BD=CF，BAC=DPC=120，PFAC，PF=AC，又BP=AB，AB=AC，PF=BP=BF，BC=BF+CF=BD+BP【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，添加合适的辅助线，构造全等三角形，是解题的关键13问题背景（1）如图1，是等腰直角三角
20、形，直线过点，垂足分别为，求证：；尝试应用（2）如图2，三点共线，求的长；拓展创新（3）如图3，在中，点，分别在，上，若，直接写出的值为 【答案】（1）见解析；（2）；（3）5【分析】（1）由“”可证；（2）延长，交于点，过点作于，由（1）可知：，可得，由直角三角形的性质可求解；（3）通过证明，可求，通过证明，可求，即可求解【详解】解：（1）证明：，在和中，；（2）如图2，延长，交于点，过点作于，由（1）可知：，；（3）如图3，过点作，交的延长线于，延长交于，过点作于，过点作于，设，由（1）可知：，又，故答案为【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等
21、腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形或相似三角形是本题的关键14在菱形中，点是射线上一动点，以为边向右侧作等边（1）如图1，当点在菱形内部或边上时，连接与的数量关系是_，与的位置关系是_；（2）当点在菱形外部时（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由（请结合图2的情况予以证明或说理）（3）如图3，当点在线段的延长线上时，连接，若，求四边形的面积【答案】（1）；（2）成立，见解析；（3）【分析】（1）连接AC，证明ABPACE，根据全等三角形的对应边相等即可证得BP=CE；根据菱形对角线平分对角可得，再根据ABPACE，可得，继而可推导得出，即可证得C
22、EAD；（2）（1）中的结论：BP=CE，CEAD 仍然成立，利用（1）的方法进行证明即可；（3）连接AC交BD于点O，连接CE，作EHAP于H，由已知先求得，再利用勾股定理求出CE的长，AP长，由APE是等边三角形，求得PH，EH的长，再根据，进行计算即可得【详解】（1）BP=CE，理由如下：连接AC，菱形ABCD，ABC=60，ABC是等边三角形，AB=AC，BAC=60，APE是等边三角形，AP=AE ，PAE=60 ，BAP=CAE，ABPACE，BP=CE； CEAD ，菱形对角线平分对角，ABPACE，CFAD ，即CEAD；（2）（1）中的结论仍然成立，理由如下：连接，菱形，和都
23、是等边三角形，是等边三角形，（1）中的结论仍然成立；（3）连接交于点，连接，作于， 四边形是菱形，平分， ， ，由（2）知，由（2）知，是等边三角形，四边形的面积是【点睛】本题考查四边形综合题、菱形的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确添加常用辅助线，寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题15如图1，在等腰直角三角形中，点，分别为，的中点，为线段上一动点（不与点，重合），将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接，（1）证明：；（2）如图2，连接，交于点证明：在点的运动过程中，总有；若，当的长度为多少时，为等腰三角形？【答案】（1）见详解；（2）见详解
24、；当的长度为2或时，为等腰三角形【分析】（1）由旋转的性质得AH=AG，HAG=90，从而得BAH=CAG，进而即可得到结论；（2）由，得AH=AG，再证明，进而即可得到结论；为等腰三角形，分3种情况：（a）当QAG=QGA=45时，（b）当GAQ=GQA=67.5时，（c）当AQG=AGQ=45时，分别画出图形求解，即可【详解】解：（1）线段绕点A逆时针方向旋转得到，AH=AG，HAG=90，在等腰直角三角形中，AB=AC，BAH=90-CAH=CAG，；（2）在等腰直角三角形中，AB=AC，点，分别为，的中点，AE=AF，是等腰直角三角形，AH=AG，BAH =CAG，AEH=AFG=45
25、，HFG=AFG+AFE=45+45=90，即：；，点，分别为，的中点，AE=AF=2，AGH=45，为等腰三角形，分3种情况：（a）当QAG=QGA=45时，如图，则HAF=90-45=45，AH平分EAF，点H是EF的中点，EH=；（b）当GAQ=GQA=（180-45）2=67.5时，如图，则EAH=GAQ=67.5，EHA=180-45-67.5=67.5，EHA=EAH，EH=EA=2；（c）当AQG=AGQ=45时，点H与点F重合，不符合题意，舍去，综上所述：当的长度为2或时，为等腰三角形【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定定理，根据题意画出图形，进行分类讨论，是解题的关键16（1）如图，在正方形中，、分别是，上的点，且直接写
