1、专题04整式的乘法与因式分解单元综合提优专练（解析版）学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题1下列从左到右的变形中是因式分解的有()x2y21=(x+y)(xy)1；x3+x=x(x2+1)；(xy)2=x22xy+y2；x29y2=(x+3y)(x3y).A1个B2个C3个D4个【答案】B【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案【详解】没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故不是因式分解；把一个多项式转化成几个整式积的形式，故是因式分解；整式的乘法，故不是因式分解；把一个多项式转化成几个整式积的形式，故是因式分解；故选B【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式转
2、化成几个整式积的形式是解题关键2下列等式从左到右的变形是因式分解的是（）A2x（x+3）2x2+6xB24xy23x8y2Cx2+2xy+y2+1（x+y）2+1Dx2y2（x+y）（xy）【答案】D【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可【详解】A、不是因式分解，故本选项不符合题意；B、不是因式分解，故本选项不符合题意；C、不是因式分解，故本选项不符合题意；D、是因式分解，故本选项符合题意；故选D【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解3已知A4x2，B是多项式，在计算B+A时，小马虎同学把B+A看成了BA
3、，结果得32x516x4，则B+A为（ ）A8x3+4x2B8x3+8x2C8x3D8x3【答案】C【分析】根据整式的运算法则即可求出答案【详解】由题意可知：-4x2B=32x5-16x4，B=-8x3+4x2A+B=-8x3+4x2+（-4x2）=-8x3故选C【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型4图（1）是一个长为2m，宽为2n（mn）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（ ）A2mnB（m+n）2C（m-n）2Dm2-n2【答案】C【详解】解：
4、由题意可得，正方形的边长为（m+n），故正方形的面积为（m+n）2又原矩形的面积为4mn，中间空的部分的面积=（m+n）2-4mn=（m-n）2故选C5观察下列各式及其展开式：（a+b）2=a2+2ab+b2（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5请你猜想（a+b）10的展开式第三项的系数是（ ）A36B45C55D66【答案】B【分析】归纳总结得到展开式中第三项系数即可【详解】解：解：（a+b）2=a2+2ab+b2；（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3
5、；（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6；（a+b）7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7；第8个式子系数分别为：1，8，28，56，70，56，28，8，1；第9个式子系数分别为：1，9，36，84，126，126，84，36，9，1；第10个式子系数分别为：1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1，则（a+b）10的展开式第三项的系
6、数为45故选B【点睛】本题考查了完全平方公式的规律，根据给的式子得出规律是解题的关键.6已知a2+a4=0，那么代数式：a2（a+5）的值是（ )A4B8C12D16【答案】D【分析】由a2+a4=0，变形得到a2=-（a-4），a2+a=4，先把a2=-（a-4）代入整式得到a2（a+5）=-（a-4）（a+5），利用乘法得到原式=-（a2+a-20），再把a2+a=4代入计算即可【详解】a2+a4=0，a2=-（a-4），a2+a=4，a2（a+5）=-（a-4）（a+5）=-（a2+a-20）=(420)=16，故选D【点睛】此题考查整式的混合运算化简求值，掌握运算法则是解题关键7下列因
7、式分解正确的是（）ABCD【答案】D【分析】利用提公因式法、公式法、十字相乘法等对各选项进行分解因式即可判断正误.【详解】A、，故A选项错误；B、，故B选项错误；C、不能分解，故C选项错误；D、，正确，故选D.【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法以及注意事项是解题的关键.8观察下列两个多项式相乘的运算过程：根据你发现的规律，若（x+a）（x+b）=x2-7x+12，则a，b的值可能分别是（）A，B，4C3，D3，4【答案】A【分析】根据题意可得规律为，再逐一判断即可.【详解】根据题意得，a，b的值只要满足即可，A.-3+（-4）=-7，-3（-4）=12，符合题意；B.-3+4=
8、1，-34=-12，不符合题意；C.3+（-4）=-1,3（-4）=-12，不符合题意；D.3+4=7,34=12，不符合题意.故答案选A.【点睛】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是根据题意找出规律.9在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）ABCD【答案】A【分析】分别表示出甲乙图形中阴影部分的面积，根据面积相等可得结论.【详解】甲图中阴影部分的面积为大正方形的面积减去小正方形的面积，即，乙图中阴影部分长方形的长为，宽为，阴影部分的面积为，根据两个图形中阴影部分的面积相等可得.故选：A
9、.【点睛】本题考查了平方差公式的验证，灵活表示图形的面积是解题的关键.10因式分解，甲看错了a的值，分解的结果是，乙看错了b的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为（ ）ABCD【答案】B【分析】根据甲看错了a的值，将分解的结果展开，能求出正确的b的值，乙看错了b的值，可以求出a的值，再因式分解即可得到答案【详解】解：甲看错了a的值b是正确的=b=-6乙看错了b的值a是正确的=a=-1=故选：B【点睛】本题主要考查了因式分解，熟练因式分解以及计算是解决本题的关键二、填空题11如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b=7，ab=13，则阴影部分的面积为_【答案】5【分析】由大三角形面积减
10、去小三角形面积表示出阴影部分面积，将a+b与ab的值代入计算即可求出值.【详解】解：根据题意得：当a+b=7，ab=13时，S阴影= a2-b（a-b）=a2-ab+b2=（a+b）2-2ab-ab=5，故答案为5【点睛】此题考查了完全平方公式的几何背景，表示出阴影部分面积是解本题的关键.12甲、乙两个同学分解因式时，甲看错了b，分解结果为；乙看错了a，分解结果为，则 _ 【答案】15【分析】由题意分析a，b是相互独立的，互不影响的，在因式分解中，b决定因式的常数项，a决定因式含x的一次项系数；利用多项式相乘的法则展开，再根据对应项系数相等即可求出ab的值.【详解】解：分解因式x2+ax+b，
11、甲看错了b，但a是正确的，他分解结果为（x+2）（x+4）=x2+6x+8，a=6，同理：乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9）=x2+10x+9，b=9，因此a+b=15故应填15.【点睛】此题考查因式分解与多项式相乘是互逆运算，利用对应项系数相等是求解的关键.13若x，y满足方程组则的值为_.【答案】【分析】方程组中第二个方程整理后求出x+y的值，原式利用平方差公式变形，将各自的值代入计算即可求出值【详解】解：由得，因为，所以.故答案为【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，以及平方差公式，将原式进行适当的变形是解本题的关键14有两个正方形，现将放在的内部得图甲，将并列放置后构造新的正方
12、形得图乙若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形的边长之和为_【答案】5【分析】设正方形A，B的边长分别为a，b，根据图形构建方程组即可解决问题【详解】解：设正方形A，B的边长分别为a，b由图甲得：，由图乙得：，化简得，a+b0，a+b=5，故答案为：5【点睛】本题考查完全平方公式，正方形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程组解决问题，属于中考常考题型15在我们所学的课本中，多项式与多项式相乘可以用几何图形的面积来表示.例如，（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2就可以用图（1）来表示.请你根据此方法写出图（2）中图形的面积所表示的代数恒等式：_.【答案】（a+2
13、b）（2a+b）=2a2+5ab+2b2【详解】试题分析：图的面积可以用长为a+a+b，宽为b+a+b的长方形面积求出，也可以由四个正方形与5个小长方形的面积之和求出，表示出即可解：根据图形列得：（a+2b）（2a+b）=2a2+5ab+2b2故答案为（a+2b）（2a+b）=2a2+5ab+2b2考点：多项式乘多项式点评：此题考查了多项式乘以多项式法则，熟练掌握法则是解本题的关键16分解因式（2a1）2+8a_【答案】（2a+1）2【分析】运用乘法公式展开，合并同类项即可，再根据完全平方公式进行分解因式【详解】原式4a2+4a+1（2a）2+4a+1（2a+1）2，故答案为：（2a+1）2【
14、点睛】本题考查乘法公式在多项式的化简及因式分解中的运用解题关键是明确要求，特别是因式分解时，要分解到不能再分解为止17=_【答案】【分析】先利用平方差公式把每一个因数化为两个因数的积，约分后可得余下的因数，再计算乘法，从而可得答案【详解】解：=故答案为：【点睛】本题考查的是有理数的乘法运算，运用平方差公式对有理数进行简便运算，掌握以上知识是解题的关键18若多项式是完全平方式，则的值是_【答案】【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到结果【详解】是完全平方式，故答案为：【点睛】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解本题的关键三、解答题19先化简，再求值：，其中，【答案】a
15、b-1,【分析】先算乘法，再合并同类项，算除法，最后代入求出即可【详解】，当，时，原式【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键20(1)若3a=5，3b=10，则3a+b的值(2)已知a+b=3，a2+b2=5，求ab的值【答案】(1)50；(2)2 .【分析】（1）逆用同底数幂的乘法进行计算即可得；（2）由a+b=3，可得a2+2ab+b2=9，再根据a2+b2=5，即可求得ab的值.【详解】（1）3a=5，3b=10，3a+b=3a3b=510=50；（2）a+b=3，（a+b）2=9，即a2+2ab+b2=9，又a2+b2=5，ab=2.【点
16、睛】本题考查了同底数幂乘法的逆用，完全平方公式，熟练掌握同底幂乘法的运算法则是解（1）的关键，掌握完全平方公式是解（2）的关键.21如图所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图的方式拼成一个正方形(1)按要求填空：你认为图中的阴影部分的正方形的边长等于_；请用两种不同的方法表示图中阴影部分的面积：方法1：_方法2：_观察图，请写出代数式(m+n)2，(m-n)2，mn这三个代数式之间的等量关系：_；(2)根据(1)题中的等量关系，解决如下问题：若|m+n-6|+|mn-4|=0，求(m-n)2的值(3)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示，如图
17、，它表示了_【答案】（1）mn；（mn）2；（m+n）24mn，（mn）2=（m+n）24mn；（2）（mn）2=20；（3）（2m+n）（m+n）=2m2+3mn+n2【分析】（1）观察可得阴影部分的正方形边长是m-n；方法1：阴影部分的面积就等于边长为m-n的小正方形的面积；方法2：边长为m+n的大正方形的面积减去4个长为m，宽为n的长方形面积；根据以上相同图形的面积相等可得；（2）根据|m+n-6|+|mn-4|=0可得m+n=6、mn=4，利用（1）中结论（m-n）2=（m+n）2-4mn计算可得；（3）根据：大长方形面积等于长乘以宽或两个边长分别为m、n的正方形加上3个长为m、宽为n
18、的小长方形面积和列式可得【详解】（1）阴影部分的正方形边长是mn方法1：阴影部分的面积就等于边长为mn的小正方形的面积，即（mn）2，方法2：边长为m+n的大正方形的面积减去4个长为m，宽为n的长方形面积，即（m+n）24mn；（mn）2=（m+n）24mn（2）|m+n6|+|mn4|=0，m+n6=0，mn4=0，m+n=6，mn=4由（1）可得（mn）2=（m+n）24mn（mn）2=（m+n）24mn=6244=20，（mn）2=20；（3）根据大长方形面积等于长乘以宽有：（2m+n）（m+n），或两个边长分别为m、n的正方形加上3个长为m、宽为n的小长方形面积和有：2m2+3mn+n
19、2，故可得：（2m+n）（m+n）=2m2+3mn+n2故答案为（1）mn；（2）（mn）2，（m+n）24mn，（mn）2=（m+n）24mn；（3）（2m+n）（m+n）=2m2+3mn+n2【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是熟练的掌握完全平方公式的相关知识.22观察下列算式：（1）请按照三个算式的规律写出第个、第个算式；（2）把这个规律用含有字母的式子表示出来，并说明其正确性.【答案】(1) 46-52=24-25=-1；57-62=35-36=-1；(2)n（n+2）-（n+1）2=-1【分析】（1）按照前3个算式的规律写出即可；（2）观察发现，算式序号与比序号大2
20、的数的积减去比序号大1的数的平方，等于-1，根据此规律写出即可【详解】（1）13-22=3-4=-1，24-32=8-9=-1，35-42=15-16=-1，46-52=24-25=-1；57-62=35-36=-1；（2）第n个式子是：n（n+2）-（n+1）2=-1故答案为46-52=24-25=-1；57-62=35-36=-1；n（n+2）-（n+1）2=-1【点睛】本题是对数字变化规律的考查，观察出算式中的数字与算式的序号之间的关系是解题的关键23阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（JNplcr，1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士
21、数学家欧拉（Evlcr，1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系对数的定义：一般地，若ax=N（a0，a1），那么x叫做以a为底N的对数，记作：x=logaN比如指数式24=16可以转化为4=log216，对数式2=log525可以转化为52=25我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：loga（MN）=logaM+logaN（a0，a1，M0，N0）；理由如下：设logaM=m，logaN=n，则M=am，N=anMN=aman=am+n，由对数的定义得m+n=loga（MN）又m+n=logaM+logaNloga（MN）=logaM+logaN解决以下问题：（1）将指数43=64
22、转化为对数式: .（2）仿照上面的材料，试证明： =(a0，al，M0，N0).（3） 拓展运用：计算log32+log36-log34=_.【答案】（1）3=log464；（2）见解析；（3）1【分析】（1）根据题意可以把指数式43=64写成对数式；（2）先设logaM=m，logaN=n，根据对数的定义可表示为指数式为：M=am，N=an，计算的结果，同理由所给材料的证明过程可得结论；（3）根据公式：loga（MN）=logaM+logaN和loga=logaM-logaN的逆用，将所求式子表示为：log3（264），计算可得结论【详解】（1）由题意可得，指数式43=64写成对数式为：3=
23、log464，故答案为3=log464；（2）设logaM=m，logaN=n，则M=am，N=an，=am-n，由对数的定义得m-n=loga，又m-n=logaM-logaN，loga=logaM-logaN（a0，a1，M0，N0）；（3）log32+log36-log34，=log3（264），=log33，=1，故答案为1【点睛】此题考查整式的混合运算，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系.24阅读：已知a、b、c为ABC的三边长，且满足a2c2b2c2a4b4，试判断ABC的形状解：因为a2c2b2c2a4b4，所以c2（a2b2）（a2b2）（a2+b2
24、）所以c2a2+b2所以ABC是直角三角形请据上述解题回答下列问题：（1）上述解题过程，从第 步（该步的序号）开始出现错误，错的原因为 ；（2）请你将正确的解答过程写下来【答案】（1），忽略了a2b20的可能；（2）见解析【分析】（1）上述解题过程，从第三步出现错误，错误原因为在等式两边除以a2-b2，没有考虑a2-b2是否为0；（2）正确的做法为：将等式右边的移项到方程左边，然后提取公因式将方程左边分解因式，根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个数为0转化为两个等式；根据等腰三角形的判定，以及勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形或等腰三角形【详解】解：（1）上述解题过程，从第步开始出现错误
25、，错的原因为：忽略了a2b20的可能；（2）正确的写法为：c2（a2b2）（a2+b2）（a2b2），移项得：c2（a2b2）（a2+b2）（a2b2）0，因式分解得：（a2b2）c2（a2+b2）0，则当a2b20时，ab；当a2b20时，a2+b2c2；所以ABC是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形故答案为：，忽略了a2b20的可能【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用、分类讨论判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可25如图，一块长5厘米、宽2厘米的长方形纸板，一块长4厘米、宽1厘米的长方形纸板，一块小正方形以及另两块长方形的纸板，恰好拼成
26、一个大正方形，求大正方形的面积.【答案】大正方形的面积是36cm2【分析】设小正方形的边长为x，然后表示出大正方形的边长，利用正方形的面积相等列出方程求得小正方形的边长，然后求得大正方形的边长即可求得面积【详解】设小正方形的边长为x，则大正方形的边长为4（5x）cm或（x12）cm，根据题意得：4（5x）（x12），解得：x3，4（5x）6，大正方形的面积为36cm2答：大正方形的面积为36cm2【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是设出小正方形的边长并表示出大正方形的边长26某小区有一块长为()米,宽为()米的长方形地块(如图所示)，物业公司计划将中间修建一小型喷泉,然后将周围(
27、阴影部分)进行绿化;(1)应绿化的面积是多少平方米?(2)当时求出应绿化的面积.【答案】（1）；（2）63.【分析】（1）依据应绿色的面积=矩形面积-正方形面积列式计算即可；（2）将a=3，b=2代入化简后的结果，最后，依据有理数的运算法则进行计算即可.【详解】(1) 依题意得：绿化的面积=答：绿化的面积为（）平方米；(2) 当时，平方米.答：当时应绿化的面积为63平方米.【点睛】本题考查了阴影部分面积的表示和多项式的乘法，完全平方公式，准确列出阴影部分面积的表达式是解题的关键.27下面是某同学对多项式（x24x+2）（x24x+6）+4进行因式分解的过程解：设x24x=y原式=（y+2）（y
28、+6）+4 （第一步）= y2+8y+16 （第二步）=（y+4）2 （第三步）=（x24x+4）2（第四步）回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_ A提取公因式 B平方差公式 C完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底？_（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x22x）（x22x+2）+1进行因式分解【答案】（1）C；（2）不彻底，（x-2)4 ；（3） (x-1)4【分析】（1）观察多项式结构发现利用了完全平方公式；（2）观察发现分解不彻底，最后一步括号里还能利用完全平方公式分解；（3）类比例题中的方法将原式分解即可【详解】解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的完全平方公式，故选：C；（2）x24x+4=（x-2)2 ，该同学因
