1、专题24.6 直线与圆的位置关系及切线的判定与性质【十大题型】【人教版】【题型1 已知距离及半径判断直线与圆的位置关系】2【题型2 已知直线与圆的位置关系确定取值范围】4【题型3 根据直线与圆的位置关系确定交点个数】6【题型4 利用直线与圆的位置关系求最值】9【题型5 定义法判断切线】13【题型6 切线的判定（连半径证垂直）】15【题型7 切线的判定（作垂直证半径）】19【题型8 利用切线的性质求线段长度】23【题型9 利用切线的性质求角度】27【题型10 利用切线的判定与性质的综合运用】30【知识点1 直线与圆的位置关系】直线与圆的位置关系设的半径为，圆心到直线的距离为则有：相交：直线和圆有
2、两个公共点直线和相交相切：直线和圆只有一个公共点直线和相切相离：直线和圆没有公共点直线和相离【题型1 已知距离及半径判断直线与圆的位置关系】【例1】（2022春金山区校级月考）已知同一平面内有O和点A与点B，如果O的半径为6cm，线段OA10cm，线段OB6cm，那么直线AB与O的位置关系为（）A相离B相交C相切D相交或相切【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断【解答】解：O的半径为6cm，线段OA10cm，线段OB6cm，即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，点A在O外点B在O上，直线AB与O的位置关系为相交或相切，故选：D【变式1-1】（2022秋韶关期
3、末）已知O的半径等于3，圆心O到直线l的距离为5，那么直线l与O的位置关系是（）A直线l与O相交B直线l与O相切C直线l与O相离D无法确定【分析】根据“若dr，则直线与圆相交；若dr，则直线于圆相切；若dr，则直线与圆相离”即可得到结论【解答】解：O的半径等于3，圆心O到直线l的距离为5，35，直线l与O相离故选：C【变式1-2】（2022秋川汇区期末）在平面直角坐标系中，原点为O，点P在函数y=14x21的图象上，以点P为圆心，以OP为半径的圆与直线y2的位置关系是（）A相离B相切C相交D三种情况均有可能【分析】设P（t，14t21），利用两点间的距离公式计算出OP=14t2+1，再计算出P
4、点到直线y2的距离为14t2+1，然后根据直线与圆的位置关系的判定方法可得到圆与直线y2相切【解答】解：设P（t，14t21），OP=t2+(14t21)2=(14t2+1)2=14t2+1，抛物线的顶点坐标为（0，1），P点在直线y2的上方，P点到直线y2的距离为14t21（2）=14t2+1，P点到直线y2的距离等于圆的半径，以点P为圆心，以OP为半径的圆与直线y2的位置关系是相切故选：B【变式1-3】（2022秋自贡期末）如图，O的半径为5，圆心O到一条直线的距离为2，则这条直线可能是（）Al1Bl2Cl3Dl4【分析】利用直线与圆的位置的判定方法进行判断【解答】解：直线l1与O相切，圆
5、心O到一条直线l1的距离为5，直线l2与O相离，圆心O到一条直线l2的距离大于5，直线l3与l4与O相交，圆心O到一条直线l3和直线l4的距离都小于5，而圆心O到直线l3的距离较小，圆心O到一条直线的距离为2，这条直线可能是直线l3故选：C【题型2 已知直线与圆的位置关系确定取值范围】【例2】（2022秋北仑区期末）O的半径为5，若直线l与该圆相交，则圆心O到直线l的距离可能是（）A3B5C6D10【分析】根据直线l和O相交dr，即可判断【解答】解：O的半径为5，直线l与O相交，圆心D到直线l的距离d的取值范围是0d5，故选：A【变式2-1】（2022松江区校级模拟）如图，已知RtABC中，C
6、90，AC3，BC4，如果以点C为圆心的圆与斜边AB有公共点，那么C的半径r的取值范围是（）A0r125B125r3C125r4D3r4【分析】根据直线与圆的位置关系得出相切时有一交点，再结合图形得出另一种有一个交点的情况，即可得出答案【解答】解：过点C作CDAB于点D，AC3，BC4如果以点C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，AB5，当直线与圆相切时，dr，圆与斜边AB只有一个公共点，圆与斜边AB只有一个公共点，CDABACBC，CDr=125，当直线与圆如图所示也可以有交点，125r4故选：C【变式2-2】（2022秋丛台区校级期中）已知矩形ABCD中，AB4，BC3，以点B为
7、圆心r为半径作圆，且B与边CD有唯一公共点，则r的取值范围为（）A3r4B3r5C3r4D3r5【分析】由于BDABBC，根据点与圆的位置关系得到3r5【解答】解：矩形ABCD中，AB4，BC3，BDAC=AB2+BC2=5，ADBC3，CDAB4，以点B为圆心作圆，B与边CD有唯一公共点，B的半径r的取值范围是：3r5；故选：D【变式2-3】（2022秋丛台区校级期中）以坐标原点O为圆心，作半径为4的圆，若直线yx+b与O相交，则b的取值范围是（）A0b22B42b42C22b22D42b42【分析】求出直线yx+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限，和当直线yx+b与圆相切，且函数经过二、
8、三、四象限时b的值，则相交时b的值在相切时的两个b的值之间【解答】解：当直线yx+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图在yx+b中，令x0时，yb，则与y轴的交点是B（0，b），当y0时，xb，则与y轴的交点是A（b，0），则OAOBb，即OAB是等腰直角三角形，在RtABC中，AB=OA2+OB2=b2+b2=2b，连接圆心O和切点C，则OC4，OCAB，SAOB=12OAOB=12ABOC，4=OAOBAB=bb2b，则b42；同理，当直线yx+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，b42；则若直线yx+b与O相交，则b的取值范围是42b42故选：D【题型3 根据直线与圆的位置关
9、系确定交点个数】【例3】（2022秋武汉期末）已知O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为6，那么直线l与O的公共点的个数是（）A0B1C2D无法确定【分析】利用直线与圆的位置关系的判断方法得到直线l和O相离，然后根据相离的定义对各选项进行判断【解答】解：O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为6，即圆心O到直线l的距离大于圆的半径，直线l和O相离，直线l与O没有公共点故选：A【变式3-1】（2022秋武汉期末）直角ABC，BAC90，AB8，AC6，以A为圆心，4.8长度为半径的圆与直线BC的公共点的个数为（）A0B1C2D不能确定【分析】根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系进行判断若dr，则
10、直线与圆相交；若dr，则直线于圆相切；若dr，则直线与圆相离【解答】解：BAC90，AB8，AC6，BC10，斜边上的高为：ABACBC=4.8，d4.8cmrcm4.8cm，圆与该直线BC的位置关系是相切，交点个数为1，故选：B【变式3-2】（2022武汉模拟）一个圆的半径是5cm，如果圆心到直线距离是4cm，那么这条直线和这个圆的公共点的个数是（）个A0B1C2D0或1或2【分析】根据当圆的半径r圆心到直线的距离d时，直线与圆相交，即可得出直线l和这个圆的公共点的个数【解答】解：圆的半径是5cm，如果圆心到直线距离是4cm，rd，直线与圆相交，这条直线和这个圆的公共点的个数为2故选：C【变
11、式3-3】（2022秋沭阳县期中）如图，在ABC中，C90，AC4，BC3，以点C为圆心，r为半径画圆（1）当r2.4时，C与边AB相切；（2）当r满足3r4或r2.4时，C与边AB只有一个交点；（3）随着r的变化，C与边AB的交点个数还有哪些变化？写出相应的r的值或取值范围【分析】（1）当C与边AB相切时，则dr，由此求出r的值即可；（2）根据直线与圆的位置关系得出相切时有一交点，再结合图形得出另一种有一个交点的情况，即可得出答案；（3）随着r的变化，C与边AB的交点个数由0个、1个、2个三种情况【解答】解：（1）过点C作CDAB于点D，AC3，BC4如果以点C为圆心，r为半径的圆与斜边AB
12、只有一个公共点，AB5，当直线与圆相切时，dr，圆与斜边AB只有一个公共点，圆与斜边AB只有一个公共点，如图1，CDABACBC，CDr2.4，故答案为：r2.4（2）当直线与圆相切时，即dr2.4，圆与斜边AB只有一个公共点，圆与斜边AB只有一个公共点，当直线与圆如图所示也可以有一个交点，如图2，3r4，故答案为：3r4或r2.4；（3）如图3，当0r2.4时，圆C与边AB有0个交点；如图1，当r2.4时，圆C与边AB有1个交点；如图4，当2.4r3时，圆C与边AB有2个交点；如图2，当3r4时，圆C与边AB有1个交点；如图5，当r4时，圆C与边AB有0个交点；综上所述，当0r2.4或r4时
13、，圆C与边AB有0个交点；当3r4或r2.4时，圆C与边AB有1个交点；当2.4r3时，圆C与边AB有2个交点【题型4 利用直线与圆的位置关系求最值】【例4】（2022秋常熟市期中）如图，直线y=34x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P是以C（1，0）为圆心，1为半径的圆上任意一点，连接PA，PB，则PAB面积的最小值是（）A5B10C15D20【分析】作CHAB于H交O于E、F当点P与E重合时，PAB的面积最小，求出EH、AB的长即可解决问题【解答】解：作CHAB于H交O于E、FC（1，0），直线AB的解析式为y=34x+3，直线CH的解析式为y=43x+43，由 y=43x+43y=
14、34x+3解得x=45y=125，H（45，125），CH=(1+45)2+(125)2=3，A（4，0），B（0，3），OA4，OB3，AB5，EH312，当点P与E重合时，PAB的面积最小，最小值=12525，故选：A【变式4-1】（2022秋凉山州期末）点A是半径为2的O上一动点，点O到直线MN的距离为3点P是MN上一个动点在运动过程中若POA90，则线段PA的最小值是 13【分析】根据勾股定理用OP表示出PA，根据垂线段最短解答即可【解答】解：POA90，PA=OA2+OP2=4+OP2，当OP最小时，PA取最小值，由题意得：当OPMN时，OP最小，最小值为3，PA的最小值为：4+32
15、=13，故答案为：13【变式4-2】（2022乐亭县一模）如图，O的半径是5，点A在O上P是O所在平面内一点，且AP2，过点P作直线l，使lPA（1）点O到直线l距离的最大值为7；（2）若M，N是直线l与O的公共点，则当线段MN的长度最大时，OP的长为21【分析】（1）如图1，当点P在圆外且O，A，P三点共线时，点O到直线l距离的最大，于是得到结论；（2）如图2，根据已知条件得到线段MN是O的直径，根据勾股定理即可得到结论【解答】解：（1）如图1，lPA，当点P在圆外且O，A，P三点共线时，点O到直线l的距离最大，最大值为AO+AP5+27；（2）如图2，M，N是直线l与O的公共点，当线段MN
16、的长度最大时，线段MN是O的直径，lPA，APO90，AP2，OA5，OP=OA2PA2=21，故答案为：7，21【变式4-3】（2022广汉市模拟）在RtABC中，C90，AC10，BC12，点D为线段BC上一动点以CD为O直径，作AD交O于点E，连BE，则BE的最小值为（）A6B8C10D12【分析】连接CE，可得CEDCEA90，从而知点E在以AC为直径的Q上，继而知点Q、E、B共线时BE最小，根据勾股定理求得QB的长，即可得答案【解答】解：如图，连接CE，CEDCEA90，点E在以AC为直径的Q上，AC10，QCQE5，当点Q、E、B共线时BE最小，BC12，QB=BC2+QC2=13
17、，BEQBQE8，故选：B【知识点2 切线的判定】（1）切线判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法） 如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径，那么这条直线是圆的切线（2）切线判定常用的证明方法：知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径【题型5 定义法判断切线】【例5】（2022淮安模拟）下列直线中，一定是圆的切线的是（）A过半径外端的直线B与圆心的距离等于该圆半径的直线C垂直于圆的半径的直线D与圆有公共点的直线【分析】根据选项举出反例图形即可判断A、C、D；根据切线的判定即可判断B【
18、解答】解：切线的判定定理有：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，与圆心的距离等于该圆的半径的直线是圆的切线，A、如图EF不是O的切线，故本选项错误；B、与圆心的距离等于该圆的半径的直线是圆的切线，故本选项正确；C、如图，EF半径OA，但EF不是O的切线，故本选项错误；D、如上图，EFO有公共点，但EF不是O的切线，故本选项错误；故选：B【变式5-1】（2022秋嘉定区期末）下列四个选项中的表述，正确的是（）A经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线B经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线C经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线D经过一条弦的外端且垂直于这条弦的
19、直线是圆的切线【分析】根据切线的判定对各个选项进行分析，从而得到答案【解答】解：由切线的判定定理可知：经过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线，故A，B，D选项不正确，C选项正确，故选：C【变式5-2】（2022秋东台市校级月考）下列命题：（1）垂直于半径的直线是圆的切线（2）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（3）到圆心距离等于半径的直线是圆的切线（4）和三角形三边所在直线都相切的圆有且只有一个其中不正确的有（）A2个B3个C4个D1个【分析】利用切线的性质进行判断后即可得到答案【解答】解：（1）过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，原命题错误（2）与圆只有一个公共点的直线是圆的切
20、线，原命题正确（3）到圆心距离等于半径的直线是圆的切线，正确（4）和三角形三边所在直线都相切的圆有且只有四个，原命题错误故选：A【变式5-3】（2022秋慈溪市期末）已知O的半径为5，直线EF经过O上一点P（点E，F在点P的两旁），下列条件能判定直线EF与O相切的是（）AOP5BOEOFCO到直线EF的距离是4DOPEF【分析】根据切线的判定定理可求得需要满足和条件，即可求得答案【解答】解：点P在O上，只需要OPEF即可，故选：D【题型6 切线的判定（连半径证垂直）】【例6】（2022顺德区一模）如图，A，B，C，D是O上的四个点，ADBBDC60，过点A作AEBC交CD延长线于点E（1）求A
21、BC的大小；（2）证明：AE是O的切线【分析】（1）根据圆周角定理得到CABBDC60，ACBADB60，根据等边三角形的性质解答即可；（2）连接AO并延长交BC于F，根据垂径定理的推论得到AFBC，根据平行线的性质得到AFAE，根据切线的判定定理证明结论【解答】（1）解：由圆周角定理得：CABBDC60，ACBADB60，ABC为等边三角形，ABC60；（2）证明：连接AO并延长交BC于F，ABAC，AB=AC，AFBC，AFAE，OA是O的半径，AE是O的切线【变式6-1】（2022昭平县一模）如图，AB是O的弦，OPAB交O于C，OC2，ABC30（1）求AB的长；（2）若C是OP的中点
22、，求证：PB是O的切线【分析】（1）连接OA、OB，根据圆周角定理得到AOC2ABC60，则OAD30，所以OD=12OA1，AD=3OD=3，再根据垂径定理得ADBD，所以AB23；（2）由（1）BOC60，则OCB为等边三角形，所以BCOBOC，OBCOCB60，而CPCOCB，则CBPP，可计算出CBP30，所以OBPOBC+CBP90，于是根据切线的判定定理得PB是O的切线【解答】（1）解：连接OA、OB，如图，ABC30，OPAB，AOC60，OAD30，OD=12OA=1221，AD=3OD=3，又OPAB，ADBD，AB23；（2）证明：由（1）BOC60，而OCOB，OCB为等
23、边三角形，BCOBOC，OBCOCB60，C是OP的中点，CPCOCB，CBPP，而OCBCBP+P，CBP30OBPOBC+CBP90，OBBP，PB是O的切线【变式6-2】（2022春朝阳区校级月考）如图，在RtABC中，C90，AD平分BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的圆O分别交AB，AC于点E，F，连接EF求证：BC是圆O的切线【分析】连接OD，根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得出CADODA，根据平行线的判定得出ODAC，求出ODBC，再根据切线的判定推出即可【解答】证明：连接OD，ODOA，OADODA，AD平分BAC，CADOAD，CADODA，ODAC，C9
24、0，ACBC，ODBC，OD过圆心O，BC是圆O的切线【变式6-3】（2022秋武夷山市期末）如图，点P是O的直径AB延长线上的一点（PBOB），点E是线段OP的中点在直径AB上方的圆上作一点C，使得ECEP求证：PC是O的切线【分析】连接OC，根据线段中点的定义得到OEEP，求得OEECEP，得到COEECO，ECPP，根据切线的判定定理即可得到结论【解答】证明：连接OC，点E是线段OP的中点，OEEP，ECEP，OEECEP，COEECO，ECPP，COE+ECO+ECP+P180，ECO+ECP90，OCPC，OC是O的半径，PC是O的切线【题型7 切线的判定（作垂直证半径）】【例7】（
25、2022武汉模拟）如图，在RtABC中，B90，BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DEDC，以D为圆心，DB长为半径作D，AB5，EB3（1）求证：AC是D的切线；（2）求线段AC的长【分析】（1）过点D作DFAC于F，求出BDDF等于半径，得出AC是D的切线（2）先证明BDEDCF（HL），根据全等三角形对应边相等及切线的性质的ABAF，得出AB+EBAC【解答】证明：（1）过点D作DFAC于F；AB为D的切线，B90ABBCAD平分BAC，DFACBDDFAC与D相切；（2）在BDE和DCF中；BDDF，DEDC，RtBDERtDCF（HL），EBFCABAF，AB+EBAF+
26、FC，即AB+EBAC，AC5+38【变式7-1】（2022秋滨海县期末）如图，以点O为圆心作圆，所得的圆与直线a相切的是（）A以OA为半径的圆B以OB为半径的圆C以OC为半径的圆D以OD为半径的圆【分析】根据直线与圆的位置关系的判定方法进行判断【解答】解：ODa于D，以点O为圆心，OD为半径的圆与直线a相切故选：D【变式7-2】（2022椒江区一模）如图，ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与O相切于点D求证：AC是O的切线【分析】过点O作OEAC于点E，连接OD，OA，根据切线的性质得出ABOD，根据等腰三角形三线合一的性质得出AO是BAC的平分线，根据角平分线的性质得出OEOD，从而证得结论【解答】证明：过点O作OEAC于点E，连接OD，OA，AB与O相切于点D，ABOD，ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，AO是BAC的平分线，OEOD，即OE是O的半径，圆心到直线的距离等于半径，AC是O的切线【变式7-3】（2022秋丹江口市期中）如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以点O为圆心，OA长为半径的O与BC相切于点E（1）求证：CD是O的切线；（2）若正方形ABCD的边长为10，求O的半径【分析】（1）首先连接OE，并过点O作OFCD，由OA长为半径的O与BC相切于点E，可得OEOA
