1、专题22.4 二次函数与一元二次方程【六大题型】【人教版】【题型1 抛物线与x轴的交点情况】1【题型2 抛物线与x轴交点上的四点问题】3【题型3 由二次函数解一元二次方程】6【题型4 由二次函数的图象求一元二次方程的近似解】9【题型5 由二次函数的图象解不等式】11【题型6 由二次函数与一次函数交点个数求范围】13【知识点1 二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况】根的判别式二次函数的图象二次函数与x轴的交点坐标一元二次方程根的情况0抛物线与x轴交于，两点，且，此时称抛物线与x轴相交一元二次方程有两个不相等的实数根0抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切一元二次方程有两
2、个相等的实数根0抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离一元二次方程在实数范围内无解（或称无实数根）【题型1 抛物线与x轴的交点情况】【例1】（2022春西湖区校级期末）抛物线y（xx1）（xx2）+mx+n与x轴只有一个交点（x1，0）下列式子中正确的是（）Ax1x2mBx2x1mCm（x1x2）nDm（x1+x2）n【分析】由抛物线与x轴只有一个交点（x1，0）可得抛物线顶点式，从而可得x1，x2与m的关系【解答】解：抛物线经过（x1，0），且抛物线与x轴只有一个交点，抛物线顶点坐标为（x1，0），y（xx1）2，x22x1x+x12=（xx1）（xx2）+mx+nx2（x1+x2m）x
3、+x1x2+n，x1+x2m2x1，即x2x1m，故选：B【变式1-1】（2022春澧县校级月考）抛物线yx2+2x3与坐标轴的交点个数有（）A0个B1个C2个D3个【分析】由b24ac的大小可判断抛物线与x轴交点个数，由c的大小可判断抛物线与y轴的交点，进而求解【解答】解：yx2+2x3，a1，b2，c3，b24ac22+12160，抛物线与x轴有2个交点，c3，抛物线与y轴交点为（03），抛物线与坐标轴有3个交点，故选：D【变式1-2】（2022广阳区一模）已知抛物线y3x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m2，n），B（m+4，n），则n的值为（）A9B16C18D27【分析】根
4、据点A、B的坐标易求该抛物线的对称轴是直线xm+1故设抛物线解析式为y3（xm1）2，直接将A（m2，n）代入，通过解方程来求n的值【解答】解：抛物线y3x2+bx+c过点A（m2，n）、B（m+4，n），对称轴是直线xm+1，又抛物线yx2+bx+c与x轴只有一个交点，顶点为（m+1，0），设抛物线解析式为y3（xm1）2，把A（m2，n）代入，得：n3（m2m1）227，即n27故选：D【变式1-3】（2022春汉滨区期中）已知抛物线yx2+bx+c与x轴的两个交点之间的距离为6，对称轴为x3，则抛物线的顶点P关于x轴对称的点P的坐标是（）A（3，9）B（3，9）C（3，9）D（3，9）【
5、分析】根据抛物线yx2+bx+c与x轴两个交点间的距离为6对称轴为直线x3，可以得到b、c的值，然后即可得到该抛物线的解析式，再将函数解析式化为顶点式，即可得到点P的坐标，然后根据关于x轴对称的点的特点横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得到点P关于x轴的对称点的坐标【解答】解：设抛物线yx2+bx+c与x轴两个交点坐标为（x1，0），（x2，0），抛物线yx2+bx+c与x轴两个交点间的距离为6，对称轴为直线x3，（x1x2）2（x1+x2）24x1x236，b21=3，（b）24c36，b6，解得：c0，抛物线的解析式为yx26x（x3）29，顶点P的坐标为（3，9），点P关于x轴的对称点的
6、坐标是（3，9），故选：A【题型2 抛物线与x轴交点上的四点问题】【例2】（2022武汉模拟）二次函数与一元二次方程有着紧密的联系，一元二次方程问题有时可以转化为二次函数问题请你根据这句话所提供的思想方法解决如下问题：若s，t（st）是关于x的方程1+（xm）（xn）0的两根，且mn，则m，n，s，t的大小关系是（）AsmntBmsntCmstnDsmtn【分析】由y（xm）（xn）可得抛物线与x轴交点坐标为（m，0），（n，0），开口向上，则抛物线y（xm）（xn）与直线y1的交点坐标为（s，1），（t，1），从而可得m，n，s，t的大小关系【解答】解：由1+（xm）（xn）0可得（xm）（
7、xn）1，由y（xm）（xn）可得抛物线y（xm）（xn）与x轴交点坐标为（m，0），（n，0），抛物线开口向上，则抛物线y（xm）（xn）与直线y1的交点在x轴下方，坐标为（s，1），（t，1），mstn故选：C【变式2-1】（2022定远县模拟）二次函数yax2+bx+c（a0）的部分图象如图所示，图象过点（1，0），对称轴为直线x2，方程a（x+1）（x5）3的两根为x1和x2，且x1x2，则下列结论正确的是（）Ax115x2Bx11x25C1x15x2D1x1x25【分析】方程a（x+1）（x5）3的两根即为抛物线ya（x+1）（x5）与直线y3交点的横坐标，据此可判断选项【解答】解：
8、令ya（x+1）（x5），则抛物线ya（x+1）（x5）与yax2+bx+c形状相同、开口方向相同，且与x轴的交点为（1，0）、（5，0），函数图象如图所示，由函数图象可知方程a（x+1）（x5）3的两根即为抛物线ya（x+1）（x5）与直线y3交点的横坐标，x115x2，故选：A【变式2-2】（2022张店区期末）已知二次函数y（x1）2t2（t是常数，且t0），方程（x1）2t210的两根分别为m，n（mn），方程（x1）2t230的两根分别为p，q（pq），判断m，n，p，q的大小关系是（）ApqmnBpmnqCmpqnDmnpq【分析】在平面直角坐标系中画出二次函数y（x1）2t2（t
9、是常数，且t0）的图象，再作出直线y1，y3，它们与抛物线交于A，B和C，D，分别过交点作x轴的垂线，则垂足对应的数值为题干中方程的根，利用数形结合的方法即可得出结论【解答】解：在平面直角坐标系中画出二次函数y（x1）2t2（t是常数，且t0）的图象如下图：作直线y1与抛物线y（x1）2t2（t是常数，且t0）交于A，B，分别经过A，B作x轴的垂线，垂足对应的数值分别为m，n，m，n是方程（x1）2t210的两根；作直线y3与抛物线y（x1）2t2（t是常数，且t0）交于C，D，分别经过AC，D作x轴的垂线，垂足对应的数值分别为p，q，p，q是方程（x1）2t230的两根由图象可知m，n，p，
10、q的大小关系是：pmnq故选：B【变式2-3】（2022河东区期末）已知抛物线yx2+bx+c的图象与x轴的两交点的横坐标分别，（），而x2+bx+c20的两根为M、N（MN），则、M、N的大小顺序为（）AMNBMNCMNDMN【分析】依题意画出函数y（x）（x）和y2的图象草图，根据二次函数的图象可直接求解【解答】解：依题意，画出函y（x）（x）的图象，如图所示函数图象为抛物线，开口向上，与x轴两个交点的横坐标分别为，（），方程x2+bx+c20的两根是抛物线y（x）（x）与直线y2的两个交点由MN，可知对称轴左侧交点横坐标为M，右侧为N由图象可知，MN，故选：B【题型3 由二次函数解一元二
11、次方程】【例3】（2022娄底一模）已知二次函数yax2+bx+c的图象经过（1，0）与（3，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+m0（m0）有两个根，其中一个根是5则关于x的方程ax2+bx+c+n0（0nm）有两个整数根，这两个整数根是（）A2或4B2或0C0或4D2或5【分析】根据二次函数yax2+bx+c的图象经过（1，0）与（3，0）两点求对称轴，后面两个方程二次项、一次项系数没变，所以两根的和也不变还是2【解答】解：二次函数yax2+bx+c的图象经过（3，0）与（1，0）两点，当y0时，0ax2+bx+c的两个根为3和1，函数yax2+bx+c的对称轴是直线x1，又关于x的方
12、程ax2+bx+c+m0（m0）有两个根，其中一个根是5方程ax2+bx+c+m0（m0）的另一个根为3，函数yax2+bx+c的图象开口向下，如图，0nm，mm，关于x的方程ax2+bx+c+n0 （0nm）有两个整数根，直线yn与yax2+bx+c的交点的横坐标为2，4，这关于x的方程ax2+bx+c+n0 （0nm）有两个整数根，是2或4，故选：A【变式3-1】（2022潮南区模拟）已知二次函数yax22ax+c（a0）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程ax22ax+c0的根是 x11，x23【分析】利用二次函数yax22ax+c的解析式求得抛物线的顶点坐标，利用
13、抛物线的对称性求得抛物线与x轴的另一个交点，再利用抛物线与x轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系得出结论【解答】解：yax22ax+c，抛物线的对称轴为直线x=2a2a=1二次函数yax22ax+c（a0）的图象与x轴的一个交点为（1，0），该抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）关于x的一元二次方程ax22ax+c0的根是：x11，x23故答案为：x11，x23【变式3-2】（2022咸宁一模）已知二次函数yax2+bx+c（a、b、c为常数，且a0）的y与x的部分对应值如下表：x54202y60646则关于x的一元二次方程ax2+bx+c0的根是 x14，x21【分析】由抛物线经过点（5
14、，6），（2，6）可得抛物线对称轴，根据抛物线对称性及抛物线经过（4，0）求解【解答】解：由抛物线经过点（5，6），（2，6）可得抛物线抛物线对称轴为直线x=5+22=32，抛物线经过（4，0），对称轴为直线x=32，抛物线经过（1，0），一元二次方程ax2+bx+c0的根是x14，x21故答案为：x14，x21【变式3-3】（2022永嘉县校级模拟）已知二次函数yx2+bx+c的图象经过（1，0）与（5，0）两点，且关于x的方程x2+bx+c+d0有两个根，其中一个根是6，则d的值为（）A5B7C12D7【分析】先由二次函数yx2+bx+c的图象经过（1，0）与（5，0）两点，求出b、c，再
15、把b、c代入方程x2+bx+c+d0后，由方程的根是6求出d【解答】解：二次函数yx2+bx+c的图象经过（1，0）与（5，0）两点，1b+c=025+5b+c=0，解得：b=4c=5，将b4，c5代入方程x2+bx+c+d0，可得：x2+4x+5+d0，又关于x的方程x2+4x+5+d0有两个根，其中一个根是6，把x6代入方程x2+4x+5+d0，得：36+46+5+d0，解得：d7，经验证d7时，0，符合题意，d7故选：B【知识点2 求一元二次方程的近似解的方法（图象法）】（1） 作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；（2） 由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围；（3）观察图
16、象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）【题型4 由二次函数的图象求一元二次方程的近似解】【例4】（2022平度市期末）如表给出了二次函数yx2+2x10中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程x2+2x100的一个近似解为（）x2.12.22.32.42.5y1.390.760.110.561.25A2.2B2.3C2.4D2.5【分析】根据函数值，可得一元二次方程的近似根【解答】解：如图：x2.3，y0.11，x2.4，y0.56，x2+2x100的一个近似根是2.3故选：B【变式4-1】（2022灌云县期末）已知二次函数yax2+bx+c中，函数y与自变量
17、x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c0的一个解的范围是6.18x6.19x6.176.186.196.20y0.030.010.020.04【分析】根据表格中自变量、函数的值的变化情况，得出当y0时，相应的自变量的取值范围即可【解答】解：由表格数据可得，当x6.18时，y0.01，当x6.19时，y0.02，于是可得，当y0时，相应的自变量x的取值范围为6.18x6.19，故答案为：6.18x6.19【变式4-2】（2022渠县一模）如图，是二次函数yax2+bxc的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bxc的两个根可能是x10.8，x23.2合理即可（精确到0.1）【分析】
18、直接利用抛物线与x轴交点的位置估算出两根的大小【解答】解：由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bxc的两个根可能是：x10.8，x23.2合理即可故答案为：x10.8，x23.2合理即可【变式4-3】（2022秋萍乡期末）代数式ax2+bx+c（a0，a，b，c是常数）中，x与ax2+bx+c的对应值如下表： x112 0 121 322 523 ax2+bx+c214 174 274 114 2请判断一元二次方程ax2+bx+c0（a0，a，b，c是常数）的两个根x1，x2的取值范围是下列选项中的（）A12x10，32x22B1x112，2x252C12x10，2x252D1x112，32
19、x22【分析】观察表格可知，在x1时，随x值的增大，代数式ax2+bx+c的值逐渐增大，x的值在120之间，代数式ax2+bx+c的值由负到正，故可判断ax2+bx+c0时，对应的x的值在120之间，在x1时，随x的值增大，代数式ax2+bx+c逐渐减小，x的值在252之间，代数式ax2+bx+c的值由正到负，故可判断ax2+bx+c0时，对应的x的值在252之间，【解答】解：根据表格可知，代数式ax2+bx+c0时，对应的x的值在120和252之间，即：一元二次方程ax2+bx+c0（a0，a，b，c是常数）的两个根x1，x2的取值范围是12x10，2x252故选：C【题型5 由二次函数的图
20、象解不等式】【例5】（2022秋垦利区期末）如图，抛物线yax2+c与直线ymx+n交于A（1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2mx+cn的解集为（）Ax1Bx3C1x3Dx3或x1【分析】由抛物线与直线交点横坐标确定直线在抛物线上方时x的取值范围【解答】解：A（1，p），B（3，q），1x3时，直线在抛物线上方，即1x3时，ax2+cmx+n，不等式ax2mx+cn的解集为1x3故选：C【变式5-1】（2022定远县二模）抛物线yax2+bx+c（a0）上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x21012y04664请求出当y0时x的取值范围 x2或x3【分析】把点（0，6）代入求
21、出c，把点（1，4）和（1，6）代入抛物线的解析式列方程组，解出可得a、b，即可得抛物线的解析式，进而可列不等式求出y0时x的取值范围【解答】解：由表得，抛物线yax2+bx+c（a0）过点（0，6），c6，抛物线yax2+bx+6过点（1，4）和（1，6），ab+6=4a+b+6=6，解得：a=1b=1，二次函数的表达式为：yx2+x+6，所以令x2+x+60，解得：x2或x3故答案为：x2或x3【变式5-2】（2022工业园区校级模拟）若二次函数yax2+bx+c（a、b、c为常数）的图象如图所示，则关于x的不等式a（x+2）2+b（x+2）+c0的解集为 x1或x1【分析】根据图象可得x
22、1或x3时ax2+bx+c0，则a（x+2）2+b（x+2）+c0时x+21或x+23，进而求解【解答】解：由图象可得x1或x3时ax2+bx+c0，当a（x+2）2+b（x+2）+c0时，x+21或x+23，解得x1或x1，故答案为：x1或x1【变式5-3】（2022驿城区校级期末）如图，二次函数yx24x+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点已知一次函数ykx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B则满足kx+bx24x+m的x的取值范围是（）Ax1或x4B1x4Cx1或x5D1x5【分析】由二次函数解析式可得抛物线对称轴为直线x2，从而可得点B横
23、坐标，进而求解【解答】解：yx24x+m，抛物线对称轴为直线x2，点B和点C关于直线x2对称，点B横坐标为4，点A横坐标为1，1x4时，kx+bx24x+m，故选：B【题型6 由二次函数与一次函数交点个数求范围】【例6】（2022虞城县三模）已知抛物线ya（x2）2+c（a0）（1）若抛物线与直线ymx+n交于（1，0），（5，8）两点求抛物线和直线的函数解析式；直接写出当a（x2）2+cmx+n时自变量x的取值范围（2）若ac，线段AB的两个端点坐标分别为A（0，3），B（3，3），当抛物线与线段AB有唯一公共点时，直接写出a的取值范围【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可，抛物线开口向上
24、，数形结合直接写出答案；（2）结合抛物线和线段AB，分情况讨论求a的取值范围【解答】解：（1）抛物线ya（x2）2+c与直线ymx+n交于（1，0），（5，8）两点，a+c=09a+c=8，m+n=05m+n=8，解得a=1c=1，m=2n=2，抛物线和直线的函数解析式分别为y（x2）21，y2x2a0，抛物线开口向上，抛物线与直线ymx+n交于（1，0），（5，8）两点，当a（x2）2+cmx+n时自变量x的取值范围为x1或x5（2）若ac，则抛物线ya（x2）2+a（a0），开口向上，对称轴为x2，顶点坐标为（2，a），当抛物线顶点在线段AB上时有唯一公共点，此时a3，当抛物线顶点在线段A
25、B下方时，当经过B（3，3）时，a+a3，解得a=32，当经过A（0，3）时，4a+a3，解得a=35，当抛物线与线段AB有唯一公共点时，a的取值范围为35a32或a3【变式6-1】（2022余姚市一模）已知：一次函数y12x2，二次函数y2x2+bx+c（b，c为常数），（1）如图，两函数图象交于点（3，m），（n，6）求二次函数的表达式，并写出当y1y2时x的取值范围（2）请写出一组b，c的值，使两函数图象只有一个公共点，并说明理由【分析】（1）将（3，m），（n，6）代入直线解析式求出点坐标，然后通过待定系数法求解，根据图象可得y1y2时x的取值范围（2）x2+bx+c2x2，由0求解【
26、解答】解：（1）将（3，m）代入y12x2得m624，将（n，6）代入y12x2得62n2，解得n2，抛物线经过点（3，4），（2，6），将（3，4），（2，6）代入y2x2+bx+c得4=9+3b+c6=42b+c，解得b=3c=4，yx2+3x+4，由图象可得2x3时，抛物线在直线上方，y1y2时x的取值范围是2x3（2）令x2+bx+c2x2，整理得x2+（2b）x（2+c）0，当（2b）2+4（2+c）0时，两函数图象只有一个公共点，b2，c2，满足题意【变式6-2】（2022河南模拟）小新对函数ya|x2+bx|+c（a0）的图象和性质进行了探究已知当自变量x的值为0或4时，函数值都
27、为3；当自变量x的值为1或3时，函数值都为0探究过程如下，请补充完整（1）这个函数的表达式为 y|x24x|3；（2）在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质：函数关于直线x2对称；（3）进一步探究函数图象并解决问题：直线yk与函数ya|x2+bx|+c有三个交点，则k1；已知函数yx3的图象如图所示，结合你所画的函数图象，写出不等式a|x2+bx|+cx3的解集：x0或3x5【分析】（1）将x0，y3；x4，y3；x1，y0代入ya|x2+bx|+c（a0），得到：c3，b4，a1，即可求解析式为y|x24x|3；（2）描点法画出函数图象，函数关于x2对称；（3）从图象可知：当x2时，y1，k
