1、专题22.9 二次函数中的最值问题【八大题型】【人教版】【题型1 已知二次函数的对称轴及自变量取值范围求最值】2【题型2 已知含参二次函数的对称轴及最值求参】4【题型3 已知二次函数解析式及最值求自变量取值范围】6【题型4 二次函数中求线段最值】10【题型5 二次函数中求线段和差最值】18【题型6 二次函数中求周长最值】32【题型7 二次函数中求面积最值】42【题型8 二次函数在新定义中求最值】52【知识点1 二次函数的最值】1.对于二次函数在上的最值问题（其中a、b、c、m和n均为定值，表示y的最大值，表示y的最小值）：（1）若自变量x为全体实数，如图，函数在时，取到最小值，无最大值（2）若
2、，如图，当，；当，（3）若，如图，当，；当，（4）若，如图，当，；当，2.对于二次函数，在（m，n为参数）条件下，函数的最值需要分别讨论m，n与的大小【题型1 已知二次函数的对称轴及自变量取值范围求最值】【例1】（2022秋开福区校级期中）二次函数yx22x+m当3x3时，则y的最大值为15+m（用含m的式子表示）【分析】根据题目中的函数解析式，可以得到该函数的对称轴，然后根据二次函数的性质，即可得到当3x3时，y的最大值【解答】解：二次函数yx22x+m（x1）21+m，该函数的对称轴是直线x1，该函数图象开口向上，当x1时，有最小值，当3x3时，y取得最大值时对应的x的值是3，当x3时，y
3、（31）21+m15+m，当3x3时，y的最大值为15+m，故答案为：15+m【变式1-1】（2022秋河西区期末）当x2时，二次函数yx22x3有（）A最大值3B最小值3C最大值4D最小值4【分析】用配方法配方成顶点式，可求得对称轴，然后根据二次函数的性质即可求得【解答】解：yx22x3（x1）24，抛物线开口向上，对称轴为直线x1，当x1时，y随x的增大而增大，当x2时，函数有最小值y222233，故选：B【变式1-2】（2022秋上城区期末）已知二次函数yx2，当1x2时，求函数y的最小值和最大值小王的解答过程如下：解：当x1时，y1；当x2时，y4；所以函数y的最小值为1，最大值为4小
4、王的解答过程正确吗？如果不正确，写出正确的解答过程【分析】根据二次函数的性质和小王的做法，可以判断小王的做法是否正确，然后根据二次函数的性质即可解答本题【解答】解：小王的做法是错误的，正确的做法如下：二次函数yx2，该函数图象开口向上，该函数的对称轴是y轴，1x2，当x0时取得最小值，最小值是0，当x2时取得最大值，此时y4，由上可得，当1x1时，函数y的最小值是0，最大值是4【变式1-3】（2022安徽模拟）已知二次函数yx2+bxc的图象经过点（3，0），且对称轴为直线x1（1）求b+c的值（2）当4x3时，求y的最大值（3）平移抛物线yx2+bxc，使其顶点始终在二次函数y2x2x1上，
5、求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最小值【分析】（1）由对称轴b2=1，求出b的值，再将点（3，0）代入yx+bxc，即可求解析式；（2）由题意可得抛物线的对称轴为直线x1，结合函数图像可知当x4时，y有最大值21；（3）设顶点坐标为（h，2h2h1），可求平移后的解析式为y（xh）2+2h2h1，设平移后所得抛物线与y轴交点的纵坐标为w，则w3h2h13（h16）21312，即可求解【解答】解：（1）二次函数yx+bxc的对称轴为直线x1，b2=1，b2，二次函数yx+bxc的图象经过点（3，0），96c0，c3，b+c1；（2）由（1）可得yx2x3（x1）24，抛物线的对称轴为直线x1
6、，4x3，当x4时，y有最大值21；（3）平移抛物线yx22x3，其顶点始终在二次函数y2x2x1上，设顶点坐标为（h，2h2h1），故平移后的解析式为y（xh）2+2h2h1，yx22hx+h2+2h2h1x22hx+3h2h1，设平移后所得抛物线与y轴交点的纵坐标为w，则w3h2h13（h16）21312，当h=16时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最小值为1312【题型2 已知含参二次函数的对称轴及最值求参】【例2】（2022鹿城区校级二模）已知二次函数ymx24mx（m为不等于0的常数），当2x3时，函数y的最小值为2，则m的值为（）A16B16或12C16或23D16或2【分析】
7、由二次函数ymx24mx可得对称轴为x2，分为m0和m0两种情况，当m0时，二次函数开口向上，当2x3时，函数在x2取得最小值2，将x2，y2代入ymx24mx中，解得m=12，当m0时，二次函数开口向下，当2x3时，函数在x2取得最小值2，将x2，y2代入ymx24mx中，解得m=16，即可求解【解答】解：二次函数为ymx24mx，对称轴为x=b2a=4m2m=2，当m0时，二次函数开口向上，当2x3时，函数在x2取得最小值2，将x2，y2代入ymx24mx中，解得：m=12，当m0时，二次函数开口向下，当2x3时，函数在x2取得最小值2，将x2，y2代入ymx24mx中，解得：m=16，综
8、上，m的值为12或16，故选：B【变式2-1】（2022秋龙口市期末）已知关于x的二次函数yx2+2x+2a+3，当0x1时，y的最大值为10，则a的值为 2【分析】根据抛物线的关系式可知，抛物线的开口方向向上，对称轴为直线x1，所以可得0x1在对称轴的右侧，然后进行计算即可解答【解答】解：yx2+2x+2a+3x2+2x+1+2a+2（x+1）2+2a+2，抛物线的对称轴为：直线x1，a10，抛物线的开口方向向上，当x1时，y随x的增大而增大，当0x1时，y的最大值为10，当x1时，y10，把x1时，y10代入yx2+2x+2a+3中可得：1+2+2a+310，a2，故答案为：2【变式2-2
9、】（2022灌南县二模）已知二次函数yax22ax+c，当1x2时，y有最小值7，最大值11，则a+c的值为（）A3B9C293D253【分析】先求得抛物线的对称轴，根据二次函数图象上点的坐标特征，当1x2时，函数的最值为ya+c和y3a+c，即可得出a+c+（3a+c）7+11，即2a+2c18，从而求得a+c9【解答】解：二次函数yax22ax+c，该二次函数的图象的对称轴为直线x=2a2a=1，当x1时，ya2a+ca+c；当x1时，ya+2a+c3a+c；当1x2时，函数的最值为ya+c和y3a+c，当1x2时，y有最小值7，最大值11，a+c+（3a+c）7+11，即2a+2c18，
10、a+c9，故选：B【变式2-3】（2022青山区二模）已知二次函数yx2+bx+c，当x0时，函数的最小值为3，当x0时，函数的最小值为2，则b的值为（）A6B2C2D3【分析】根据二次函数yx2+bx+c，当x0时，函数的最小值为2，可知该函数的对称轴在y轴右侧，41cb241=3，b20，再根据当x0时，函数的最小值为2，即可得到c的值，然后将c的值代入入41cb241=3，即可得到b的值【解答】解：二次函数yx2+bx+c，当x0时，函数的最小值为3，该函数的对称轴在y轴右侧，41cb241=3，b20，b0，当x0时，函数的最小值为2，当x0时，yc2，将c2代入41cb241=3，可
11、得b12（舍去），b22，故选：C【题型3 已知二次函数解析式及最值求自变量取值范围】【例3】（2022宁阳县一模）当0xm时，函数yx2+4x3的最小值为3，最大值为1，则m的取值范围是（）A0m2B0m4C2m4Dm2【分析】根据题意和二次函数的性质，可以得到m的取值范围，本题得以解决【解答】解：yx2+4x3（x2）2+1，该函数的对称轴是直线x2，当x2时，该函数取得最大值1，该函数图象开口向下，当0xm时，此函数的最小值为3，最大值为1，当x0时，y3，2m4，故选：C【变式3-1】（2022龙港市模拟）已知二次函数yx24x+5，当mxm+3时，求y的最小值（用含m的代数式表示）【
12、分析】分四种情况讨论：当m+32时，即m5，y的最小值为m24m+5；当m+322m+3时，即4m3，y的最小值为m24m+5；当m2m+32时，即3m2，y的最小值为m28m7；当m2时，y的最小值为m28m7，【解答】解：yx24x+5（x+2）2+9，对称轴为直线x2，当m2时，则当xm+3时，y有最小值为（m+3）24（m+3）+5m210m16，当m2m+3时，即5m2，当对称轴位于范围内时，谁离对称轴远，谁就小，若m+3+22m，即72m2时，当xm+3时，y有最小值为（m+3）24（m+3）+5m210m16，当m+3+22m，即5m72时，当xm时，y有最小值为m24m+5，当
13、m+3+22时，即m5，y的最小值为m24m+5；综上所述：m72时y的最小值为m210m16；当m72时，y的最小值为m24m+5【变式3-2】（2022庐阳区一模）设抛物线yax2+bx3a，其中a、b为实数，a0，且经过（3，0）（1）求抛物线的顶点坐标（用含a的代数式表示）；（2）若a2，当t2xt时，函数的最大值是6，求t的值；（3）点A坐标为（0，4），将点A向右平移3个单位长度，得到点B若抛物线与线段AB有两个公共点，求a的取值范围【分析】（1）把已知点坐标代入抛物线的解析式，求得a、b的数量关系，把抛物线解析式中的b换成a的代数式，再将抛物线的解析式化成顶点式，便可求得顶点坐标
14、；（2）分xt和xt2在对称轴右侧、左侧或两侧三种情况，讨论求解即可；（3）抛物线经过（1，0）和（3，0），与线段AB有两个公共点时，结合图象即可判断出a的取值范围【解答】解：（1）把（3，0）代入yax2+bx3a得，9a+3b3a0，b2a，抛物线的解析式为yax22ax3aa（x1）24a，抛物线的顶点坐标为（1，4a）；（2）a2，抛物线的解析式为y2（x1）2+8，对称轴为直线：x1，当x1时，y随x的增大而减小，当x1时，y随x的增大而增大，当t2xt时，函数的最大值是6，当xt和xt2在对称轴右侧时，有2(t21)2+8=6t21，解得t4，当xt和xt2在对称轴左侧时，有2(
15、t1)2+8=6t1，解得t0，当xt和xt2在对称轴左侧或两侧时，函数的最大值为8，不可能为6，此时无解，综上，t的值为0或4；（3）点A坐标为（0，4），将点A向右平移3个单位长度，得到点B，B（3，4），yax22ax3aa（x3）（x+1），抛物线经过点（3，0）和（1，0），若此二次函数的图象与线段AB有两个交点，则如图所示，抛物线的图象只能位于图中两个虚线的位置之间，当抛物线经过点A时，为一种临界情况，将A（0，4）代入，4003a，解得a43，当抛物线的顶点在线段AB上时，为一种临界情况，此时顶点的纵坐标为4，4a4，解得a1，43a1【变式3-3】（2022文成县一模）已知抛物
16、线yx2+bx+c与x轴的一个交点为（1，0），且经过点（2，c）（1）求抛物线与x轴的另一个交点坐标（2）当tx2t时，函数的最大值为M，最小值为N，若MN3，求t的值【分析】（1）由抛物线经过（2，c）和（0，c），可得到抛物线的对称轴为直线x1，即可根据点（1，0），确定抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0）；（2）根据t2t，确定t1，2t1，求出当1时取得最大值4，解得N1，令y1求出值【解答】解：（1）抛物线经过（2，c）和（0，c），抛物线的对称轴为直线x1，（1，0）的对称点为（3，0）即抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3.0）；（2）与x轴的一个交点为（1，0），对称轴为直
17、线x1，0=1b+cb2(1)=1，解得：b=2c=3，yx2+2x+3tx2t，t1，2t1当tx2t时，当x1时取得最大值4，即M4，当xt或x2t时取得最小值N，MN3，N1令yl得，1t2+2t+3，解得t1=3+1（舍），t2=3+1，t=3+1令yl得，1（2t）2+2（2t）+3，解得t1=3+1（舍），t2=3+1t=3+1综上：t=3+1【题型4 二次函数中求线段最值】【例4】（2022黔东南州二模）如图，抛物线yax2+bx2与x轴交于点A（2，0）、B（1，0），与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）点M是抛物线对称轴上的动点，求MB+MC的最小值；（3）若点P是直
18、线AC下方抛物线上的动点，过点P作PQAC于点Q，线段PQ是否存在最大值？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）当A、C、M三点共线时，MB+MC的值最小，最小值为AC，求出AC的长即为所求；（3）过点P作PEy轴交AC于E，当PD最大时，APC的面积最大，也就是PE最大，先求直线AC的解析式，设P（t，t2+t2），则E（t，t2），则PE（t+1）2+1，当t1时，PE有最大值，此时P（1，2）【解答】解：（1）将点A（2，0）、B（1，0）代入yax2+bx2，a+b2=04a2b2=0，解得a=1b=1，yx2+x2； （2
19、）A、B关于抛物线的对称轴对称，AMBM，MB+MCAM+MC，当A、C、M三点共线时，MB+MC的值最小，最小值为AC，令x0，则y2，C（0，2），AC22，MB+MC的最小值为22；（3）线段PQ存在最大值，理由如下：过点P作PEy轴交AC于E，当PD最大时，APC的面积最大，也就是PE最大，设直线AC的解析式为ykx+b，2k+b=0b=2，解得k=1b=2，yx2，设P（t，t2+t2），则E（t，t2），PEt2（t2+t2）t22t（t+1）2+1，当t1时，PE有最大值，此时P（1，2）【变式4-1】（2022太原一模）综合与实践如图，抛物线yx2+2x8与x轴交于A，B两点（
20、点A在点B左侧），与y轴交于点C点D在直线AC下方的抛物线上运动，过点D作y轴的平行线交AC于点E（1）求直线AC的函数表达式；（2）求线段DE的最大值；（3）当点F在抛物线的对称轴上运动，以点A，C，F为顶点的三角形是直角三角形时，直接写出点F的坐标【分析】（1）分别令x0，y0，求得点C、A的坐标，再运用待定系数法即可求得答案；（2）设D（m，m2+2m8），则E（m，2m8），可得DE2m8（m2+2m8）m24m（m+2）2+4，运用二次函数的性质即可求得线段DE的最大值；（3）设F（1，n），根据两点间距离公式可得：AF232+n2n2+9，AC242+8280，CF212+（n+8
21、）2n2+16n+65，分三种情况：当AFC90时，当CAF90时，当ACF90时，分别建立方程求解即可【解答】解：（1）在yx2+2x8中，令x0，得y8，C（0，8），令y0，得x2+2x80，解得：x14，x22，A（4，0），B（2，0），设直线AC的解析式为ykx+b，则4k+b=0b=8，解得：k=2b=8，直线AC的解析式为y2x8；（2）设D（m，m2+2m8），则E（m，2m8），点D在点E的下方，DE2m8（m2+2m8）m24m（m+2）2+4，10，当m2时，线段DE最大值为4；（3）yx2+2x8（x+1）29，抛物线的对称轴为直线x1，设F（1，n），又A（4，0）
22、，C（0，8），AF232+n2n2+9，AC242+8280，CF212+（n+8）2n2+16n+65，当AFC90时，AF2+CF2AC2，n2+9+n2+16n+6580，解得：n1419，n24+19，F（1，419）或（1，4+19）；当CAF90时，AF2+AC2CF2，n2+9+80n2+16n+65，解得：n=32，F（1，32）；当ACF90时，CF2+AC2AF2，n2+16n+65+80n2+9，解得：n=172，F（1，172）；综上所述，点F的坐标为（1，419）或（1，4+19）或（1，32）或（1，172）【变式4-2】（2022平果市模拟）如图，抛物线yx2+
23、bx+c经过点A（3，0），B（0，3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M设点P的横坐标为t（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在第一象限，连接AM，BM当线段PM最长时，求ABM的面积；（3）是否存在这样的点P，使以点P，M，B，O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）将点A（3，0），B（0，3）代入yx2+bx+c，即可求函数的解析式；（2）用待定系数法求直线AB的解析式，可求出PM（t32）2+94，当t=32时，PM最长为94，再求ABM的面积即可；（3）根据题意，分两种情况讨论；当PB为平行四边形的对角
24、线时，此时t无解；当PO为平行四边形的对角线时，此时P（3+212，3212）或（3212，3+212）【解答】解：（1）将点A（3，0），B（0，3）代入yx2+bx+c，9+3b+c=0c=3，解得b=2c=3，yx2+2x+3；（2）设线AB的解析式为ykx+b，b=33k+b=0，解得k=1b=3，yx+3，P（t，t+3）（0t3），则M（t，t2+2t+3），PMt2+2t+3+t3t2+3t（t32）2+94，当t=32时，PM最长为94，此时SABM=12394=278；（3）存在点P，使以点P，M，B，O为顶点的四边形为平行四边形，理由如下：由（2）知，P（t，t+3），M（
25、t，t2+2t+3），当PB为平行四边形的对角线时，t+3+3t2+2t+3，此时t无解；当PO为平行四边形的对角线时，t+3t2+2t+3+3，解得t=3+212或t=3212，P（3+212，3212）或（3212，3+212）；综上所述：P点坐标为（3+212，3212）或（3212，3+212）【变式4-3】（2022春九龙坡区校级期末）抛物线yax2+bx+4与x轴交于A（4，0）和B（1，0）两点，与y轴交于点C，点P是直线AC上方的抛物线上一动点求抛物线的解析式；（1）过点P作PEAC于点E，求22PE的最大值及此时点P的坐标；（2）将抛物线yax2+bx+4向右平移4个单位，得
26、到新抛物线y，点M是抛物线y的对称轴上一点在x轴上确定一点N，使得以点A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点N的坐标【分析】（1）应用待定系数法即可求出抛物线解析式，再求出点C的坐标，可得直线AC的解析式，过点P作PFx轴于点F，交直线AC于点D，设点P（x，x23x+4），则D（x，x+4），应用二次函数最值可得线段PD的最大值，证明PDE是等腰直角三角形，可得出2PEPD，即可求得答案；（2）分两种情况：若CM平行于x轴，如图，符合要求的有两个点N1，N2，此时N1AN2ACM；若CM不平行于x轴，如图所示，根据平行四边形的性质求解即可【解答】解：（1）抛物线yax2+bx+4与x轴交于A（4，0）和B（1，0）两点，16a+4b+4=0a+b+4=0，解得：a=1b=3，这个二次函数的解析式为yx23x+4，二次函数yx23x+4与y轴交于点C，点C的坐标为（0，4），设直线AC的解析式为ykx+4，直线AC经过点A（4，0），04k+4，解得：k1，直线AC的解析式为yx+4，过点P作PFx轴于点F，交直线AC于点D，设点P（x，x23x+4），则D（x，x+4），PDx23x+4x4x24x（x+2）2+4，当x2时，PD最大，最大值是4A（4，0），C（0，4），OAOC，OAC45，PFx轴，ADFPDE45，PE
