1、专题22.17 待定系数法求二次函数解析式（知识讲解）【学习目标】1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式；2. 经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，二次函数三种形式是可以互相转化的 【要点梳理】1.二次函数解析式常见有以下几种形式 ：(1)一般式：(a，b，c为常数，a0)；(2)顶点式：(a，h，k为常数，a0)；(3)交点式：(，为抛物线与x轴交点的横坐标，a0)2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设出二次函数的解析式，如或，或，其中a0；第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的
2、解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中特别说明：在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为；当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时可设函数的解析式为；当已知抛物线与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)时，可设函数的解析式为【典型例题】类型一、用待定系数法求二次函数解析式顶点式1已知：二次函数图象的顶点坐标为，且经过点；求此二次函数的解析式【答案】【分析】根据抛物线的顶点坐标设出，抛物线的解析式为：，再把代入，求出的值，即可得
3、出二次函数的解析式解：设抛物线的解析式为：，把代入解析式得，则抛物线的解析式为：【点拨】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是掌握在已知抛物线顶点坐标的情况下，通常用顶点式设二次函数的解析式举一反三：【变式1】已知一条抛物线顶点为，且经过点，求该抛物线的解析式【答案】y=-2x2+8x-3【分析】设出顶点式，利用待定系数法求解解：因为抛物线顶点坐标为(2，5)，设抛物线解析式为y=a（x-2）2+5，代入（3,3）得3=a（3-2）2+5，解得a=-2，解析式为y=-2（x-2）2+5=-2x2+8x-3【点拨】本题考查利用待定系数法求函数解析式，掌握解题不是是解决问题的关键
4、：一设二代三解四写【变式2】已知二次函数的图象的顶点坐标为（2，3），且图像过点（3，2），求这个二次函数的解析式【答案】【分析】已知顶点坐标，设成顶点式y=a（x+2）23，将（3，2）代入即可解：设二次函数的解析式为：y=a（x+2）23，将（3，2）代入得：2=a（3+2）23，解得：a=1，这个二次函数的解析式为：y=（x+2）23【点拨】本题主要考查了求二次函数的解析式，根据顶点坐标设出二次函数的顶点式是解题的关键类型二、用待定系数法求二次函数解析式 一般式2已知二次函数的图象经过点、，求这个二次函数的表达式【答案】【分析】把点、代入二次函数关系式，即可求出a、b的值，进而可得二次函
5、数解析式解：把，代入二次函数解析式得解得，这个二次函数的表达式为【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式解题的关键在于正确的计算举一反三：【变式1】已知抛物线y=ax2+bx+c 经过点A(0，3)、B(4，3)、C(1，0)(1)填空：抛物线的对称轴为直线x= ，抛物线与x轴的另一个交点D的坐标为 ；(2)画出二次函数y=ax2+bx+c 的图象(3)当 1 x 4时， y的取值范围是 【答案】(1)2；（3，0）(2)见分析(3)1y3【分析】（1）根据二次函数图象的对称性可得抛物线对称轴为直线x2，由点C坐标为（1，0）可得点D坐标为（3，0）（2）由待定系数法求函数解析式，然后根据
6、解析式作出图象（3）由抛物线开口方向及对称轴可确定x2时，y取最小值，x4时，y取最大值(1)解：点A（0，3）、B（4，3）关于直线x2对称，对称轴为直线x2，C（1，0）关于直线x2对称点为（3，0），点D坐标为（3，0），故答案为：2；（3，0）(2)解：将A（0，3）、B（4，3）、C（1，0）代入yax2+bx+c得，解得，yx24x+3，由（1）可知抛物线顶点坐标为（2，-1）图象如下：(3)解：由图象可知，在1 x 4时，当x2时，y取最小值为y2224+31，x4时，y取最大值为y4244+33，1y3故答案为：1y3【点拨】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握求二次函数解析
7、式的方法，掌握二次函数图象的性质【变式2】一个二次函数的图象经过，三点求：这个二次函数的解析式【答案】y=-2x2+4x+6【分析】设一般式y=ax2+bx+c，再把三个点的坐标代入得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组求出a、b、c即可解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，根据题意得：， 解得：，所以抛物线的解析式为y=-2x2+4x+6【点拨】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或
8、对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解类型三、用待定系数法求二次函数解析式两根式3二次函数yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，求此二次函数表达式【答案】yx22x+3【分析】根据图象确定经过抛物线的三个点，设二次函数解析式为ya(x+3)(x1)，再代入(0,3)利用待定系数法计算即可解：由图象可知，抛物线经过(3，0)、(1，0)、(0，3)，设抛物线的解析式为：ya(x+3)(x1)，代入点(0,3)，则3a(0+3)(01)，解得：a1，则抛物线的解析式为：y(x+3)(x1)，整理得到：yx22x+3【点拨】本题考查了
9、二次函数解析式的求法，属于基础题，计算过程中细心即可举一反三：【变式1】二次函数经过（1，0），（3，0）和（0，3）(1)求该二次函数解析式；(2)将该二次函数图像以轴为对称轴作轴对称变换得到新的抛物线，请求出新抛物线的解析式【答案】(1)(2)【分析】（1）根据二次函数图像与x轴的交点坐标，设抛物线的解析式为y=a(x-1)(x-3)，再将（0，3）代入关系式，求出a的值即可；（2）由题意可知新抛物线与x轴的交点坐标，可设交点式，再将点（0，-3）代入求出m的值即可.解：(1)设该二次函数解析式为把（0，3）代入解析式得该二次函数解析式为(2)由题意可知，抛物线与x轴的交点是（1，0）和（
10、3，0），且经过点（0，-3）.设新二次函数解析式为，再代入（0，-3），得到m=-1轴对称变换后二次函数解析式为【点拨】本题主要考查了求二次函数关系式，掌握交点式y=a(x-x1)(x-x2)是解题的关键.【变式2】已知抛物线与x轴交于A（2，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），求此抛物线的解析式【答案】【分析】首先设出抛物线的两点式，然后代入点的坐标，计算可得答案解：抛物线与x轴交于A（2，0）、B（3，0）两点，可设其解析式为：ya（x+2）（x3），代入点C（0，3）得，a（0+2）（03）3，解得a，抛物线的解析式：y（x+2）（x3）x2+x+3【点拨】本题考查了二次
11、函数的性质，设两点式：若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为（，0），（，0），则设所求二次函数为，将第三个点的坐标（m，n）（其中m，n为已知数）或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将解析式化为一般形式类型四、用待定系数法求二次函数解析式综合应用4已知抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，P是线段BC上一点，过点P作轴交x轴于点N，交抛物线于点M(1)求该抛物线的表达式；(2)如果点P的横坐标为2，点Q是第一象限抛物线上的一点，且和的面积相等，求点Q的坐标【答案】(1)y=-x2+2x+3(2)（1+，1）【分析】（1）根据点B、C的坐标利用待定系数法，即可求出抛物线的表达式；（2
12、）根据点B、C的坐标利用待定系数法，求出直线BC的表达式，由点P的横坐标，即可求出点P、M的坐标，进而可求出PMC的面积，根据QMC和PMC的面积相等，可求出点Q的纵坐标为1，再利用二次函数图象上点的坐标特征结合点Q在第一象限，即可求出点Q的坐标，即可求解(1)解：（1）将B（3，0）、C（0，3）代入y=-x2+bx+c，得：，解得：抛物线的表达式为y=-x2+2x+3(2)依照题意画出图形，如图所示设直线BC的表达式为y=kx+b（k0），将点C（0，3）、B（3，0）代入y=kx+b， 得：，解得：，直线BC的表达式为y=-x+3，P（2，1），M（2，3），SPCM=CMPM=2设QC
13、M的边CM上的高为h，则SQCM=2h=2，h=2，Q点的纵坐标为1，-x2+2x+3=1，解得：x1=1+，x2=1-（舍去），点Q的坐标为（1+，1）【点拨】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及解直角三角形，掌握一次函数与二次函数的性质举一反三：【变式1】在平面直角坐标系中，抛物线经过点和(1)求c的值及a，b满足的关系式(2)结合函数图象判断抛物线能否同时经过点若能，写出符合要求的抛物线的表达式；若不能，请说明理由【答案】(1)c=3， 3a+b=-1；(2)能，y=【分析】（1）将点和代入解析式即可求解；（2）根据题意求得对
14、称轴，设，将和代入解析式，待定系数法求解析式即可求解解：(1)抛物线经过点和， c=3， 3a+b=-1；(2)，抛物线的对称轴为若同时经过点，则对称轴为，故存在抛物线能否同时经过点设，将和代入解析式，解得，【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数解析式，掌握二次函数的性质是解题的关键【变式2】已知抛物线的图象经过坐标原点O(1)求抛物线解析式(2)若B，C是抛物线上两动点，直线恒过点，设直线为，直线为若B、C两点关于y轴对称，求的值求证：无论k为何值，为定值【答案】(1)；(2)；证明见分析(1)解：把(0，0)代入，得0=(0-n)(0-n)+c，c=n2，把c=n2代
15、入得y=x2-n2+n2=x2，抛物线解析式为：y=x2；(2)解：把(0，1)代入y=kx+b，得b=1，直线BC解析式为：y=kx+1，B、C两点关于y轴对称，BCx轴，k=0，即直线BC：y=1，将y=1代入y=x2，得x2=2，解得：x=，设B(-，1)，C(，1)，把B(-，1)代入y=k1x，得1=-k1，k1=-，把C(，1)代入y=k2x，得1=k1，k2=，k1k2=-=-，联立：，得x2-kx-1=0，设此方程两根为x1，x2，则x1x2=-2，y1y2=1，把(x1，y1)代入y=k1x，得k1=，把(x2，y2)代入y=k2x，得k2=，k1k2=，无论k为何值，为定值，值为【点拨】本题考查二次函数与一次函数交点问题，待定系数法求函数解析式，二次函数与一元二次方程的联系，本题是二次函数综合题目，熟练掌握相关知识是解题的关键
