1、专题22.13 二次函数的图象与性质（知识讲解）【学习目标】1. 会用描点法画二次函数的图象；会用配方法将二次函数的解析式写成的形式；2. .通过图象能熟练地掌握二次函数的性质；3. .经历探索与的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想【要点梳理】要点一、二次函数与之间的相互关系1. 顶点式化成一般式从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式2. 一般式化成顶点式对照，可知， 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是特别说明：1抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，
2、可以当作公式加以记忆和运用2求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用要点二、二次函数的图象的画法1.一般方法：列表、描点、连线；2.简易画法：五点定形法.其步骤为：(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴(2)求抛物线与坐标轴的交点，当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来特别说明：当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C
3、及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，要点三、二次函数的图象与性质1.二次函数图象与性质函数二次函数（a、b、c为常数，a0）图象开口方向向上向下对称轴直线直线顶点坐标增减性在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大简记：左减右增在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小简记：左增右减最大(小)值抛物线有最低点，当时，y有最小值，抛物线有最高点，当时，y有最大值， 2.二次函数图象的特
4、征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系项目字母字母的符号图象的特征aa0开口向上a0开口向下bab0(a，b同号)对称轴在y轴左侧ab0(a，b异号)对称轴在y轴右侧cc=0图象过原点c0与y轴正半轴相交c0与y轴负半轴相交b2-4acb2-4ac=0与x轴有唯一交点b2-4ac0与x轴有两个交点b2-4ac0与x轴没有交点要点四、求二次函数的最大（小）值的方法如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，特别说明：如果自变量的取值范围是x1xx2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1xx2内，若在此范围内，则当时，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1x
5、x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当xx2时，；当xx1时，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当xx1时，；当xx2时，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察xx1，xx2，时y值的情况【类型一】把二次函数化为顶点式1嘉嘉同学用配方法推导二次函数（）的顶点坐标，她是这样做的：由于解析式变形为，第一步，第二步，第三步第四步(1)嘉嘉的解法从第_步开始出现错误；事实上，抛物线（）的顶点坐标是_(2)用配方法求抛物线的顶点坐标和对称轴【答案】(1)四，(2)顶点坐标为，对称轴为直线x1【分析】（1）根据计算可得出第四步中括号外符号错误，改正后即可直接得出顶点坐标；（2）用
6、配方法求解即可解：(1)嘉嘉的解法从第四步开始出现错误，应为，故顶点坐标为故答案为：四，；(2)顶点坐标为，对称轴为直线x1【点拨】本题考查将二次函数一般式改为顶点式与二次函数的性质熟练掌握配方法是解题关键举一反三：【变式1】 已知二次函数(1) 用配方法化成的形式；(2) 直接写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标【答案】(1)(2)对称轴为，顶点坐标为【分析】（1）利用完全平方公式进行配方即可；（2）依据配方后的解析式即可得到结论(1)解：(2) 对称轴为，顶点坐标为【点拨】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键【变式2】（1）解方程：2x23x10；（2）用
7、配方法求抛物线yx2+4x5的开口方向、对称轴和顶点坐标【答案】（1） ；（2）抛物线的开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为【分析】（1）利用公式法，即可求解；（2）先将抛物线解析式化为顶点式，即可求解解：（1） ， ， ， ；（2） 抛物线的开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为 【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，二次函数的图象和性质，熟练掌握一元二次方程的解法，二次函数的图象和性质是解题的关键【类型二】画二次函数的图象2已知抛物线(1)用配方法求抛物线的顶点坐标和对称轴(2)直接画出函数的图像【答案】(1)顶点坐标是，对称轴是(2)图像见分析【分析】（1）利用配方法将抛物线的解析式变形为
8、，由此即可得出抛物线的顶点坐标及抛物线的对称轴；（2）画图是要把握抛物线与坐标轴的交点，顶点坐标，开口方向等，利用列表、描点、连线即可画出这条抛物线(1)解：，顶点坐标是，对称轴是；(2)列表：0123430103作图如下：【点拨】本题考查了二次函数图像的画法，二次函数的两种形式利用配方法将二次函数解析式的一般式换算成顶点式是解题的关键举一反三：【变式1】已知二次函数yax22ax2图象经过点P（1，1）(1)求a的值和图象的顶点坐标；(2)若点Q（m，n）在该二次函数图象上，当1m4时，请根据图象直接写出n的取值范围【答案】(1)a1，顶点坐标为（1，3）(2)3n6【分析】（1）把P（1，
9、1）代入yax22ax2中，得到a的值，即可得到函数解析式，将解析式化为顶点式，即可得到抛物线的顶点坐标；（2）利用描点法画出函数图象，即可得到n的取值范围(1)解：把P（1，1）代入yax22ax2中，得a+2a-2=1，a1，yx22x2（x1）23，图象的顶点坐标为（1，3）；(2)解：如图所示：由图象知，当m=-1时，n=1；当m=4时，n=6；图象最低点在此段函数图象上，点Q（m，n）在该二次函数图象上，当1m4时，3n6【点拨】此题考查了二次函数的知识，利用待定系数法求函数解析式，将函数解析式化为顶点式求顶点坐标，画函数图象，利用函数图象确定纵坐标的取值范围，属于基础题型【变式2】
10、 已知二次函数yx24x3（1）用配方法将yx24x3化成y=a（x-h）2+k的形式；（2）求抛物线与x轴交点坐标；（3）在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象；（4）结合图象直接写出y0时，自变量x的取值范围是 _；（5）当0x3时，y的取值范围是 _【答案】（1）y=（x-2）2-1；（2）（1，0）或（3，0）；（3）见详解（4）1x3；（5）-1y3【分析】（1）利用配方法化简即可；（2）将已知二次函数解析式转化为两点式，可以直接得到答案；（3）用“五点法”取值描点连线即可求解；（4）、（5）观察函数图象即可求解解：（1）y=x2-4x+3=（x-2）2-1；（2）由二次函
11、数y=x2-4x+3=（x-1）（x-3）知，该图象与x轴的交点为（1，0）或（3，0）；（3）当x=0时，y=3；当x=1时，y=0；当x=-2时，y=-1；当x=3时，y=0；当x=4时，y=3，用上述五点描点连线得到函数图象如下：（4）观察函数图象知，当自变量x的取值范围满足1x3时，y0故答案是：1x3；（5）观察函数图象知，当0x3时，y的取值范围是：-1y3故答案是：-1y3【点拨】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征【类型三】二次函数的性质3、直线与x轴交于点A，与y轴
12、交于点B；抛物线经过点A、点B(1)求该抛物线的解析式(2)根据图象直接写出的解集；(3)将点B向右平移4个单位长度得到C，若拋物线与线段BC恰好有一个交点，求m的取值范围【答案】(1)(2)或(3)或【分析】（1）求出A、B的坐标，再代入二次函数解析式，即可求解；（2）将所求表达式变形为，结合函数图象进行求解即可；（3）求出C点坐标，当时，解得，当时，解得，则时抛物线与线段BC有一个交点，利用根的判别式进行求解即可解：(1)令，则，令，则，将A、B点代入，解得，；(2)，与的交点为，当或时，；(3)将点B向右平移4个单位长度，抛物线与线段BC恰好有一个交点，当时，即，解得，当时，即，解得，；
13、当时，即，此时抛物线与线段BC有一个交点；综上所述：或时，抛物线与线段BC有一个交点【点拨】本题是二次函数的综合题目，涉及一次函数与坐标轴的交点坐标，待定系数法求二次函数解析式及二次函数的图象与性质，熟练掌握知识点是解题的关键举一反三：【变式1】如图，抛物线yx2+(m1)x+m与y轴交于点(0，3)（1）m的值为_；（2）当x满足_时，y的值随x值的增大而减小；（3）当x满足_时，抛物线在x轴上方；（4）当x满足0x4时，y的取值范围是_【答案】（1）3；（2）x1；（3）-1x3；（4）-5y4【分析】根据函数的图象和性质即可求解解：（1）将（0，3）代入yx2+（m1）x+m得，3m，故
14、答案为3；（2）m3时，抛物线的表达式为yx2+2x+3，函数的对称轴为直线x1，10，故抛物线开口向下，当x1时，y的值随x值的增大而减小，故答案为x1；（3）令yx2+2x+3，解得x1或3，从图象看，当1x3时，抛物线在x轴上方；故答案为1x3；（4）当x0时，y3；当x4时，yx2+2x+35，而抛物线的顶点坐标为（1，4），故当x满足0x4时，y的取值范围是5y4，故答案为5y4【点拨】本题主要考查二次函数的图像与性质及系数的关系，熟练掌握二次函数的图像与性质及系数的关系是解题的关键【变式2】 已知抛物线 （a0）(1)若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；(2)设点P（m，y1），
15、Q（3，y2）在抛物线上，若y1y2，求m的取值范围【答案】(1)(2)或【分析】（1）把解析式化成顶点式，可得，可知，该抛物线的顶点坐标为（1，-a-3），再根据该抛物线的顶点在x轴上，可得-a-3=0，解此方程，即可求得a的值，进而求出解析式；（2）根据对称轴得到其对称点，再根据二次函数的增减性写出m的取值，即可求解(1)解：，抛物线的顶点坐标为（1，-a-3），该抛物线的顶点在x轴上，-a-3=0，解得a=-3，抛物线的解析式为；(2)解：，抛物线的对称轴为直线x=1，点Q（3，y2）关于直线x=1对称的点的坐标为（-1，y2），a0，y1y2，或【点拨】本题主要考查了求二次函数的解析式
16、以及二次函数的性质，熟练掌握运用二次函数的性质求解集是解题关键【类型四】二次函数各项系数的符号4、抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：（1）a的符号由抛物线的_确定；（2）b的符号由抛物线的_确定；（3）c的符号由抛物线_确定；（4）b24ac的符号由抛物线的_确定；（5）a+b+c的符号由_在抛物线上的点的位置确定；（6）ab+c的符号由_在抛物线的点的位置确定；（7）2a+b的符号由抛物线_与_的位置确定；（8）2ab的符号由抛物线_与_的位置确定【答案】（1）开口方向；（2）对称轴的位置；（3）与y轴交点所在位置；（4）与x轴交点的个数；（5）x=1；（6）x=1；（7）对称轴；x轴的
17、交点；（8）开口方向；对称轴【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断解：（1）a的符号由抛物线的开口方向确定；（2）b的符号由抛物线的对称轴的位置确定；（3）c的符号由抛物线与y轴交点所在位置确定；（4）b24ac的符号由抛物线与x轴交点的个数确定；（5）a+b+c的符号由x=1在抛物线上的点的位置确定；（6）ab+c的符号由 x=1在抛物线的点的位置确定；（7）2a+b的符号由抛物线对称轴与x轴交点的位置确定；（8）2ab的符号由抛物线开口方向与对称轴的位置确定故答案是：（1）开口方
18、向；（2）对称轴的位置；（3）与y轴交点所在位置；（4）与x轴交点的个数；（5）x=1；（6）x=1；（7）对称轴；x轴的交点；（8）开口方向；对称轴【点拨】本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点确定举一反三：【变式1】如图为二次函数yax2+bx+c（a0）的图象根据函数图象，“”、“”或“”填写下列空格：a 0；4acb2 0；2a+b 0；a+b+c 0；当1x3时，y 0；8a+c 0【答案】；【分析】根据开口方向即可判断，根据二次函数图象与轴有2个不同的交点即可判断，根据图象的对称性可得对称轴为，进而
19、确定的符号，根据时的函数值为即可判断的符号，根据函数图象在时，函数图象位于轴上方，即可判断函数值大于0，即，根据可得以及时候的函数值即可判断解：二次函数图象开口向下，二次函数图象与轴有2个不同的交点，即根据图象的对称性可得对称轴为，即时的函数值为，根据图象可知时，即，根据函数图象在时，函数图象位于轴上方，即可判断函数值大于0，即，根据可得以及时候的函数值即故答案为：；【点拨】本题考查了二次函数图象与性质，掌握二次函数图象与性质是解题的关键【变式2】 已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，请结合图象，判断下列各式的符号abc；b24ac；a+b+c；ab+c【答案】abc0；b
20、24ac0；a+b+c0；ab+c0【分析】抛物线开口向下得到a0，对称轴在y轴的左侧，a与b同号，得到b0，抛物线与y轴的交点在x轴的下方得到c0，于是abc0；抛物线与x轴没有交点，所以=b24ac0；取x=1，观察图象得到图象在x轴下方，则x=1，y=a+b+c0；取x=1，观察图象得到图象在x轴下方，则x=1，y=ab+c0解：抛物线开口向下，则a0，对称轴在y轴的左侧，则x=0，则b0，抛物线与y轴的交点在x轴的下方，则c0，abc0；抛物线与x轴没有交点，所以=b24ac0；当自变量为1时，图象在x轴下方，则x=1时，y=a+b+c0；当自变量为1时，图象在x轴下方，则x=1时，y
21、=ab+c0【点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系，对于二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置 当a与b同号时（即ab0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab0），对称轴在y轴右（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点抛物线与y轴交于（0，c）抛物线与x轴交点个数=b24ac0时，抛物线与x轴有2个交点；=b24ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；=b24ac0时，抛物线与x轴没有交点【类型五】一次函数与二次函数图象判断5、一次函数与二
22、次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）ABCD【答案】C【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口方向以及对称轴与y轴的位置关系，即可得出a、b的正负性，由此即可得出一次函数图象经过的象限，即可得出结论解：A. 二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，a0，b0，b0，一次函数图象应该过第一、三、四象限，故本选项错误；C.二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，a0，b0，一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项正确；D. 二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，a0，b0，一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误故选C【点拨】本题主要考查二次函数图象与一次函数图象的综
23、合，掌握二次函数与一次函数系数与图象的关系，是解题的关键举一反三：【变式1】在同一直角坐标系中，函数和函数（是常数，且） 的图像可能是（ ）ABCD【答案】D【分析】分m0及m0两种情况考虑两函数的图象，对照四个选项即可得出结论解：A、由函数y=mx+m的图象可知m0，即函数y=-mx2+2x+2开口方向朝上，与图象不符，故A选项错误；B、由函数y=mx+m的图象可知m0，对称轴为x=-=-0，则对称轴应在y轴左侧，与图象不符，故B选项错误；C、由函数y=mx+m的图象可知m0，即函数y=-mx2+2x+2开口方向朝下，与图象不符，故C选项错误；D、由函数y=mx+m的图象可知m0，即函数y=
24、-mx2+2x+2开口方向朝上，对称轴为x=-=-0 ，则对称轴应在y轴左侧，与图象相符，故D选项正确；故选：D【点拨】本题主要考查一次函数和二次函数的图象所经过的象限的问题，关键是m的正负的确定，对于二次函数y=ax2+bx+c，当a0时，开口向上；当a0时，开口向下对称轴为x=-，与y轴的交点坐标为（0，c）【变式2】如图，已知直线y=x+3分别交x轴、y轴于点A、B，P是抛物线y=x2+2x+5的一个动点，其横坐标为a，过点P且平行于y轴的直线交直线y=x+3于点Q，则当PQ=BQ时，a的值是_【答案】1，4，4+2，42解：设点P的坐标为（a，a2+2a+5），则点Q为（a，a+3），
25、点B为（0，3），当点P在点Q上方时，BQ=a，PQ=a2+2a+5（a+3）=a2+a+2，PQ=BQ，a=a2+a+2，整理得：a23a4=0，解得：a=1或a=4，当点P在点Q下方时，BQ=a，PQ=a+3（a2+2a+5）=a2a2，PQ=BQ，a=a2a2，整理得：a28a4=0，解得：a=4+2或a=42综上所述，a的值为：1，4，4+2，42故答案为1，4，4+2，42【点拨】二次函数综合题.【类型六】二次函数图象的平移6、如图，二次函数（a为常数）的图象的对称轴为直线（1）求a的值（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式【答案】（1）；
26、（2）【分析】（1）把二次函数化为一般式，再利用对称轴：，列方程解方程即可得到答案；（2）由（1）得：二次函数的解析式为：，再结合平移后抛物线过原点，则 从而可得平移方式及平移后的解析式解：（1）图象的对称轴为直线，（2），二次函数的表达式为，抛物线向下平移3个单位后经过原点，平移后图象所对应的二次函数的表达式为【点拨】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图像的平移，熟练掌握二次函数的基础知识是解题的关键举一反三：【变式1】在平面直角坐标系中，已知点，直线经过点抛物线恰好经过三点中的两点判断点是否在直线上并说明理由；求的值；平移抛物线，使其顶点仍在直线上，求
27、平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值【答案】（1）点在直线上，理由见详解；（2）a=-1，b=2；（3）【分析】（1）先将A代入，求出直线解析式，然后将将B代入看式子能否成立即可；（2）先跟抛物线与直线AB都经过（0，1）点，且B，C两点的横坐标相同，判断出抛物线只能经过A，C两点，然后将A，C两点坐标代入得出关于a，b的二元一次方程组；（3）设平移后所得抛物线的对应表达式为y=-（x-h）2+k，根据顶点在直线上，得出k=h+1，令x=0，得到平移后抛物线与y轴交点的纵坐标为-h2+h+1，在将式子配方即可求出最大值解：（1）点在直线上，理由如下：将A（1，2）代入得，解得m=1，直线解析式为，将B（2，3）代入，式子成立，点在直线上；（2）抛物线与直线AB都经过（0，1）点，且B，C两点的横坐标相同，抛物线只能经过A，C两点，将A，C两点坐标代入得，解得：a=-1，b=2；（3）设平移后所得抛物线的对应表达式为y=-（x-h）2+k，顶点在直线上，k=h+1，令x=0，得到平移后抛物线与y轴交点的纵坐标为-h2+h+1，-h2+h+1=-（h-）2+，当h=时，此抛物线与轴交点的纵坐标取得最大值【点拨】本题考查了求一次函数解析式，用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移和求最值，求出两个函数
