四川省绵阳市2019届高三第二次（1月）诊断性考试数学理试题.zip

汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！1绵阳市高中 2019 届高三第二次诊断性考试理科数学绵阳市高中 2019 届高三第二次诊断性考试理科数学一、选择题（60 分）一、选择题（60 分）1.在复平面内，复数i21对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.己知集合 A=0,1，2,3，4，B=x 1xe1，则 AB()A.1，2，3，4B.2，3，4C.3，4D.43.下图所示的茎叶图记录的是甲、乙两个班各 5 名同学在一次数学小测试中的选择题总成绩（每道题 5 分，共 8 道题）已知两组数据的中位数相同，则 m 的值为（）A.0B.2C.3D.54.“ab1”是“直线axy+10 与直线 xby10 平行”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C 充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.设,a b是互相垂直的单位向量，且（ab）（a2b），则实数的值是（）A.2B.2C.1D.16.执行如图的程序框图，其中输入的7sin6a，7cos6b，则输出 a 的值为（）.汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！2A.1B.1C.3D.37.抛物线1B的焦点为 F，P 是抛物线上一点，过 P 作 y 轴的垂线，垂足为 Q，若PF24，则PQF 的面积为（）A.3B.24C.3 6D.368.已知O：522 yx与O1：222()(0)xayra相交于 A、B 两点，若两圆在 A 点处的切线互相垂直，且AB=4，则O1的方程为（）A.22(4)xy20B.22(4)xy50C.22(5)xy20D.22(5)xy509.在边长为 2 的等边三角形内随机取一点，该点到三角形三个顶点距离均大于 1 的概率是（）A.316B.36C.318D.3810.已知12,F F是焦距为 8 的双曲线)0,0(1:2222babyaxE的左右焦点，点2F关于双曲线E的一条渐近线的对称点为点A，若14F，则此双曲线的离心率为（）A.2B.3C.2D.311.博览会安排了分别标有序号为“1 号”“2 号”“3 号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车记方案一与方案二坐到“3 号”车的概率分别为 P1，P2，则（）A.P1P214B.P1P213C.P1+P256D.P1P212.函数1221()(1)2xf xeaxaxa在（一，十）上单调递增，则实数 a 的范围是（）A.1B.(1，1)C.(0.1)D.1，1二、填空题、（20 分）二、填空题、（20 分）13.(2+1x)(2x)5的展开式中 x2的系数是_(用数字作答）14.一个盒子装有 3 个红球和 2 个蓝球（小球除颜色外其它均相同），从盒子中一次性随机取出 3 个小球后，汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！3再将小球放回重复 50 次这样的实验记“取出的 3 个小球中有 2 个红球，1 个蓝球”发生的次数为，则 的方差是_15.若 f（x)xxee，则满足不等式 f(3x-1)十 f(2)0 的 x 的取值范围是_16.已知椭圆 C：221(4)4xymmm的右焦点为 F，点 A（一 2，2)为椭圆 C 内一点。若椭圆 C 上存在一点 P，使得PAPF8，则 m 的最大值是_三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22.23 题为选考题，考生根据要求作答。三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22.23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。（一）必考题：共 60 分。17.设数列na的前 n 项和为 Sn，已知 3Sn=4na4，*nN I求数列na的通项公式；令2211loglognnnbaag，求数列nb的前 n 项和 Tn.18.进入冬天，大气流动性变差，容易形成雾握天气，从而影响空气质量某城市环保部门试图探究车流量与空气质量的相关性，以确定是否对车辆实施限行为此，环保部门采集到该城市过去一周内某时段车流量与空气质量指数的数据如下表：(1)根据表中周一到周五数据，求 y 关于 x 的线性回归方程。(2)若由线性回归方程得到估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2，则认为得到的线性回归方程是可靠的请根据周六和周日数据，判定所得的线性回归方程是否可靠？注：回归方程ybxa中斜率和截距最小二乘估计公式分别为xbyaxxyyxxbniiniii121,)()(.19.ABC 的内角 A.B.C 的对边分别为 a，b，c，己知3AB AC gb（casinC）。（1)求角 A 的大小；的的汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！4(2）设 b=c，N 是ABC 所在平面上一点，且与 A 点分别位于直线 BC 的两侧，如图，若 BN=4，CN=2，求四边形 ABNC 面积的最大值20.己知椭圆 C：22xy184的左右焦点分别为1F，2F，直线 l：ykxm与椭圆 C 交于 A，B 两点.O为坐标原点 1若直线 l 过点1F，且2AF十216 2BF3，求直线 l 的方程；2若以 AB 为直径的圆过点 O，点 P 是线段 AB 上的点，满足OPAB，求点 P 的轨迹方程21.已知函数21()ln1,2f xxxmxxmR（1）若()f x有两个极值点，求实数m的取值范围；（2）若函数2()lnlng xxxmxexemx有且只有三个不同的零点，分别记为321,xxx，且31xx的最大值为2e，求13x x的最大值.（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22,23 题中任选一题做答。如果多做则按所做的第一题记分。（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22,23 题中任选一题做答。如果多做则按所做的第一题记分。22.在平面直角坐标系 xoy 中，曲线 C 的参数方程是23cos3sinxy（为参数）以坐标原点 O 为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为：(cossin)t（1）求曲线 C极坐标方程；（2）设直线()6R与直线 l 交于点 M，与曲线 C 交于 P，Q 两点，已知OMOPOQ）10，求 t 的值。23.已知函数()|,f xxm mR（1）m1 时，求不等式 f（x2）+f（2x）4 的解集；.的汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！5（2）若 t0，求证：()f tx()()tf xf tm汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！6汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！1绵阳市高中 2019 届高三第二次诊断性考试理科数学绵阳市高中 2019 届高三第二次诊断性考试理科数学一、选择题（60 分）一、选择题（60 分）1.在复平面内，复数i21对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】zi2.己知集合 A=0,1，2,3，4，B=x 1xe1，则 AB()A.1，2，3，4B.2，3，4C.3，4D.4【答案】B【解析】【分析】先求出集合 B，由此能求出 AB【详解】1xe10e，所以，x10，即 x1，集合 A 中，大于 1 的有：2，3，4，故 AB2，3，4.故选 B.【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、指数不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题3.下图所示的茎叶图记录的是甲、乙两个班各 5 名同学在一次数学小测试中的选择题总成绩（每道题 5 分，共 8 道题）已知两组数据的中位数相同，则 m 的值为（）A.0B.2C.3D.5【答案】D汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！2【解析】【分析】根据茎叶图中的数据，直接写出甲、乙两个班级的中位数，得出 30+m35，求出 m 的值【详解】甲班成绩：25、30、35、40、40，中位数为：35，乙班成绩：30、30、30+m、35、40，因为中位数相同，所以 30+m35，解得：m5故选 D.【点睛】本题考查了利用茎叶图求中位数的应用问题，是基础题4.“ab1”是“直线axy+10 与直线 xby10 平行”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】ab1 时，两条直线平行成立，但由 axy+10 与直线 xby10 平行，可得 ab1，不一定是 ab1【详解】ab1 时，两条直线 axy+10 与直线 xby10 平行，反之由 axy+10 与直线 xby10 平行，可得：ab1，显然不一定是 ab1，所以，必要性不成立，“ab1”是“直线 axy+10 与直线 xby10 平行”的充分不必要条件故选：A【点睛】本题考查了直线平行的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5.设,a b是互相垂直的单位向量，且（ab）（a2b），则实数的值是（）A.2B.2C.1D.1【答案】B【解析】汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！3【分析】利用向量垂直的充要条件：向量垂直数量积等于 0，列出方程求出【详解】依题意，有：ab1，且 ab0，又（ab）（a2b），所以，（ab）（a2b）0，即a22b2（21）ab0，即20，所以，2故选 B.【点睛】本题考查两向量垂直的充要条件：数量积等于 0；单位向量的定义，属于基础题.6.执行如图的程序框图，其中输入的7sin6a，7cos6b，则输出 a 的值为（）A.1B.1C.3D.3【答案】B【解析】【分析】由条件结构的特点，先判断，再执行，计算出 a，即可得到结论【详解】由 a71sin62，b73cos62，ab，则 a 变为12332（）1，则输出的 a1汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！4故选 B.【点睛】本题考查算法和程序框图，主要考查条件结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题7.抛物线1B的焦点为 F，P 是抛物线上一点，过 P 作 y 轴的垂线，垂足为 Q，若PF24，则PQF 的面积为（）A.3B.24C.3 6D.36【答案】D【解析】【分析】由条件结合抛物线定义可知 P 的横坐标为 x32，代入抛物线方程得点 P 的纵坐标的绝对值，则可求PQF 的面积.【详解】依题意，得 F（2，0），因为PF42，由抛物线的性质可知：PQ4223 2，即点 P 的横坐标为 x32，代入抛物线24 2yx，得点 P 的纵坐标的绝对值为：y26，所以，PQF 的面积为：S13 22 66 32，故选 D.【点睛】本题主要考查了抛物线的简单应用涉及抛物线的焦点问题时一般要考虑到抛物线的定义，考查计算能力8.已知O：522 yx与O1：222()(0)xayra相交于 A、B 两点，若两圆在 A 点处的切线互相汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！5垂直，且AB=4，则O1的方程为（）A.22(4)xy20B.22(4)xy50C.22(5)xy20D.22(5)xy50【答案】C【解析】【分析】根据两圆相交，在 A 处的切线互相垂直，即可得到结论【详解】依题意，得 O（0,0），R5，O1（a，0），半径为 r两圆在 A 点处的切线互相垂直，则由切线的性质定理知：两切线必过两圆的圆心，如下图，OC221DAAC，OAO1A，OO1AB，所以由直角三角形射影定理得：OA2OCOO1，即51OO1，所以 OO15，rAO1222425，即22000a5，得a5，所以，圆 O1的方程为：225xy20，故选：C【点睛】本题主要考查两圆位置关系的应用，根据切线垂直关系建立方程关系是解决本题的关键9.在边长为 2 的等边三角形内随机取一点，该点到三角形三个顶点距离均大于 1 的概率是（）A.316B.36C.318D.38【答案】A【解析】【分析】先求出满足条件的正三角形 ABC 的面积，再求出满足条件正三角形 ABC 内的点到三角形的顶点 A、B、C汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！6的距离均不小于 1 的图形的面积，然后代入几何概型公式即可得到答案【详解】满足条件的正三角形 ABC 如下图所示：其中正三角形 ABC 的面积 S三角形3443满足到正三角形 ABC 的顶点 A、B、C 的距离至少有一个小于 1 的平面区域如图中阴影部分所示，其加起来是一个半径为 1 的半圆，则 S阴影12则使取到点到三个顶点 A、B、C 的距离都大于 1 的概率是P133211632 3SS空白部分三角形 故选：A【点睛】本题考查几何概型概率公式，涉及三角形的面积公式、扇形的面积公式，属于基础题10.已知12,F F是焦距为 8 的双曲线)0,0(1:2222babyaxE的左右焦点，点2F关于双曲线E的一条渐近线的对称点为点A，若14F，则此双曲线的离心率为（）A.2B.3C.2D.3【答案】C【解析】【分析】的汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！7由题意知 AF22284=43，结合点到直线的距离与双曲线中 a、b、c 间得关系得到222242 316babab，解得结果.【详解】如下图，因为 A 为 F2关于渐近线的对称点，所以，B 为 AF2的中点，又 O 为 F1F2的中点，所以，OB为三角形 AF1F2的中位线，所以，OBAF1，由 AF2OB，可得 AF2AF1，AF22284=43，点 F2（4,0），渐近线：ybax，所以222242 316babab，解得：b23，a2，所以离心率为 e2,故选 C.【点睛】本题考查双曲线的几何性质，考查勾股定理的运用及点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题11.博览会安排了分别标有序号为“1 号”“2 号”“3 号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车记方案一与方案二坐到“3 号”车的概率分别为 P1，P2，则（）A.P1P214B.P1P213C.P1+P256D.P1P2【答案】C【解析】【分析】汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！8将三辆车的出车可能顺序一一列出，找出符合条件的即可.【详解】三辆车的出车顺序可能为：123、132、213、231、312、321方案一坐车可能：132、213、231，所以，P136；方案二坐车可能：312、321，所以，P126；所以 P1+P256故选 C.【点睛】本题考查了古典概型的概率的求法，常用列举法得到各种情况下基本事件的个数，属于基础题.12.函数1221()(1)2xf xeaxaxa在（一，十）上单调递增，则实数 a 的范围是（）A.1B.(1，1)C.(0.1)D.1，1【答案】A【解析】【分析】根据 f（x）0，结合结论x1xe，即1xxe进行放缩求解，求得实数 a 的取值范围【详解】f（x）=1x10 xeaa恒成立，即1x1xeaa 恒成立，由课本习题知：x1xe，即1xxe，只需要 xaxa1，即(a-1)(x-1)0恒成立，所以 a1故选 A.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的性质的问题，属于中档题二、填空题、（20 分）二、填空题、（20 分）13.(2+1x)(2x)5的展开式中 x2的系数是_(用数字作答）【答案】200【解析】【分析】求出(2x)5展开式的通项公式，要求 x2的系数，只需求出(2x)5展开式中 x2和 x3的系数即可汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！9【详解】(2+1x)(2x)5展开式中，含 x2的项为 223252Cx+323512Cxx=(22352C+3252C)2x200 x2，所以系数为 200,故答案为 200.【点睛】本题主要考查二项式定理的基本应用，利用展开式的通项公式确定具体的项是解决本题的关键14.一个盒子装有 3 个红球和 2 个蓝球（小球除颜色外其它均相同），从盒子中一次性随机取出 3 个小球后，再将小球放回重复 50 次这样的实验记“取出的 3 个小球中有 2 个红球，1 个蓝球”发生的次数为，则 的方差是_【答案】12【解析】【分析】直接由二项分布的方差公式计算即可.【详解】由题意知 Bn,p)（,其中 n=50，p=213235C CC=63105，D（）=503255=12，故答案为 12.【点睛】本题考查了二项分布的概念及方差的计算，属于基础题.15.若 f（x)xxee，则满足不等式 f(3x-1)十 f(2)0 的 x 的取值范围是_【答案】13x 【解析】【分析】先判断奇偶性，再直接利用函数的单调性及奇函数可得 3x 一 1-2，由此求得 x 的取值范围【详解】根据 f（x）exex在 R 上单调递增，且 f（-x）exex=-f（x），得 f（x）为奇函数，f(3x一 1)-f(2)=f(-2)，3x 一 1-2，解得13x ，故答案为13x .【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，属于中档题16.已知椭圆 C：221(4)4xymmm的右焦点为 F，点 A（一 2，2)为椭圆 C 内一点。若椭圆 C 上存在一汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！10点 P，使得PAPF8，则 m 的最大值是_【答案】25【解析】【分析】设椭圆的左焦点为 F（2，0），由椭圆的定义可得 2m|PF|+|PF|，即|PF|2m|PF|，可得|PA|PF|82m，运用三点共线取得最值，解不等式可得 m 的范围，再由点在椭圆内部，可得所求范围【详解】椭圆 C：221(4)4xymmm的右焦点 F（2，0），左焦点为 F（2，0），由椭圆的定义可得 2m|PF|+|PF|，即|PF|2m|PF|，可得|PA|PF|82m，由|PA|PF|AF|2，可得282m2，解得35m，所以925m,又 A 在椭圆内，所以4414mm,所以 8m-16m(m-4),解得m62 5或m62 5,与取交集得62 525m故答案为 25【点睛】本题考查椭圆的定义和性质的运用，考查转化思想和运算能力，属于中档题三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22.23 题为选考题，考生根据要求作答。三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22.23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。（一）必考题：共 60 分。17.设数列na的前 n 项和为 Sn，已知 3Sn=4na4，*nN汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！11 I求数列na通项公式；令2211loglognnnbaag，求数列nb的前 n 项和 Tn.【答案】（1）212nna（2）12 nn【解析】分析：（1）由1n 求得1a，由2n 时，1nnnaSS可得na的递推式，得其为等比数列，从而易得通项公式；（2）根据（1）的结论，数列nb的前n项和可用裂项相消法求得详解：（1）342nnSa 当1n 时，11342aa，12a 当2n 时，11342nnSa 由-得：1344nnnaaa14nnaa na是以12a 为首项，公比为4的等比数列121242nnna（2）22111111loglog21212 2121nnnbaannnn12111111121335212121nnnTbbbnnn点睛：设数列na是等差数列，nb是等比数列，则数列nnba，nna b，11nna a的前n项和求法分别为分组求和法，错位相减法，裂项相消法18.进入冬天，大气流动性变差，容易形成雾握天气，从而影响空气质量某城市环保部门试图探究车流量与空气质量的相关性，以确定是否对车辆实施限行为此，环保部门采集到该城市过去一周内某时段车流的汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！12量与空气质量指数的数据如下表：(1)根据表中周一到周五的数据，求 y 关于 x 的线性回归方程。(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2，则认为得到的线性回归方程是可靠的请根据周六和周日数据，判定所得的线性回归方程是否可靠？注：回归方程ybxa中斜率和截距最小二乘估计公式分别为xbyaxxyyxxbniiniii121,)()(.【答案】（1）258yx；（2）可靠.【解析】【分析】（1）根据所给的数据，求出 x，y 的平均数，根据求线性回归方程系数的方法，求出系数b，把b和 x，y的平均数，代入求 a的公式，求出 a的值，即可得线性回归方程（2）根据所求的线性回归方程，预报当自变量为 8 和 8.5 时的 y 的值，把预报的值同原来表中所给的 8 和8.5 对应的值做差，差的绝对值不超过 2，得到线性回归方程可靠【详解】（1）1099.5 10.5 11105x，7876777980785y 51()10 1078789 1076789.5 107778iiixxyy 10.5 10797811 108078=5，5222222110 109 109.5 1010.5 1011 102.5iixx，51521522.5iiiiixxyybxx 78582 10aybx y 关于 x 的线性回归方程为258yx.（2）当 x=8 时，2 85874 y 满足|74-73|=12，当 x=8.5 时，2 8.55875y 满足汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！13|75-75|=02，所得的线性回归方程是可靠的【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查了线性回归分析的应用，考查解决实际问题的能力，是一个综合题目，属于基础题19.ABC 的内角 A.B.C 的对边分别为 a，b，c，己知3AB AC gb（casinC）。（1)求角 A大小；(2）设 b=c，N 是ABC 所在平面上一点，且与 A 点分别位于直线 BC 的两侧，如图，若 BN=4，CN=2，求四边形 ABNC 面积的最大值【答案】（1）2A；（2）54 2【解析】【分析】（1）由条件可得3ccosA=c-asinC由正弦定理得 sinA+3cosA=1化简得 sin(A+3)=12，解得 A 即可.（2）由余弦定理得 BC2=16+4-16cosN=20-16cosN，再结合条件得到四边形面积 S=SABC+SBCN4 2sin54N，求得最值.【详解】（1）3=sinAB AC b caC ，3cbcosA=b(c-asinC)，即3ccosA=c-asinC 由正弦定理得3sinCcosA=sinC-sinAsinC，sinC0，3cosA=1-sinA，即 sinA+3cosA=1 12sinA+32cosA=12，即 sin(A+3)=12 0A,4333A A+3=56，即 A=2（2）在BCN 中，由余弦定理得 BC2=NB2+NC2-2NBNCcosN，BN=4，CN=2，BC2=16+4-16cosN=20-16cosN 的.汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！14由（1）和 b=c，得ABC 是等腰直角三角形，于是 AB=AC=22BC，四边形 ABCD 的面积 S=SABC+SBCN=211sin22ABNC NBN=21 112 4sin2 22BCN=120 16cos4sin4NN=4sin4cos5NN=4 2sin54N 当 N=34时，S 取最大值5+4 2，即四边形 ABCD 的面积的最大值是5+4 2【点睛】本题考查了正弦定理余弦定理的应用、三角形面积计算公式及三角函数求最值的方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20.己知椭圆 C：22xy184左右焦点分别为1F，2F，直线 l：ykxm与椭圆 C 交于 A，B 两点.O为坐标原点 1若直线 l 过点1F，且2AF十216 2BF3，求直线 l 的方程；2若以 AB 为直径的圆过点 O，点 P 是线段 AB 上的点，满足OPAB，求点 P 的轨迹方程【答案】(1)20 xy或+20 x y；（2）2283xy(0y)【解析】【分析】（1）设 A(x1，y1)，B(x2，y2).联立222280yk xxy，整理得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-8=0根据弦长公式|AB|=8 23，代入整理得2212123kk，解得1k 得到直线 l 的方程（2）设直线 l 方程 y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)联立22280ykxmxy，整理得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0.结合韦达定理及条件0OA OB ，整理得 3m2=8k2+8从而有|OP|2=83（定值），得到点 P 的轨迹是圆，且去掉圆与 x 轴的交点.写出点 P 的轨迹方程即可.的汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！15【详解】（1）由椭圆定义得|AB|+|AF2|+|BF2|=4a=8，则|AB|=8 23 因为直线 l 过点 F1(-2,0)，所以 m=2k 即直线 l 的方程为 y=k(x+2).设 A(x1，y1)，B(x2，y2).联立222280yk xxy，整理得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-8=0 x1+x2=22812kk，x1x2=228812kk 由弦长公式|AB|=2212128 2143kxxx x，代入整理得2212123kk，解得1k 所以直线 l 的方程为2yx，即20 xy或+20 x y（2）设直线 l 方程 y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)联立22280ykxmxy，整理得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0.x1+x2=2421kmk，x1x2=222821mk 以 AB 为直径的圆过原点 O，即0OA OB OA OB x1x2+y1y2=0将 y1=kx1+m，y2=kx2+m 代入，整理得(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0 将 x1+x2=2421kmk，x1x2=222821mk代入，整理得 3m2=8k2+8 点 P 是线段 AB 上的点，满足OPAB，设点 O 到直线 AB 的距离为 d，|OP|=d，于是|OP|2=d2=22813mk（定值），点 P 的轨迹是以原点为圆心，83为半径的圆，且去掉圆与 x 轴的交点.故点 P 的轨迹方程为2283xy(0y)【点睛】本题考查椭圆方程求法，考查弦长的求法，考查椭圆、韦达定理、向量数量积、点到直线距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！1621.已知函数21()ln1,2f xxxmxxmR.（1）若()f x有两个极值点，求实数m的取值范围；（2）若函数2()lnlng xxxmxexemx有且只有三个不同的零点，分别记为321,xxx，且31xx的最大值为2e，求13x x的最大值.【答案】(1)(0，1e)；（2）222(e1)e1e.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，利用函数 f（x）有两个极值点，说明导函数有两个解，即lnxmx有两个不等的实数根，令 lnxh xx，则 21 lnxh xx，求得 h x的极大值1e，可求得 m 的取值范围（2）根据 g(x)=(x-e)(lnx-mx)，得到 x=e 是其零点又结合（1）知 lnx-mx=0 的两个根分别在(0，e)，(e，+)上，得到 g(x)的三个不同的零点分别是 x1，e，x3，且 0 x1e，进行31xtx的换元，则 t21e，由313311xtxlnxmxlnxmx，解得13ln1ln.1tlnxtt tlnxt，构造 1 ln1tttt，t21e，利用导函数转化求解即可【详解】（1）由题意得 lnfxxmx，x0由题知 lnfxxmx=0 有两个不等的实数根，即lnxmx有两个不等的实数根令 lnxh xx，则 21 lnxh xx由 h x0，解得0ex，故 h x在(0，e)上单调递增；由 h xe，故 h x在(e，+)上单调递减；故 h x在 x=e 处取得极大值1e，且 0h e，结合图形可得10em.当函数 f(x)有两个极值点时，实数 m 的取值范围是(0，1e)汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！17（2）因为 g(x)=xlnx-mx2-elnx+mex=(x-e)(lnx-mx)，显然 x=e 是其零点由（1）知 lnx-mx=0 的两个根分别在(0，e)，(e，+)上，g(x)的三个不同的零点分别是 x1，e，x3，且 0 x1e 令31xtx，则 t21e，则由313311xtxlnxmxlnxmx，解得13ln1ln.1tlnxtt tlnxt，故13131 lnlnlnln1ttx xxxt，t21e，令 1 ln1tttt，则 212ln1ttttt令 12lntttt，则 222221212110tttttttt 所以 t在区间21e，上单调递增，即 t 10所以 0t，即 t在区间21e，上单调递增，即 t2e=222 e1e1，所以212221ln1ex xe，即 x1x3222 e1e1e.所以 x1x3的最大值为222 e1e1e【点睛】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的最值以及函数的极值的求法，构造法的应用，考查转化思想以及计算能力（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22,23 题中任选一题做答。如果多做则按所做的第一题记分。（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22,23 题中任选一题做答。如果多做则按所做的第一题记分。22.在平面直角坐标系 xoy 中，曲线 C 的参数方程是23cos3sinxy（为参数）以坐标原点 O 为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为：(cossin)t汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！18（1）求曲线 C 的极坐标方程；（2）设直线()6R与直线 l 交于点 M，与曲线 C 交于 P，Q 两点，已知OMOPOQ）10，求 t 的值。【答案】（1）24 cos50；（2）13 或13.【解析】【分析】（1）由曲线 C 的参数方程，可得曲线 C 的普通方程，再将其化为极坐标方程 （2）将6代入cossint中，求得|OM|，将6代入24 cos50中，得22 350，得到|OP|OQ|=5再根据|OM|OP|OQ|=10，解得 t 值即可.【详解】（1）由曲线 C 的参数方程，可得曲线 C 的普通方程为2229xy，即22450 xyx cosx，siny，故曲线 C 的极坐标方程为24 cos50 （2）将6代入cossint中，得312t，则31 t|OM|=31 t将6代入24 cos50中，得22 350设点 P 的极径为1，点 Q 的极径为2，则125 所以|OP|OQ|=5又|OM|OP|OQ|=10，则 531 t=10 t=13 或31【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，考查了利用极坐标解决长度问题，考查了学生的运算能力和转化能力，属于基础题型23.已知函数()|,f xxm mR（1）m1 时，求不等式 f（x2）+f（2x）4 的解集；（2）若 t0，求证：()f tx()()tf xf tm【答案】（1）x|x2；（2）见解析.【解析】汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！19【分析】（1）将不等式|x-3|+|2x-1|4 去绝对值，按当 x3、132x及 x12分三类分别解不等式.（2）由绝对值三角不等式直接证明.【详解】（1）由 m=1，则 f x|x-1|，即求不等式|x-3|+|2x-1|4 的解集当 x3 时，|x-3|+|2x-1|=3x-44 恒成立；当132x 时，x+24，解得 x2，综合得23x；当 x12时，4-3x4，解得 x0，综合得 x0；所以不等式的解集为x|x2（2）t0，tf xf tmt xmtmm tmmtxtm tmmtxtm=txm=f tx所以 f tx tf xf tm【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法及绝对值三角不等式的应用，考查了不等式的证明，难度中档汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！20