1、2020届江苏省苏州市五校高三上学期12月月考数学试题一、填空题1已知，则_.【答案】【解析】根据两个集合直接求交集.【详解】由已知可知.故答案为：【点睛】本题考查集合的交集，属于简单题型.2若复数（为虚数），则复数的模_.【答案】【解析】首先求复数，再化简求模.【详解】，.故答案为：【点睛】本题考查复数的化简和求模，意在考查转化和化简计算，属于基础题型.3某市有中外合资企业160家，私营企业320家，国有企业240家，其他性质的企业80家，为了了解企业的管理情况，现用分层抽样的方法从这800家企业中抽取一个容量为的样本，已知从国有企业中抽取了12家，那么_.【答案】40【解析】由题意可知，计
2、算结果.【详解】由题意可知，解得：.故答案为：40【点睛】本题考查分层抽样，意在考查基本公式和基本计算能力，属于简单题型.4函数的定义域是_.【答案】【解析】根据具体函数的形式，直接求定义域.【详解】由题意可知 解得：，函数的定义域是.故答案为：【点睛】本题考查具体函数的定义域，属于简单题型.5 如图所示的流程图的运行结果是_【答案】20【解析】试题分析：第一次循环：，第二次循环：，结束循环，输出【考点】循环结构流程图6高三（5）班演讲兴趣小组有女生3人，男生2人，现从中任选2 名学生去参加校演讲比赛，则参赛学生恰好为1名男生和1名女生的概率是_.【答案】【解析】首先求任选2人的方法种数，然后
3、求满足条件的方法，最后用古典概型求概率.【详解】从5人中任选2名学生参加演讲比赛的有种方法，其中恰好为1名男生和1名女生的方法有种方法，则恰好为1名男生和1名女生的概率.故答案为：【点睛】本题考查组合数和古典概型的计算方法，意在考查基本公式和计算能力，属于基础题型.7在平面直角坐标系中，直线为双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率为_.【答案】【解析】由已知可知，再表示.【详解】由题意可知双曲线的渐近线方程是 若直线是双曲线的一条渐近线，则 ，即，离心率.故答案为：【点睛】本题考查双曲线基本性质，属于简单题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出，然后利用公式求解；2.公式法：，3.
4、构造法：根据条件，可构造出的齐次方程，通过等式两边同时除以，进而得到关于的方程.8已知，则的值为_.【答案】【解析】首先根据角的范围求，然后化简为，代入求值.【详解】， 又 ， =.故答案为：【点睛】本题考查三角恒等变换，意在考查转化与化归和计算能力，属于中档题型.9设公比不为1的等比数列满足，且，成等差数列，则数列的前4项和为_.【答案】【解析】由已知可知，且，求首项和公差，再求.【详解】由等比数列的性质可知 ，成等差数列， ，解得：（舍）或， ，.故答案为：【点睛】本题考查等比数列基本量的求法，意在考查基本公式，属于基础题型.10曲线在点处的切线与直线互相垂直，则实数的值为_.【答案】-4
5、【解析】首先求，由题意可知，求实数的值.【详解】 ，当时，由题意可知， ，解得：.故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义，属于简单题型，当求曲线在某点处的切线时，切线方程是.11已知，且，则的最小值为_.【答案】【解析】由题意变形为，再变形为，展开后利用基本不等式求最值.【详解】 当时等号成立，且 ，变形为 ， ， ，.故答案为：【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，意在考查转化与化归和计算能力，属于中档题型，本题的关键是根据，对原式进行变形，然后再求最值.12已知直线与圆心为的圆相交于两点，且为等边三角形，则实数_【答案】【解析】试题分析：由于为等边三角形，故弦长，根据直线与圆相交，所得弦
6、长公式为，可建立方程，即，解得.【考点】直线与圆的位置关系，解三角形【思路点晴】本题考查直线与圆的位置关系，直线与圆相交所得弦长公式，考查等边三角形几何性质.由于为等边三角形，故弦长，我们利用弦长公式就可以建立一个方程出来，这个方程包括点到直线距离公式.在求解完整之后，要验证圆心到直线的距离是否小于半径.13已知平面向量，满足，的夹角等于，且，则的取值范围是_.【答案】【解析】首先由数量积公式变形为，并且整理为，变形为，利用三角函数的有界性，求得的取值范围.【详解】， ，的夹角等于， ，整理为：，解得：.故答案为：【点睛】本题考查数量积的运算公式的综合应用，意在考查转化与化简和计算能力，属于中
7、档题型，当变形为时，化简为，利用三角函数的有界性求模的范围.14关于的方程有3个不同的实数解，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】首先方程变形为，将方程有3个不同的实数解转化为函数与有3个不同交点，利用数形结合求的取值范围.【详解】原式变形为，当函数与有3个不同交点时，如图，满足条件的直线夹在如图的两条直线之间，一条是过的直线，此时，此时与轴的交点是 ，另外一条是相切的直线，设切点，则，解得：，则切点是，则，解得，此时与轴的交点是， .故答案为：【点睛】本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：
8、先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍.二、解答题15在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若，角为钝角， （1）求的值； （2）求边的长.【答案】（1） （2） 【解析】（1）由，分别求得，得到答案；（2）利用正弦定理得到，利用余弦定理解出。试题解析：(1)因为角 为钝角， ，所以 ，又 ，所以 ，且 ，所以 .(2)因为 ，且 ，所以 ，又 ，则 ，所以 .点睛：（1）利用整体思想解决三角函数的求值问题，得到求解；（2）用
9、正弦定理求得，再利用角度转化求得，最后利用余弦定理解出。16如图所示，在三棱柱中，为正方形，是菱形，平面平面（1）求证：平面；（2）求证：.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）要证明线面平行，需先证明线线平行，结合题意易证明；（2）要证明线线平行，需先证明线面平行，即证明平面.【详解】（1）是菱形，平面，平面，平面.（2）连接，四边形是菱形，平面平面，且平面平面，平面，且平面，且，平面，又平面,.【点睛】本题考查线面平行和线线垂直的证明，意在考查空间想象能力和推理证明，属于基础题型.17已知椭圆：的离心率为，且过点右焦点为（1）求椭圆的方程；（2）设过右焦点为的直线与椭圆交于，两点
10、，且，求直线的方程【答案】（1）；（2）或【解析】（1）由题意可知，再将点代入椭圆方程，结合可得椭圆方程；（2）设直线的方程为：，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，代入向量的坐标表示可得，建立关于的方程，求得直线的方程.【详解】（1）解：因为，所以，设椭圆的方程为将点的坐标代入得：，所以，椭圆的方程为（2）因为右焦点为，设直线的方程为：，代入椭圆中并化简得：，设，因为，所以，即，所以，即，解得，所以，所以直线的方程为：或【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系的综合问题，主要考查转化与化归和计算能力，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长
11、公式都是解题的基本工具.18如图，两座建筑物，的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是和，从建筑物的顶部看建筑物的视角（1）求的长度；（2）在线段上取一点（点与点，不重合），从点看这两座建筑物的视角分别为，问点在何处时，最小？【答案】（1）；（2）为时，取得最小值【解析】（1）由题意可知是等边三角形，根据条件直接求的长度；（2）由（1）设，则，分别求和，然后再表示，设，利用导数求函数的最小值和点的位置.【详解】（1）如图，作，垂足为，则，设，由条件可知是等边三角形， .答：的长度为（2）设，则，.设，令，因为，得，当时，是减函数；当时，是增函数，所以，当时，取得最小值，即取
12、得最小值，因为恒成立，所以，所以，因为在上是增函数，所以当时，取得最小值答：当为时，取得最小值【点睛】本题考查三角函数和导数解决实际问题的综合问题，意在考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题型.19已知数列、满足：，.（1）证明：是等差数列，并求数列的通项公式；（2）设，求实数为何值时恒成立【答案】（1）见解析，；（2）【解析】（1）由已知变形为，再构造，从而证明数列是等差数列，并求通项公式；（2）由（1）可知，再写出，利用裂项相消法求和，恒成立整理为恒成立，分，和三种情况讨论时恒成立求的取值范围.【详解】（1）， 数列是以-4为首项，-1为公差的等差数列，（2），由条件可知恒成立即可满足条
13、件，设，当时，恒成立，当时，由二次函数的性质知不可能成立当时，对称轴，在为单调递减函数 ，时恒成立综上知：时，恒成立【点睛】本题考查证明由递推公式求通项公式，裂项相消法求和，以及数列和函数结合的综合性问题，意在考查转化与化归，讨论的思想和计算能力，属于中高档习题.20已知函数（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；（2）当时，求证：；（3）设函数，其中为实常数，试讨论函数的零点个数，并证明你的结论【答案】（1）或；（2）见解析；（3）见解析【解析】（1）根据导数的意义可知，解得切点；（2）将所证明不等式转化为证明恒成立，设，利用导数证明；（3）等价于，等价于，且，令，利用导数分析函数的性质，可
14、知函数的极小值0，极大值，讨论当，时，结合零点存在性定理确定零点的个数.【详解】（1）所以过点的切线方程为，所以，解得或（2）证明：即证，因为，所以即证，设，则令，解得4-0+减极小增所以 当时，取得最小值所以当时，（3）解：等价于，等价于，且令，则令，得或，1-0+0-减极小0增极大减（）当时，所以无零点，即定义域内无零点（）当即时，若，因为，所以在只有一个零点，而当时，所以只有一个零点；（）当即时，由（）知在只有一个零点，且当时，所以恰好有两个零点；（）当即时，由（）、（）知在只有一个零点，在只有一个零点，在时，因为，只要比较与的大小，即只要比较与的大小，令，因为，因为，所以，所以，即，所
15、以，即在也只有一解，所以有三个零点； 综上所述：当时，函数的零点个数为0； 当时，函数的零点个数为1；当时，函数的零点个数为2；当时，函数的零点个数为3【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，以及分析零点个数的问题，判断零点个数不仅需要讨论极值点的位置，还需根据单调性验证零点存在性定理，第三问中当即时判断零点个数相对其他情况比较难，还需构造函数.解决零点问题常用方法还有：分离参数、构造函数、数形结合.21已知矩阵，若矩阵属于特征值1的一个特征向量为，属于特征值5的一个特征向量为求矩阵，并写出的逆矩阵【答案】，的逆矩阵是【解析】由题意列出和，建立关于的方程组，求解即可，再根据逆矩阵的定义
16、求解.【详解】由矩阵属于特征值1的一个特征向量为可得，即；由矩阵属于特征值5的一个特征向量为，可得，即，解得即，设的逆矩阵是，则 ,即 ，解得，的逆矩阵是.【点睛】本题考查特征向量和逆矩阵，意在考查基本概念和基本计算，属于基础题型.22在极坐标系(,)(02)中,求曲线=2sin与cos=1的交点Q的极坐标.【答案】(,)【解析】以极点为坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线=2sin可化为:x2+(y-1)2=1,曲线cos=1可化为x=1,由可得交点坐标为(1,1),所以交点Q的极坐标是(,).23在三棱锥中，底面是边长为的正三角形，点在底面上的射影恰是的中点，侧棱和底面成角（
17、1）若为侧棱上一点，当为何值时，；（2）求二面角的余弦值大小【答案】（1）；（2）【解析】（1）以点为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系设，表示与，根据求；（2）分别求平面和平面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值的大小.【详解】由题意可知底面，且，以点为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系因为是边长为的正三角形，又与底面所成角为，所以，所以所以，（1）设，则，所以，若，则，解得，而，所以，所以（2）因为，设平面的法向量为，则，令，则，所以.而平面的法向量为，所以，又显然所求二面角的平面角为锐角，故所求二面角的余弦值的大小为.【点睛】本题考查利用空间直角坐标系解决垂直和二面角的问题，
18、意在考查空间想象能力和计算能力，属于中档题型.24已知（其中）.（1）当时，计算及；（2）记，试比较与的大小，并说明理由【答案】（1）；（2）答案不唯一，见解析【解析】（1）采用赋值法，令，计算，然后令和，求的值；（2）由（1）知，比较与的大小，利用数学归纳法证明.【详解】（1）当时，取，得， 取时，得，取时，得，将-得：，所以（2）由（1）可知，要比较与的大小，只要比较与，只要比较与，当时，左边，右边，所以左边右边；当时，左边，右边，所以左边右边；当时，左边，右边，所以左边右边；当时，左边，右边=，所以左边右边；猜想当时，左边右边，即 下面用数学归纳法证明：当时已证；假设当时成立， 则当时，左边，因为，所以，即当时不等式也成立所以对的一切正整数都成立综上所述：当或时，当或时【点睛】本题考查二项式定理求系数和，数学归纳法证明不等式，意在考查计算和推理能力，属于中档题型，利用数学归纳法证明时，注意当证明时不等式成立，必须利用时的假设，否则不是数学归纳法.第 22 页 共 22 页
